Exact algebraic expressions for trigonometric values are sometimes useful, mainly for simplifying solutions into radical forms which allow further simplification. All trigonometric numbers – sines or cosines of rational multiples of 360° – are algebraic numbers (solutions of polynomial equations with integer coefficients); moreover they may be expressed in terms of radicals of complex numbers; but not all of these are expressible in terms of real radicals. When they are, they are expressible more specifically in terms of square roots.

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  • Les expressions per a les constants trigonomètriques exactes de vegades són útils, principalment per a simplificar altres expressions, transformant-les de manera que en comptes d'intervenir funcions trigonomètriques intervinguin radicals que després es poden simplificar. Tots els valors de les funcions trigonomètriques d'angles múltiples de 3° es poden obtenir a partir de les identitats trigonomètriques de l'angle meitat i de la suma i diferència d'angles, i dels valors de les funcions trigonomètriques dels angles de 0°, 30°, 36° i 45°. Fixeu-vos que 1° = π/180 radians. Aquest article és incomplet, almenys en dos sentits. Primer, sempre es pot aplicar la fórmula de l'angle meitat per a trobar l'expressió de cosinus de la meitat de l'angle més petit de la taula. En segon lloc, aquest article només fa servir els dos primers dels cinc nombres primers de Fermat coneguts: 3 i 5; i les funcions trigonomètriques d'altres angles, com ara 2π/7, 2π/9 (= 40°), i 2π/13 (així com altres polígons construïbles, 2π/17, 2π/257, or 2π/65537) també són resolubles per radicals. A la pràctica, tots els valors de les funcions trigonomètriques que no es troben en aquest article s'aproximen fent servir tècniques que es descriuen en l'article Construcció de les taules trigonomètriques. (ca)
  • Es gibt unendlich viele Winkel, für welche die Werte der trigonometrischen Funktionen durch explizite genaue Ausdrücke unter Verwendung der elementaren Rechenoperationen und von Wurzelausdrücken (Radikale) gegeben werden können. Im Folgenden werden nur Quadratwurzeln betrachtet. Wenn wir diesen Ausdruck für den Sinus kennen, können wir diesen für den Kosinus (und umgekehrt) bestimmen mit der trigonometrischen Identität . Eindeutig werden wir in diesem Fall auch einen genauen Wert für den Tangens und Kotangens finden. kann mit reellen Quadratwurzeln genau dann ausgedrückt werden, wenn das reguläre -Eck ein konstruierbares Polygon ist: Dies bedeutet konkret, dass ein Produkt einer Potenz von 2 und paarweise voneinander verschiedenen Fermat-Primzahlen ist. Der Sinus und der Kosinus der Winkel, die ein Vielfaches von 3° sind, können mit Hilfe von reellen Quadratwurzeln auf eine elementare Art und Weise ausgedrückt werden. Für Winkel, die ein Vielfaches von 1°, jedoch kein Vielfaches von 3° sind, ist es andererseits nicht möglich, einen Ausdruck mit reellen Quadratwurzeln zu finden. Das hängt damit zusammen, dass solche Ausdrücke mit reellen Quadratwurzeln genau den Winkeln entsprechen, die mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind und dass im Vorfaktor (die Winkel wurden in Grad angegeben) im Nenner eine auftaucht. Eine der Fermat-Primzahlen bei der Konstruktion regulärer n-Ecke mit Zirkel und Lineal ist die , die aber nur einmal als Faktor von in auftauchen darf. Wenn wir einen genauen Ausdruck mit reellen Radikalen für den Sinus und den Kosinus eines Winkels kennen, dann können wir die genauen Ausdrücke mit reellen Radikalen des halben Winkels mit Hilfe der Halbwinkelformeln bestimmen. Dies bedeutet, dass es unendlich viele Winkel zwischen 0° und 360° gibt, für welche solche Ausdrücke mit reellen Radikalen erzeugt werden können. Allgemein lässt sich zeigen, dass die Werte von Kosinus und Sinus (und andere daraus gebildete trigonometrische Funktionen wie Tangens, Kotangens) an rationalen Vielfachen von (wenn das Argument also eine rationale Zahl in Grad ist) algebraische Zahlen sind. Der Beweis ist einfach, verwendet die Eulersche Formel, den Satz von De Moivre und die Trennung in Real- und Imaginärteil. Umgekehrt gilt nach einem Satz von Alan Baker, dass, falls die Werte von Sinus oder Kosinus an einer Stelle algebraisch sind, entweder rational oder transzendent ist (aber nicht algebraisch und irrational). Kosinus und Sinus selbst sind wie die übrigen trigonometrischen Funktionen transzendente Funktionen, das heisst sie genügen jeder für sich keinen algebraischen Gleichungen. Die Frage, wann Sinus und Kosinus an rationalen Stellen rationale Werte haben, beantwortet der Satz von Niven. (de)
  • En matematiko, ekzaktaj trigonometria konstantoj estas valoroj de trigonometriaj funkcioj por certaj argumentoj, kiuj povas esti ekzakte esprimitaj per algebraj operacioj kaj radikoj. Ĉiuj valoroj de sinuso, kosinuso, kaj tangento de angulo obla de 3° estas ekzakte esprimebla. (eo)
  • Exact algebraic expressions for trigonometric values are sometimes useful, mainly for simplifying solutions into radical forms which allow further simplification. All trigonometric numbers – sines or cosines of rational multiples of 360° – are algebraic numbers (solutions of polynomial equations with integer coefficients); moreover they may be expressed in terms of radicals of complex numbers; but not all of these are expressible in terms of real radicals. When they are, they are expressible more specifically in terms of square roots. All values of the sines, cosines, and tangents of angles at 3° increments are expressible in terms of square roots, using identities – the half-angle identity, the double-angle identity, and the angle addition/subtraction identity – and using values for 0°, 30°, 36°, and 45°. For an angle of an integer number of degrees that is not a multiple 3° (π/60 radians), the values of sine, cosine, and tangent cannot be expressed in terms of real radicals. According to Niven's theorem, the only rational values of the sine function for which the argument is a rational number of degrees are 0, 1/2, 1, −1/2, and −1. According to Baker's theorem, if the value of a sine, a cosine or a tangent is algebraic, then the angle is either a rational number of degrees or a transcendental number of degrees. That is, if the angle is an algebraic, but non-rational, number of degrees, the trigonometric functions all have transcendental values. (en)
