In mathematics, topology (from the Greek τόπος, place, and λόγος, study) is concerned with the properties of space that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending, but not tearing or gluing. This can be studied by considering a collection of subsets, called open sets, that satisfy certain properties, turning the given set into what is known as a topological space. Important topological properties include connectedness and compactness. Topology has many subfields:

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  • In mathematics, topology (from the Greek τόπος, place, and λόγος, study) is concerned with the properties of space that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending, but not tearing or gluing. This can be studied by considering a collection of subsets, called open sets, that satisfy certain properties, turning the given set into what is known as a topological space. Important topological properties include connectedness and compactness. Topology developed as a field of study out of geometry and set theory, through analysis of concepts such as space, dimension, and transformation. Such ideas go back to Gottfried Leibniz, who in the 17th century envisioned the geometria situs (Greek-Latin for "geometry of place") and analysis situs (Greek-Latin for "picking apart of place"). Leonhard Euler's Seven Bridges of Königsberg Problem and Polyhedron Formula are arguably the field's first theorems. The term topology was introduced by Johann Benedict Listing in the 19th century, although it was not until the first decades of the 20th century that the idea of a topological space was developed. By the middle of the 20th century, topology had become a major branch of mathematics. Topology has many subfields: * General topology, also called point-set topology, establishes the foundational aspects of topology and investigates properties of topological spaces and concepts inherent to topological spaces. It defines the basic notions used in all other branches of topology (including concepts like compactness and connectedness). * Algebraic topology tries to measure degrees of connectivity using algebraic constructs such as homology and homotopy groups. * Differential topology is the field dealing with differentiable functions on differentiable manifolds. It is closely related to differential geometry and together they make up the geometric theory of differentiable manifolds. * Geometric topology primarily studies manifolds and their embeddings (placements) in other manifolds. A particularly active area is low-dimensional topology, which studies manifolds of four or fewer dimensions. This includes knot theory, the study of mathematical knots. (en)
  • في الرياضيات، الطوبولوجيا (بالإنجليزية: Topology) أو علم الفراغ أو علم المكان كلمة يونانية (من topos وتعني مكان وlogos تعني دراسة) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية. تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة باللامتباينات الطوبولوجية، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا. يمكن القول على سبيل التبسيط أن هذا العلم يهتم بالخصائص الرياضية التي لا تتأثر عند التحول من فضاء رياضي إلى آخر.كذلك يمكن القول أن الطوبولوجيا هو العلم الذي يهتم بدراسة الخصائص الطوبولوجية التي تنتقل من فراغ إلى فراغ آخر بواسطة التشاكل.لفهم معنى كلمة التشاكل فإنه يقال عن دالة ما أنها تشكل تشاكلا إذا كانت دالة مستمرة والصورة العكسية لها أيضاً مستمرة وشاملة ومتباينة. (ar)
  • Die Topologie (griechisch τόπος tópos, deutsch ‚Ort, Platz‘ und -logie) ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der Stetigkeit durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts entstand die Topologie als eine eigenständige Disziplin, die auf lateinisch geometria situs ‚Geometrie der Lage‘ oder analysis situs (Griechisch-Latein für ‚Analysieren des Ortes‘) genannt wurde. Seit Jahrzehnten ist die Topologie als Grundlagendisziplin anerkannt. Dementsprechend kann sie neben der Algebra als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für die Geometrie, die Analysis, die Funktionalanalysis und die Theorie der Lie-Gruppen. Ihrerseits hat sie auch die Mengenlehre und Kategorientheorie befruchtet. Der grundlegende Begriff der Topologie ist der des topologischen Raums, welcher eine weitreichende Abstraktion der Vorstellung von „Nähe“ darstellt und damit weitreichende Verallgemeinerungen mathematischer Konzepte wie Stetigkeit und Grenzwert erlaubt. Viele mathematische Strukturen lassen sich als topologische Räume auffassen. Topologische Eigenschaften einer Struktur werden solche genannt, die nur von der Struktur des zugrundeliegenden topologischen Raumes abhängen. Dies sind gerade solche Eigenschaften, die durch „Verformungen“ durch Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört in anschaulichen Fällen das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren und Verdrillen einer geometrischen Figur. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Würfel aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Donut, dessen Form in der Mathematik als Volltorus bezeichnet wird, und eine einhenkelige Tasse homöomorph (s. Animation rechts). Die Topologie gliedert sich selbst in mehrere Teilgebiete. Hierzu zählen die algebraische Topologie, die geometrische Topologie sowie die topologische Graphen- und die Knotentheorie. Ein zentrales Problem dieser Disziplinen ist der Versuch, Verfahren zu entwickeln, zu beweisen, dass zwei Räume nicht homöomorph sind, oder allgemeiner, dass stetige Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften nicht existieren. Die mengentheoretische Topologie kann hierbei als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werden. In dieser werden insbesondere auch topologische Räume betrachtet, deren Eigenschaften sich im Allgemeinen besonders weit von denen geometrischer Figuren unterscheiden. (de)
