| dbpprop:abstract
|
- In linear algebra, linear transformations can be represented by matrices. If T is a linear transformation mapping R to R and x is a column vector with n entries, then T(\vec x) = \mathbf{A} \vec x for some m×n matrix A, called the transformation matrix of T. There is an alternative expression of transformation matrices involving row vectors that is preferred by some authors.
- Eine Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix, die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben.
- Une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des endomorphismes, des formes bilinéaires.
- In matematica, e più precisamente in algebra lineare, per matrice di trasformazione o matrice associata ad una trasformazione si intende una matrice che rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali. Per definire una matrice di trasformazione è necessario scegliere una base per ciascuno degli spazi. Fissata una base per il dominio e una per il codominio, ogni trasformazione lineare è descrivibile agevolmente tramite una matrice <math>M nel modo seguente: y=M x\,\! dove <math> x è il vettore colonna delle coordinate di un punto del dominio rispetto alla base del dominio e <math>y è il vettore colonna delle coordinate dell'immagine e il prodotto <math>Mx è il prodotto righe per colonne.
- Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem przekształcenia liniowego dwóch skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem. Zachodzący izomorfizm sprawia, że mnożeniu macierzy oraz domnażaniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze. Definicja Niech: U, V – przestrzenie liniowe nad ciałem K, B_U(\alpha_{1}, \alpha_{2},... , \alpha_{m}) – baza przestrzeni U, B_V(\beta_{1}, \beta_{2},... , \beta_{n}) – baza przestrzeni V, \varphi: U \to V – przekształcenie liniowe. Wtedy każdy wektor \varphi (\alpha _{j}) należy do przestrzeni V dla 1\leqslant j\leqslant m, więc musi mieć on jednoznaczne przedstawienie w postaci wektorów bazy przestrzeni V, tj. \varphi (\alpha _{j})\sum_{i1}^n a_{i,j}\beta_{i}. Jeżeli współczyniki a_{1,j},\ a_{2,j},... ,a_{n,j} tego rozkładu zapiszemy jako j-tą kolumnę (j1,2,... ,m) macierzy A, to operatorowi \varphi przyporządkujemy n\times m skalarów a_{i,j}(\ 1\leqslant i\leqslant n,\ 1\leqslant j\leqslant m), czyli macierz A_{n \times m}\begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,m}\\ \end{bmatrix} o współczynnikach z ciała K. Macierz A nazywamy macierzą przekształcenia liniowego \varphi w bazach B_U(\alpha_{1}, \alpha_{2},... , \alpha_{m}) i B_V(\beta_{1}, \beta_{2},... , \beta_{n}). Innymi słowy, j-ta kolumna macierzy A zawiera współrzędne \varphi(\alpha_j) (czyli współrzędne wartości przekształcenia liniowego \varphi na j-ym wektorze bazy B_U) w bazie B_V. Przykład Niech: B_1\left\{ (2,0), (0,3) \right\} będzie bazą przestrzeni rzeczywistej \Bbb R^2 nad ciałem \Bbb R, B_2\left\{ (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) \right\} będzie bazą przestrzeni \Bbb R^3 nad ciałem \mathbb R, h: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3 będzie dane wzoremh(a,b)(a,2b,a+b). Znajdźmy macierz przekształcenia h w bazach B_1, B_2. Najpierw szukamy wartości h na wektorach z bazy B_1: h(2,0)(2,0,2), h(0,3)(0,6,3). Znajdujemy teraz ich współrzędne w bazie B_2: (2,0,2)2\cdot(1,1,1)-2\cdot(1,1,0)+2\cdot(1,0,0)[2,-2,2]_{B_2}, (0,6,3)3\cdot(1,1,1)+3\cdot(1,1,0)-6\cdot(1,0,0)[3,3,-6]_{B_2}. Wobec tego macierz h w bazach B_1,B_2 jest postaci: A\begin{bmatrix} - \end{bmatrix} . Wartość przekształcenia na wektorze Jeżeli A\begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,m}\\ \end{bmatrix} jest macierzą przekształcenia liniowego \varphi:U\to V w bazach B_U, B_V oraz wektor x\in U ma w bazie B_U współrzędnex_{B_U}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\x_m\end{bmatrix}, to \varphi(x) ma w bazie B_V współrzędneA\cdot x_{B_U} \begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}&a_{n,2}&\dots&a_{n,m}\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\x_m\end{bmatrix} . Przykład Weźmy przekształcenie liniowe h: \mathbb R^2 \to \mathbb R^3 i bazy B_1\left(\right), B_2\left\{ (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) \right\} jak w poprzednim przykładzie. Jego macierz w tych bazach to: A\begin{bmatrix} - \end{bmatrix} . Znajdźmy wartość h na wektorze x\begin{bmatrix} 0{,}3 \end{bmatrix}. Wektor x ma w bazie B_1 współrzędne: x\begin{bmatrix} 0{,}1 \end{bmatrix}. Zatem h(x) ma w bazie B_2 współrzędne: \begin{bmatrix} - \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0{,}1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \end{bmatrix} . Zobacz też przegląd zagadnień z zakresu matematyki, przekształcenie liniowe, macierz, izomorfizm.
- Ма́трицей перехо́да от базиса < <math>a_{1},a_{2}.. a_{n} > к базису < <math>b_{1},b_{2}.. b_{n} > является матрица, столбцы которой — разложение векторов < <math>b_{1},b_{2}.. b_{n} > в базисе < <math>a_{1},a_{2}.. a_{n} >. Обозначается <math>P_{a \rightarrow b} \in F^{n*n}
- 变换矩阵是数学线性代数中的一个概念。 在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T是一个把R映射到R的线性变换，且x是一个具有n个元素的列向量 ，那么 T(\vec x) = \mathbf{A} \vec x 我们把m×n的矩阵A，称为T的变换矩阵.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