  • Cette table de lignes trigonométriques exactes rassemble certaines valeurs des fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente sous forme d'expressions algébriques à l'aide de racines carrées de réels, parfois imbriquées. Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le triangle équilatéral) et de 36° (dans le pentagone régulier) et à l'aide des identités trigonométriques de duplication et d'addition des angles. Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une expression algébrique pour l'angle moitié ou l'angle double. En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout polygone régulier dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat, or ici seuls les deux premiers ont été exploités : 3 et 5. (fr)
  • Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali. Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti. (it)
  • Expressões algébricas exatas para valores trigonométricos são algumas vezes úteis, principalmente por simplificar soluções em formas de raízes que permitem uma maior simplificação. Todos os valores dos senos, cossenos e tangentes de ângulos em incrementos de 3° são deriváveis em radiciações usando-se identidades — a identidade de meio ângulo, a identidade de dobro de ângulo e a identidade de adição e subtração de ângulos — e usando-se valores para 0°, 30°, 36° e 45°. Note-se que 1° = π/180 radianos. De acordo com o teorema de Niven, os únicos valores racionais da função seno para o qual o argumento é um número racional de graus são 0, 1/2, 1, -1/2, e -1. (pt)
  • 三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡,並以數學根式或分數表示 用根式或分數表達的精確三角函數有時很有用,主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡。 根据尼云定理,有理数度数的角的正弦值,其中的有理数仅有0,,±1。 (zh)
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  • Constructible polygon (en)
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  • En matematiko, ekzaktaj trigonometria konstantoj estas valoroj de trigonometriaj funkcioj por certaj argumentoj, kiuj povas esti ekzakte esprimitaj per algebraj operacioj kaj radikoj. Ĉiuj valoroj de sinuso, kosinuso, kaj tangento de angulo obla de 3° estas ekzakte esprimebla. (eo)
  • 三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡,並以數學根式或分數表示 用根式或分數表達的精確三角函數有時很有用,主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡。 根据尼云定理,有理数度数的角的正弦值,其中的有理数仅有0,,±1。 (zh)
  • Les expressions per a les constants trigonomètriques exactes de vegades són útils, principalment per a simplificar altres expressions, transformant-les de manera que en comptes d'intervenir funcions trigonomètriques intervinguin radicals que després es poden simplificar. Tots els valors de les funcions trigonomètriques d'angles múltiples de 3° es poden obtenir a partir de les identitats trigonomètriques de l'angle meitat i de la suma i diferència d'angles, i dels valors de les funcions trigonomètriques dels angles de 0°, 30°, 36° i 45°. Fixeu-vos que 1° = π/180 radians. (ca)
  • Es gibt unendlich viele Winkel, für welche die Werte der trigonometrischen Funktionen durch explizite genaue Ausdrücke unter Verwendung der elementaren Rechenoperationen und von Wurzelausdrücken (Radikale) gegeben werden können. Im Folgenden werden nur Quadratwurzeln betrachtet. Wenn wir diesen Ausdruck für den Sinus kennen, können wir diesen für den Kosinus (und umgekehrt) bestimmen mit der trigonometrischen Identität . Eindeutig werden wir in diesem Fall auch einen genauen Wert für den Tangens und Kotangens finden. (de)
  • Exact algebraic expressions for trigonometric values are sometimes useful, mainly for simplifying solutions into radical forms which allow further simplification. All trigonometric numbers – sines or cosines of rational multiples of 360° – are algebraic numbers (solutions of polynomial equations with integer coefficients); moreover they may be expressed in terms of radicals of complex numbers; but not all of these are expressible in terms of real radicals. When they are, they are expressible more specifically in terms of square roots. (en)
  • Cette table de lignes trigonométriques exactes rassemble certaines valeurs des fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente sous forme d'expressions algébriques à l'aide de racines carrées de réels, parfois imbriquées. Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le triangle équilatéral) et de 36° (dans le pentagone régulier) et à l'aide des identités trigonométriques de duplication et d'addition des angles. (fr)
  • Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali. (it)
  • Expressões algébricas exatas para valores trigonométricos são algumas vezes úteis, principalmente por simplificar soluções em formas de raízes que permitem uma maior simplificação. Todos os valores dos senos, cossenos e tangentes de ângulos em incrementos de 3° são deriváveis em radiciações usando-se identidades — a identidade de meio ângulo, a identidade de dobro de ângulo e a identidade de adição e subtração de ângulos — e usando-se valores para 0°, 30°, 36° e 45°. Note-se que 1° = π/180 radianos. (pt)
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  • Constants trigonomètriques exactes (ca)
  • Trigonometrische Konstante ausgedrückt in reellen Radikalen (de)
  • Ekzaktaj trigonometriaj konstantoj (eo)
  • Table de lignes trigonométriques exactes (fr)
  • Trigonometric constants expressed in real radicals (en)
  • Costanti trigonometriche esatte (it)
  • Constantes trigonométricas exatas (pt)
  • 三角函數精確值 (zh)
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