| dbpprop:abstract
|
- thumbnail|<math>{}^{n}x, for n >, showing convergence to the infinite power tower between the two dots. thumb|Infinite power tower. In mathematics, tetration (also known as hyper-4) is an iterated exponential, the first hyper operator after exponentiation. The portmanteau word tetration was coined by English mathematician Reuben Louis Goodstein from tetra- (four) and iteration. Tetration is used for the notation of very large numbers but has few practical applications, so its study is part of only pure mathematics. Shown here are examples of the first four hyper operators, with tetration as the fourth addition <math> {{a + b} \atop \,} {= \atop \,} {a \, + \atop \, } {{\underbrace{ + + \cdots + }} \atop b} added to a, b times. multiplication <math>{{a \times b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a + a + \cdots + a}} \atop b} a added to itself, b times. exponentiation <math>{{a^b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}} \atop b} a multiplied by itself, b times. tetration <math>{\ ^{b}a = \ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b} a exponentiated by itself, b times. where each operation is defined by iterating the previous one. The peculiarity of the tetration among these operations is that the first three are generalized for complex values of <math>~b~, while for tetration, no such regular generalization is yet established; and tetration is not considered an elementary function. Addition (a+b) can be thought of as being b iterations of the "add one" function applied to a, multiplication (ab) can be thought of as a chained addition involving b numbers a, and exponentiation (<math>a^b) can be thought of as a chained multiplication involving b numbers a. Analogously, tetration (<math>^{b}a) can be thought of as a chained power involving b numbers a. The parameter a may be called the base-parameter in the following, while the parameter b in the following may be called the height-parameter (which is integral in the first approach but may be generalized to fractional, real and complex heights, see below)
- In der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie, spricht man von einem Potenzturm, wenn der Exponent einer Potenz noch weitere Male potenziert wird und sich die Exponenten somit zu einem Turm addieren. Die Schreibweise tritt üblicherweise für Zahlen in Kraft, bei denen der Exponent in normaler Schreibweise zu groß wäre, z. B. : 2^{81.129.638.414.606.681.695.789.005.144.064}=2^{2^{106}} \approx 2^{2^{10^{2}}} oder 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} = 2^{2^{2^{2^{4}}}} = 2^{2^{2^{16}}} = 2^{2^{65.536}} \approx 2^{2 \cdot 10^{19.728}} Dabei ist zu beachten, dass Potenztürme von oben nach unten abgearbeitet werden, da 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} \not= \left(\left^2\right)^2=4.294.967.296 Statt also eine Zahl in normaler Exponentialschreibweise zu nutzen, deren Exponent 19.728 Stellen hätte, kann man die Zahl verkürzt (und in absoluter Genauigkeit) mit einem Potenzturm darstellen, der in der vorletzten Stufe noch eine überschaubare Größe hat. Mit Hilfe dieser Schreibweise lassen sich große Zahlen darstellen, die schnell jenseits jeder direkten Vorstellbarkeit liegen und die sich in absoluter Länge und als Potenz nicht mehr, oder nur umständlich, darstellen lassen. Dennoch gibt es Zahlen, die so groß sind, dass selbst diese Schreibweise nicht mehr ausreicht um sie darzustellen. Wenn also die Potenztürme zu viele Stufen haben, um sie noch darzustellen, nutzt man alternative Schreibweisen wie den Hyper-Operator.
- La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissance, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérative », le premier hyper opérateur après l'exponentiation. Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Louis Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres. Elle suit l'addition, la multiplication et l'exponentiation comme indiqué ci-après : addition {{a + b} \atop \,} {= \atop \,} {a \, + \atop \, } {{\underbrace{ + + \cdots + }} \atop b \text{ termes}} multiplication {{a \times b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a + a + \cdots + a}} \atop b\text{ termes}} exponentiation {{a^b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}} \atop b\text{ facteurs}} tétration {\ ^{b}a = \ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b\text{ exposants}} chaque opération étant définie par itération à partir de la précédente. L'addition (a+b) peut être définie comme b itérations de l'opération ajouter appliquée à a, la multiplication (a. b) comme b itérations de l'opération ajouter a appliquée à a, et l'exponentiation (a^b) comme b itérations de l'opération multiplier par a appliquée à a. De manière analogue, la tétration (a) peut être considérée comme b itérations de l'opération porter à la puissance a appliquée à a. On remarquera que lorsque l'on évalue une exponentiation à niveaux multiples, l'exponentiation est effectuée à un niveau le plus « profond » en premier lieu (en notation, au niveau le plus élevé). En d'autres termes : \,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{6} = 65536 \,\!2^{2^{2^2}} n'est pas égal à \,\! \left({\left}^2\right)^2 = 2^{2\times2\times2} = 256. Ceci est la règle générale pour l'ordre des opérations impliquant une exponentiation répétée.
