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- A twin prime is a prime number that differs from another prime number by two. Except for the pair (2, 3), this is the smallest possible difference between two primes. Some examples of twin prime pairs are (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), and (skipping quite a few), (821, 823). Sometimes the term twin prime is used for a pair of twin primes; an alternative name for this is prime twin. The question of whether there exist infinitely many twin primes has been one of the great open questions in number theory for many years. File:Question mark2. svg Unsolved problems in mathematics: Are there infinitely many Twin primes? This is the content of the twin prime conjecture. A strong form of the twin prime conjecture, the Hardy–Littlewood conjecture, postulates a distribution law for twin primes akin to the prime number theorem. Using his celebrated sieve methods, Viggo Brun shows that the number of twin primes less than x is O(x/). This result implies that the sum of the reciprocals of all twin primes converges. This is in contrast to the sum of the reciprocals of all primes, which diverges. He also shows that every even number can be represented in infinitely many ways as a difference of two numbers both having at most 9 prime factors. Chen Jingrun's well known theorem states that for any m even, there are infinitely many primes that differ by m from a number having at most two prime factors. (Before Brun attacked the twin prime problem, Jean Merlin had also attempted to solve this problem using the sieve method. ) Every twin prime pair except (3, 5) is of the form (6n − 1, 6n + 1) for some natural number n, and with the exception of n = 1, n must end in 0, 2, 3, 5, 7, or 8. It has been proved that the pair m, m + 2 is a twin prime if and only if <math>4(! + 1) \equiv -m \pmod {m(m+2)}. </math> If m − 4 or m + 6 is also prime then the 3 primes are called a prime triplet.
- Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3 und 5), (5 und 7) und (11 und 13).
- Els nombres primers bessons són aquelles parelles de nombres primers que difereixen en 2. És a dir, p i q (amb p < q) són primers bessons si q = p + 2. Excepte pel cas del 2 i el 3, aquesta és la mínima diferència que pot haver-hi entre dos primers. Alguns exemples de primers bessons són les parelles (5,7), (11,13) i (821,823). No se sap si existeixen infinits nombres primers. La conjectura dels nombres primers bessons afirma que, efectivament, hi ha infinits primers bessons; encara no ha estat demostrada. Una versió encara mes restringent d'aquesta conjectura, la conjectura de Hardy-Littlewood, postula, a més, una llei de distribució per als primers bessons. La parella de bessons més gran trobada fins al moment (2005) és 33218925 · 2 ± 1.
- Prvočíselná dvojice (také prvočíselná dvojčata) je matematický pojem z oblasti teorie čísel. Jde o dvojici přirozených čísel (p, p + 2) takovou, že obě tato čísla jsou prvočísly.
- Dos números primos (p, q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si <math>q = p+2 \,\! </math>. Los primeros números primos gemelos son: Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3. Surge la cuestión de encontrar dos números primos que sean impares consecutivos, es decir que se hallen a una distancia de 2. A éstos se los llama números primos gemelos. El primero en llamarlos así fue Paul Stäckel. No se sabe si existen infinitos números primos gemelos, aunque se cree ampliamente que sí. Éste es el contenido de la conjetura de los números primos gemelos. Una forma fuerte de la conjetura de los números primos gemelos, la conjetura de Hardy-Littlewood, postula una ley de distribución de los números primos gemelos similar al teorema de los números primos. Se sabe que la suma de los inversos de todos los números primos gemelos converge. Esto contrasta con la suma de los inversos de todos los primos, que diverge. Se ha demostrado que el par n, n + 2 es de números primos gemelos si y sólo si: <math>4(! + 1) \equiv -n \pmod{n(n+2)}</math> Los números primos gemelos más grandes conocidos son el par 2003663613 · 2 - 1 y 2003663613 · 2 + 1, que tienen 58711 dígitos. Fueron descubiertos en 2007 por Vautier, McKibbon, Gribenko et al. Anteriormente, el par 100314512544015 · 2 - 1 y 100314512544015 · 2 + 1, que tiene 51.780 dígitos y fue descubierto en el 2006 por los matemáticos húngaros: Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza y Antal Járai.
- Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Ensimmäisiä alkulukupareja ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ja (29, 31). Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), missä n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä lukuun 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1. Clementin lauseen mukaan [1] (m, m + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos <math>4(! + 1) = -m \mod (m). </math> Lisäksi on todistettu seuraava lause [1]: Olkoon <math>n\geq 3,n\ne 7</math>. Tällöin <math>n</math> ja <math>n+2</math> muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos <math>4(n-3)!+2+n</math> on jaollinen <math>n</math>:llä muttei <math>n+2</math>:lla.
- En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de deux. Hormis pour la paire, cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13. Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid. La conjecture des nombres premiers jumeaux stipule qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux; les observations numériques et des raisonnements heuristiques justifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.