  • La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros. Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente es el sentido arriba especificado, y de manera formal es la referencia a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección —este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico—. (es)
  • La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites « continues ». Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie). Elle s’intéresse aussi à leurs déformations. En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obtenir un certain nombre de résultats (existence ou unicité de solutions d’équations différentielles, notamment). Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques. (fr)
  • La topologia o studio dei luoghi (dal greco τόπος, tópos, "luogo", e λόγος, lógos, "studio") è lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". È una delle più importanti branche della matematica moderna. Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione. Si basa essenzialmente sui concetti di spazio topologico, funzione continua e omeomorfismo. Col termine topologia si indica anche la collezione di aperti che definisce uno spazio topologico. Per esempio un cubo e una sfera sono oggetti topologicamente equivalenti (cioè omeomorfi), perché possono essere deformati l'uno nell'altro senza ricorrere ad alcuna incollatura, strappo o sovrapposizione; una sfera e un toro invece non lo sono, perché il toro contiene un "buco" che non può essere eliminato da una deformazione. (it)
  • 本項目では位相幾何学(いそうきかがく、英: topology, トポロジー)について解説する。 (ja)
  • Topologie (Grieks topos (τόπος), "plaats," en logos (λόγος), "studie") is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van de ruimte die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De topologie is een uitgroeisel van de meetkunde, maar anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte wordt samengesteld, zoals samenhang en georiënteerdheid. Het woord topologie wordt zowel gebruikt om het studiegebied zelf aan te duiden, als voor de familie van verzamelingen die bepaalde eigenschappen beschrijft die worden gebruikt om een topologische ruimte te definiëren (het basisobject van de topologie). Van bijzonder belang in de studie van de topologie zijn de vervormingen die homeomorfismen worden genoemd. Informeel kunnen deze functies worden gezien als functies die de ruimte uitrekken zonder deze echter te scheuren of verschillende delen samen te plakken. Een meer abstracte notie van een vervorming is een homotopische equivalentie, een begrip dat ook een fundamentele rol speelt. Toen de discipline aan het eind van de 19de eeuw ontstond, noemde men de topologie aanvankelijk geometria situs (Latijn: meetkunde van plaats) en analysis situs (Latijn: analyse van plaats). Topologie is intussen een grote tak van de wiskunde, die op zijn beurt weer vele deelgebieden kent. Van ongeveer 1925 tot 1975 kende de topologie een bloeiperiode en was zij een belangrijk groeigebied in de wiskunde. De meest basale en traditionele verdeling binnen de topologie is de driedeling tussen * de point-set topologie, die de fundamenten van de topologie neerzet en concepten zoals compactheid en samenhangendheid onderzoekt; * de algebraïsche topologie, die algemeen gesteld probeert om de graden van samenhang te meten, en die daar gebruikmaakt van algebraïsche constructies, zoals homotopiegroepen en homologie en ten slotte * de meetkundige topologie, die in de eerste plaats variëteiten en hun inbedding in andere variëteiten bestudeert. Opgemerkt dient echter te worden dat sommige van de meest actieve gebieden, zoals laag-dimensionale topologie, niet goed in deze opdeling passen. In allerlei andere deelgebieden van de wiskunde, zoals analyse, meetkunde en algebra, wordt veelvuldig gebruikgemaakt van ideeën en stellingen uit de topologie. De Nederlandse wiskundige Luitzen Egbertus Jan Brouwer heeft in de beginperiode van de topologie belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van het vakgebied. (nl)
  • Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria. A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos) utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico. A Topologia é uma área muito ampla, com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é: * Topologia Geral, que investiga conceitos como compacidade, conexidade, separabilidade; * Topologia algébrica, que investiga conceitos como homotopia e homologia; * Topologia geométrica, que estuda as variedades e suas aplicações, fibrados incluindo a teoria dos nós. Particularmente importantes no estudo dos espaços topológicos são as funções conhecidas como homeomorfismos. Trata-se de funções que preservam a "estrutura topológica" do seu espaço. Assim, se entre dois espaços existe um homeomorfismo, então esses espaços são topologicamente indistinguíveis. (pt)
  • Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – dział matematyki zajmujący się badaniem własności, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów, takich jak figury geometryczne, bryły i obiekty o większej liczbie wymiarów. Własności takie nazywa się niezmiennikami topologicznymi, przy czym przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie - zginanie i rozciąganie, ale bez rozerwania i zlepienia różnych części. Proces deformacji najłatwiej wyobrazić sobie przyjmując, że obiekt wykonano z gumy. Topologia jest jednym z najważniejszych działów matematyki, gdyż definiuje fundamentalne pojęcia wykorzystywane w wielu innych działach matematyki, np. pozwala na abstrakcyjne podejście do opisu ciągłości funkcji bądź też uogólnienia pojęcia spójności zbioru na przestrzenie funkcyjne. (pl)
  • Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики. Топология изучает: * В самом общем виде — явление непрерывности; * В частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) — неотличимы. Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии (грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний). (ru)