- A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják. A tetráció a hatványozást követi az alábbi módon: összeadás a+b\, szorzás {{a \times b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a + \cdots + a}} \atop b} hatványozás {{a^b = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop b} tetráció {\ ^{b}a = \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b} ahol minden műveletet az előző iterálásával határozunk meg. A szorzás (a \times b) másképpen B darab A összeadva és következésképpen a hatványozás (a^b) pedig B darab A összeszorozva. Tehetünk egy további lépést, és a tetráció (a \uparrow\uparrow b)így B darab A hatványozása. x↑↑n, ahol n = 2, 3, 4, 5, 6 és 7 Fontos megjegyezni, hogy többszintű hatványok kiértékelésekor először a legalsó szintet értékeljük ki (ez jelölésben a legfelső). Másképpen: \,\!2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{6} = 65536 \,\!2^{2^{2^2}} nem ugyanaz, mint \,\! \left({\left}^2\right)^2 = 256 (Ez a műveletek sorrendjének általános szabálya ismételt hatványozásra alkalmazva.)
- La tetrazione è la quarta operazione aritmetica, dopo somma, prodotto e potenza. Quando, in una potenza, l'esponente è troppo lungo da scrivere, può essere indicato a sua volta con l'operazione della potenza: <math> 2^{81.129.638.414.606.681.695.789.005.144.064}=2^{2^{106}} \approx 2^{2^{10^{2}}} </math> Dato che la potenza è una serie di prodotti, la tetrazione è una serie di esponenti: 2 tetrato alla 3 significa: 2^(2^2)= 2^4=16, ossia una serie di esponenti in cui 2 compare 3 volte. In generale p tetrato alla n è una serie di esponenti in cui p appare n volte.
- テトレーション (tetration) は、冪乗の次の、4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する演算である。 超冪（ちょうべき）ともいう。ただし、超冪は n ≥ 4 番目の一般のハイパー演算を総称することもある。 第から第4のハイパー演算は次のとおり。 加算 (hyper) <math>a + b = a + \underbrace{ + + \cdots + }_b 乗算 (hyper2) <math>a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_b 冪乗 (hyper3) <math>a^b = a \uparrow b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_b テトレーション (hyper4) <math>^b a = a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_b = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_b テトレーションは初等関数である。 aを底（てい）、bを高さという。 なお、冪乗の演算の優先順位は右（右上）からである。つまり、 a ^ {b ^ c} = a ^ \left(b ^ c \right) \ne \left(a ^ b \right) ^ c、 a \uparrow b \uparrow \cdots \uparrow y \uparrow z = a \uparrow (b \uparrow) \ne (\uparrow y) \uparrow z。
- В математике, тетрация (так же известная как Гипероператор-4) это итерационная функция экспоненты, первый гипероператор после возведения в степень. Сложносочиненное слово тетрация было впервые применено английским математиком Рубеном Луисом Гудштейном и состоит из слов тетра- (четыре) и итерация. Тетрация используется для описания больших чисел. Ниже показан пример для первых четырех гиперопераций с тетрацией в качестве четвертой операции: сложение <math> {{a + b} \atop \,} {= \atop \,} {a \, + \atop \, } {{\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}} \atop b}</math> умножение <math>{{a \times b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a + a + \cdots + a}} \atop b}</math> возведение в степень <math>{{a^b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}} \atop b}</math> тетрация <math>{\ ^{b}a = \ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b}</math> Здесь каждая операция получается из предыдущей. В отличие от трех первых математических операций, которые имеют аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость (т. е. имеют смысл при комплексных значениях <math>~b~</math>), для тетрации такого продолжения построить не удается. Тетрация не считается элементарной функцией. В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень.
|
| rdfs:comment
|
- thumbnail|<math>{}^{n}x, for n >, showing convergence to the infinite power tower between the two dots. thumb|Infinite power tower. In mathematics, tetration (also known as hyper-4) is an iterated exponential, the first hyper operator after exponentiation. The portmanteau word tetration was coined by English mathematician Reuben Louis Goodstein from tetra- (four) and iteration.
- In der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie, spricht man von einem Potenzturm, wenn der Exponent einer Potenz noch weitere Male potenziert wird und sich die Exponenten somit zu einem Turm addieren. Die Schreibweise tritt üblicherweise für Zahlen in Kraft, bei denen der Exponent in normaler Schreibweise zu groß wäre, z. B.
- La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissance, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérative », le premier hyper opérateur après l'exponentiation. Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Louis Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres.
- A tetráció (más néven exponenciális leképezés, hatványtorony, szuperhatványozás vagy hyper4) valójában iteratív hatványozás, az első hyper operátor a hatványozás után. A tetráció szót Reuben Louis Goodstein alkotta meg a tetra és az iteráció szavakból. A tetrációt nagyon nagy számok jelölésére használják.
- La tetrazione è la quarta operazione aritmetica, dopo somma, prodotto e potenza.
- В математике, тетрация (так же известная как Гипероператор-4) это итерационная функция экспоненты, первый гипероператор после возведения в степень.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