- Ikerprímnek két olyan prímszám együttesét nevezzük, amelyek 2-vel térnek el egymástól: például 5 és 7. Mivel prímszámok (a 2-t kivéve) csak páratlan számok lehetnek, két prímszám között nem lehet kisebb a különbség 2-nél (a pár kivételével).
- Si definiscono numeri primi gemelli due numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823. Il problema dell'esistenza o meno di infiniti numeri primi gemelli è da tanti anni uno dei più grandi problemi aperti della teoria dei numeri, che prende il nome di congettura dei numeri primi gemelli. Vi è anche una versione più forte, la congettura di Hardy-Littlewood, che postula una legge sulla distribuzione dei primi gemelli analoga al teorema dei numeri primi. Usando il suo famoso metodo del crivello, Viggo Brun mostrò che il numero di primi gemelli minori di x è <math>\ll \frac{x}{log x^2} \,</math>. Questo risultato implica che la somma dei reciproci di tutti i primi gemelli converge. Ciò è in evidente contrasto con la somma dei reciproci di tutti i primi, che diverge. Egli dimostrò anche che ogni numero pari si può scrivere in infiniti modi come differenza di due numeri che abbiano entrambi al più 9 fattori primi. Il noto teorema di Chen Jingrun afferma che per ogni m pari, esistono infiniti numeri primi che differiscono di m da un numero che abbia al massimo 2 fattori primi. Prima di Brun, anche Jean Merlin aveva tentato di risolvere il problema con il metodo del crivello. Ogni coppia di primi gemelli maggiore di 3 è della forma (6n - 1, 6n + 1) per qualche numero naturale n, e, con l'eccezione di n = 1, n deve terminare in 0, 2, 3, 5, 7, o 8. È stato dimostrato che (m, m + 2) è una coppia di primi gemelli se e solo se <math>4(! + 1) = -m \mod (m)</math> Un'analisi empirica di tutte le coppie di primi gemelli fino a 4.35 · 10 mostra che il numero di tali coppie formate da numeri minori di x è x·f(x)/(log x) dove f(x) è circa 1.7 per valori piccoli di x e si riduce a circa 1.3 al tendere di x all'infinito. Si congettura che il valore limite di f(x) sia uguale alla costante dei numeri primi gemelli <math> 2 \prod_{p \geq 3} (1 - \frac{1}{^2}) = 1.3203236\ldots;</math> questa congettura implicherebbe la congettura dei numeri primi gemelli, ma è irrisolta.
- 双子素数（ふたごそすう、twin prime）とは、差が 2 の2つの素数の組のこと。2 と 3 の組を除くと、双子素数はもっとも数の近い素数の組である。双子素数の例としては、 3 と 5 、 11 と 13 、 857 と 859 などがある。
- Priemtweelingen zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+2, waarbij zowel p als p+2 een priemgetal zijn. Voorbeelden hiervan zijn 5 en 7, en 17 en 19. De grootste bekende priemtweelingen waren in de periode juni 2006-januari 2007 100.314.512.544.015 × 2 – 1 en 100.314.512.544.015 × 2 + 1. Op 15 januari 2007 werd een nieuwe priemtweeling gevonden: de getallen 2.003.663.613 × 2 – 1 en 2.003.663.613 × 2 + 1. Deze getallen hebben 58711 cijfers en vormen daarmee de grootst bekende priemtweeling tot nu toe. Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Hier is echter (nog) geen bewijs voor. De eerste priemtweelingen zijn: 3, 5 5, 7 11, 13 17, 19 29, 31 41, 43 59, 61 71, 73 101, 103 107, 109
- Tvillingprimtall er to påfølgende oddetall som begge er primtall. De første 10 parene med tvillingprimtall er 3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19, 29 og 31, 41 og 43, 59 og 61, 71 og 73, 101 og 103, 107 og 109.
- Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Przykłady to: 3 i 5 5 i 7 11 i 13 17 i 19 29 i 31 41 i 43 59 i 61 71 i 73 Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Do dnia dzisiejszego nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych. Największe znane dziś liczby bliźniacze to 16869987339975 · 2 ± 1; W 1919 norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny. <math>\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots</math> ≈ 1.902160583104 Może być to spowodowane tym, że liczb bliźniaczych jest skończenie wiele – jeśli tak nie jest, znaczyłoby to, że są "rzadko" rozłożone w zbiorze liczb naturalnych. Łatwo zauważyć, że liczby pierwsze (oprócz 2 i 5) kończą się na 1,3,7,9. Wiedząc, że wśród liczb mniejszych od 10 (1 miliarda) jest około 5% liczb pierwszych (czyli około 50 milionów) można wywnioskować, że średnio co ósma liczba kończąca sie na 1, 3, 7, 9 jest pierwsza. Ostatnimi cyframi liczb bliźniaczych mogą być: 1 i 3 (na przykład 11 i 13), 7 i 9 (na przykład 17 i 19) oraz 9 i 1 (na przykład 29 i 31).