  • 在數學裡,拓撲學(英语:topology),或意譯為位相幾何學,是一門研究拓撲空間的學科,主要研究空間內,在連續變化(如拉伸或彎曲,但不包括撕開或黏合)下維持不變的性質。在拓撲學裡,重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科,研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲,他在17世紀提出「位置的幾何學」(geometria situs)和「位相分析」(analysis situs)的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出,雖然直到20世紀初,拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉,拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域: * 一般拓撲學建立拓撲的基礎,並研究拓撲空間的性質,以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學,被用於其他數學領域(如緊緻性與連通性等主題)之中。 * 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。 * 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數,與微分幾何密切相關,並一齊組成微分流形的幾何理論。 * 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」,研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」,研究數學上的紐結。 (zh)
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  • 本項目では位相幾何学(いそうきかがく、英: topology, トポロジー)について解説する。 (ja)
  • 在數學裡,拓撲學(英语:topology),或意譯為位相幾何學,是一門研究拓撲空間的學科,主要研究空間內,在連續變化(如拉伸或彎曲,但不包括撕開或黏合)下維持不變的性質。在拓撲學裡,重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。 拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科,研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲,他在17世紀提出「位置的幾何學」(geometria situs)和「位相分析」(analysis situs)的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出,雖然直到20世紀初,拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉,拓撲學已成為數學的一大分支。 拓撲學有許多子領域: * 一般拓撲學建立拓撲的基礎,並研究拓撲空間的性質,以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學,被用於其他數學領域(如緊緻性與連通性等主題)之中。 * 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。 * 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數,與微分幾何密切相關,並一齊組成微分流形的幾何理論。 * 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」,研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」,研究數學上的紐結。 (zh)
  • In mathematics, topology (from the Greek τόπος, place, and λόγος, study) is concerned with the properties of space that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending, but not tearing or gluing. This can be studied by considering a collection of subsets, called open sets, that satisfy certain properties, turning the given set into what is known as a topological space. Important topological properties include connectedness and compactness. Topology has many subfields: (en)
  • في الرياضيات، الطوبولوجيا (بالإنجليزية: Topology) أو علم الفراغ أو علم المكان كلمة يونانية (من topos وتعني مكان وlogos تعني دراسة) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية. تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة باللامتباينات الطوبولوجية، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا. (ar)
  • Die Topologie (griechisch τόπος tópos, deutsch ‚Ort, Platz‘ und -logie) ist ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der Stetigkeit durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der Geometrie und Mengenlehre hervor. (de)
  • La topología (del griego τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio') es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros. (es)
  • La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). La topologie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites « continues ». Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leur dimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie). Elle s’intéresse aussi à leurs déformations. Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espaces topologiques. (fr)
  • La topologia o studio dei luoghi (dal greco τόπος, tópos, "luogo", e λόγος, lógos, "studio") è lo studio delle proprietà delle figure e delle forme che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature". È una delle più importanti branche della matematica moderna. Concetti fondamentali come convergenza, limite, continuità, connessione o compattezza trovano nella topologia la loro migliore formalizzazione. Si basa essenzialmente sui concetti di spazio topologico, funzione continua e omeomorfismo. (it)
  • Topologie (Grieks topos (τόπος), "plaats," en logos (λόγος), "studie") is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met eigenschappen van de ruimte die bewaard blijven bij continue vervorming (de objecten mogen niet worden gescheurd of geplakt). De topologie is een uitgroeisel van de meetkunde, maar anders dan de meetkunde, houdt de topologie zich niet bezig met metrische eigenschappen zoals de afstand tussen punten, maar met eigenschappen die beschrijven hoe een ruimte wordt samengesteld, zoals samenhang en georiënteerdheid. (nl)
  • Topologia (gr. tópos – miejsce, okolica; lógos – słowo, nauka) – dział matematyki zajmujący się badaniem własności, które nie ulegają zmianie nawet po radykalnym zdeformowaniu obiektów, takich jak figury geometryczne, bryły i obiekty o większej liczbie wymiarów. Własności takie nazywa się niezmiennikami topologicznymi, przy czym przez zdeformowanie rozumie się tutaj dowolne zniekształcenie - zginanie i rozciąganie, ale bez rozerwania i zlepienia różnych części. Proces deformacji najłatwiej wyobrazić sobie przyjmując, że obiekt wykonano z gumy. (pl)
  • Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria. A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos) utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico. A Topologia é uma área muito ampla, com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é: (pt)
  • Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики. Топология изучает: * В самом общем виде — явление непрерывности; * В частности — свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) — неотличимы. (ru)
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  • Topology (en)
  • طوبولوجيا (ar)
  • Topologie (Mathematik) (de)
  • Topología (es)
  • Topologie (fr)
  • Topologia (it)
  • 位相幾何学 (ja)
  • Topologie (nl)
  • Topologia (pl)
  • Topologia (matemática) (pt)
  • Топология (ru)
  • 拓扑学 (zh)
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