- Dois números primos dizem-se gêmeos se a sua diferença for 2. Os primeiros pares de números primos gêmeos são,,,,,,,,,. Os maiores números primos gémeos conhecidos são 2.003.663.613 · 2±1, descobertos em janeiro de 2007. Existem 1.000 número primos gêmeos abaixo de 100.000 e 8.000 abaixo de 1.000.000.
- Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2. Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид <math>6n\pm 1</math>. Первые простые числа-близнецы: На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа <math>2003663613 \cdot 2^{195000}\pm 1</math> . Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество <math>\pi_2(x)</math> пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к <math>\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int\limits_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}</math> где <math>C_2</math> — константа простых-близнецов: <math>C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{^2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots</math>
- Två primtal är primtalstvillingar om differensen mellan dem är 2. Paret (2,3) är inte primtalstvillingar eftersom skillnaden mellan dessa är 1. Detta är även den minsta möjliga skillnaden mellan två primtal. De lägsta paret primtalstvillingar är därför 3 och 5. Varje primtalstvilling som är större än 3 kan beräknas med hjälp av (6n − 1, 6n + 1), för något naturligt tal n. Talet n måste dock sluta på 0, 2, 3, 5, 7 eller 8 och får ej vara 1.
- Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara ikiz asal sayılar denir. (örneğin 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13 .. ikiz asallardır. ) (2, 3) çifti hariç iki asal sayının arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir. İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru, sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanısı (varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır. "Hardy-Littlewood sanısı" ikiz asalların dağılımı üzerine "asal sayılar teoremi" ne benzer bir varsayımda bulunur. Viggo Brun, ünlü " eleme metoduyla" bir x sayısından küçük ikiz asal sayıların sayısının, x/(log) den küçük olduğunu göstermiştir. Bu sonuç da bütün ikiz asal sayı çiftler toplamının yakınsak olduğunu göstermektedir (bakınız Brun sabiti). Bu tüm asal sayı çiftlerinin toplamının ıraksadığına terstir (p ve p' asal sayılar ve k bir doğal sayı olmak üzere p-p'=2k, bu genellemeden k=1 için ikiz asallar varsayımına gidilir; bahsi geçen tüm asal sayı çiftlerin toplamı k değişken olmak üzere p ve p' lerin toplamıdır). Brun ayrıca her çift sayının, en fazla 9 tane asal çarpanı olan iki tane sayının farkı olarak sonsuz biçimde ifade edilebileceğini göstermiştir. Chen Jingrun'un ünlü teoremi göstermektedir ki herhangi bir m çift sayısı için m ile aralarında en fazla 2 tane asal çarpanı olan bir sayı kadar fark olan asal sayılardan sonsuz tane vardır. 3'ten büyük her ikiz asal sayı çifti, bazı n doğal sayıları için, (6n-1, 6n +1) şeklinde ifade edilir. Öyleki n, 1'e eşit değildir ve 0, 2, 3, 5, 7 veya 8 ile sonlanmak zorundadır. m ve m+2 sayı çifti ancak ve ancak durumunda bir ikiz asal sayı çiftidir. 2005 yılına gelindiğinde bilinen en büyük ikiz asal sayı çifti 16869987339975 · 2 ± 1 dir. Macar Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza ve Antal Járai tarafından 2005 yılında bulunmuş olup 51779 haneli sayılardır. 4,35 · 10 e değin yapılan tüm asal sayı çiflerin deneysel analizi göstermektedir ki x den az çift sayısı x·f(x)/(log x) dir. Burada f(x) küçük değerli x ler için yaklaşık 1,7 dir ve x sonsuza giderken yaklaşık 1,3 e kadar azalır. f(x) 'in limit değeri "ikiz asal sabiti" ne eşit olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayım ikiz asallar sanısını gerektirmektedir ki hâlâ çözümsüzdür.
- Прості числа-близнюки це пара простих чисел, різниця між якими становить 2. Найменшими числами-близнюками є:
- 孪生素数是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。 孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。哈代-李特尔伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布与素數定理中描述的素数分布规律相类似。 与之相关的，两者相差为1的素数对只有 (2, 3)；两者相差为3的素数对只有 (2, 5)。
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- A twin prime is a prime number that differs from another prime number by two. Except for the pair (2, 3), this is the smallest possible difference between two primes. Some examples of twin prime pairs are (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), and (skipping quite a few), (821, 823). Sometimes the term twin prime is used for a pair of twin primes; an alternative name for this is prime twin.
- Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3 und 5), (5 und 7) und (11 und 13).
- Els nombres primers bessons són aquelles parelles de nombres primers que difereixen en 2. És a dir, p i q (amb p < q) són primers bessons si q = p + 2. Excepte pel cas del 2 i el 3, aquesta és la mínima diferència que pot haver-hi entre dos primers. Alguns exemples de primers bessons són les parelles (5,7), (11,13) i (821,823). No se sap si existeixen infinits nombres primers.
- Prvočíselná dvojice (také prvočíselná dvojčata) je matematický pojem z oblasti teorie čísel. Jde o dvojici přirozených čísel (p, p + 2) takovou, že obě tato čísla jsou prvočísly.
- Dos números primos (p, q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si <math>q = p+2 \,\! </math>. Los primeros números primos gemelos son: Todos los números primos, excepto el 2, son impares. Los únicos dos números primos consecutivos son el 2 y el 3. Surge la cuestión de encontrar dos números primos que sean impares consecutivos, es decir que se hallen a una distancia de 2. A éstos se los llama números primos gemelos.
- Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Ensimmäisiä alkulukupareja ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ja (29, 31). Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), missä n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä lukuun 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1.
- En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de deux. Hormis pour la paire, cette distance de deux est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
- Ikerprímnek két olyan prímszám együttesét nevezzük, amelyek 2-vel térnek el egymástól: például 5 és 7. Mivel prímszámok (a 2-t kivéve) csak páratlan számok lehetnek, két prímszám között nem lehet kisebb a különbség 2-nél (a pár kivételével).
- Si definiscono numeri primi gemelli due numeri primi che differiscono tra loro di due. Fatta eccezione per la coppia (2, 3), questa è la più piccola differenza possibile fra due primi. Alcuni esempi di coppie di primi gemelli sono 5 e 7, 11 e 13, e 821 e 823. Il problema dell'esistenza o meno di infiniti numeri primi gemelli è da tanti anni uno dei più grandi problemi aperti della teoria dei numeri, che prende il nome di congettura dei numeri primi gemelli.
- 双子素数（ふたごそすう、twin prime）とは、差が 2 の2つの素数の組のこと。2 と 3 の組を除くと、双子素数はもっとも数の近い素数の組である。双子素数の例としては、 3 と 5 、 11 と 13 、 857 と 859 などがある。
- Priemtweelingen zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+2, waarbij zowel p als p+2 een priemgetal zijn. Voorbeelden hiervan zijn 5 en 7, en 17 en 19. De grootste bekende priemtweelingen waren in de periode juni 2006-januari 2007 100.314.512.544.015 × 2 – 1 en 100.314.512.544.015 × 2 + 1. Op 15 januari 2007 werd een nieuwe priemtweeling gevonden: de getallen 2.003.663.613 × 2 – 1 en 2.003.663.613 × 2 + 1.
- Tvillingprimtall er to påfølgende oddetall som begge er primtall. De første 10 parene med tvillingprimtall er 3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 17 og 19, 29 og 31, 41 og 43, 59 og 61, 71 og 73, 101 og 103, 107 og 109.
- Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Przykłady to: 3 i 5 5 i 7 11 i 13 17 i 19 29 i 31 41 i 43 59 i 61 71 i 73 Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Do dnia dzisiejszego nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych.
- Dois números primos dizem-se gêmeos se a sua diferença for 2. Os primeiros pares de números primos gêmeos são,,,,,,,,,. Os maiores números primos gémeos conhecidos são 2.003.663.613 · 2±1, descobertos em janeiro de 2007. Existem 1.000 número primos gêmeos abaixo de 100.000 e 8.000 abaixo de 1.000.000.
- Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2. Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид <math>6n\pm 1</math>. Первые простые числа-близнецы: На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа <math>2003663613 \cdot 2^{195000}\pm 1</math> .
- Två primtal är primtalstvillingar om differensen mellan dem är 2. Paret (2,3) är inte primtalstvillingar eftersom skillnaden mellan dessa är 1. Detta är även den minsta möjliga skillnaden mellan två primtal. De lägsta paret primtalstvillingar är därför 3 och 5. Varje primtalstvilling som är större än 3 kan beräknas med hjälp av (6n − 1, 6n + 1), för något naturligt tal n. Talet n måste dock sluta på 0, 2, 3, 5, 7 eller 8 och får ej vara 1.
- Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara ikiz asal sayılar denir. (örneğin 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13 .. ikiz asallardır. ) (2, 3) çifti hariç iki asal sayının arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir. İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru, sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanısı (varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır.
- Прості числа-близнюки це пара простих чисел, різниця між якими становить 2. Найменшими числами-близнюками є:
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