| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, the symmetric difference of two sets is the set of elements which are in one of the sets, but not in both. This operation is the set-theoretic kin of the exclusive disjunction (XOR operation) in Boolean logic. The symmetric difference of the sets A and B is commonly denoted by <math> A\,\Delta\,B\,</math> or <math>A \ominus B. </math> For example, the symmetric difference of the sets {1,2,3} and {3,4} is {1,2,4}. The symmetric difference of the set of all students and the set of all females consists of all male students together with all female non-students. The symmetric difference is equivalent to the union of both relative complements, that is: <math>A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A),\,</math> and it can also be expressed as the union of the two sets, minus their intersection: <math>A\,\Delta\,B = (A \cup B) \setminus (A \cap B),</math> or with the XOR operation: <math>A\,\Delta\,B = \{x : (x \in A) \oplus (x \in B)\}. </math> The symmetric difference is commutative and associative: <math>A\,\Delta\,B = B\,\Delta\,A,\,</math> <math>(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,C = A\,\Delta\,(B\,\Delta\,C). \,</math> Thus, the repeated symmetric difference is an operation on a multiset of sets giving the set of elements which are in an odd number of sets. The symmetric difference of two repeated symmetric differences is the repeated symmetric difference of the join of the two multisets, where for each double set both can be removed. In particular: <math>(A\,\Delta\,B)\,\Delta\,(B\,\Delta\,C) = A\,\Delta\,C. \,</math> This implies a kind of triangle inequality: the symmetric difference of A and C is contained in the union of the symmetric difference of A and B and that of B and C. (But note that for the diameter of the symmetric difference the triangle inequality does not hold. ) The empty set is neutral, and every set is its own inverse: <math>A\,\Delta\,\varnothing = A,\,</math> <math>A\,\Delta\,A = \varnothing. \,</math> Taken together, we see that the power set of any set X becomes an abelian group if we use the symmetric difference as operation. Because every element in this group is its own inverse, this is in fact a vector space over the field with 2 elements Z2. If X is finite, then the singletons form a basis of this vector space, and its dimension is therefore equal to the number of elements of X. This construction is used in graph theory, to define the cycle space of a graph. Intersection distributes over symmetric difference: <math>A \cap (B\,\Delta\,C) = (A \cap B)\,\Delta\,(A \cap C),</math> and this shows that the power set of X becomes a ring with symmetric difference as addition and intersection as multiplication. This is the prototypical example of a Boolean ring. The symmetric difference can be defined in any Boolean algebra, by writing <math> x\,\Delta\,y = (x \lor y) \land \lnot(x \land y) = (x \land \lnot y) \lor (y \land \lnot x) = x \oplus y. </math> This operation has the same properties as the symmetric difference of sets.
- In matematica, la differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme che contiene gli elementi presenti solo in uno dei due insiemi. È l'equivalente insiemistico dell'operazione logica nota come XOR. La differenza simmetrica tra due insiemi è comunemente denotata <math>A \, \Delta \, B</math>. Esistono due modi equivalenti per definirla: <math>A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)</math> cioè, rispettivamente, l'unione delle due differenze e la differenza tra l'unione e l'intersezione di A e B. La differenza simmetrica è commutativa e associativa: <math>A \Delta B = B \Delta A</math> <math>(A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C)</math> La differenza simmetrica di due differenze simmetriche ripetute è la differenza simmetrica ripetuta della somma dei due multiinsiemi, con la rimozione di ogni insieme che compaia due volte. In particolare: <math>(A \Delta B) \Delta (B \Delta C) = A \Delta C</math> Questa uguaglianza esprime anche una specie di disuguaglianza triangolare: la differenza simmetrica di A e C è contenuta nell'unione tra le differenze simmetriche di A e B e di B e C. Se consideriamo l'insieme delle parti di un qualsiasi insieme X con la differenza simmetrica, esso diventa un gruppo abeliano, in quanto <math>A \Delta \varnothing = A</math> e <math>A \Delta A = \varnothing</math> cioè l'insieme vuoto è l'elemento neutro e ogni insieme è l'inverso di se stesso. Ma questo ci dice anche che questa struttura algebrica è addirittura uno spazio vettoriale sopra il campo finito delle classi di resto modulo 2 <math>Z_2</math>. Inoltre, la distributività dell'intersezione sulla differenza simmetrica: <math>A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)</math> implica che l'insieme delle parti di X diventa un anello, più specificamente il prototipo di anello booleano.
- 数学において、対称差（たいしょうさ）または環和とは、二つの集合に対し、どちらか一方の集合には含まれるが両方とも含まれることがないような元を集めてできる新たな集合のことをいう。集合 P と Q の対称差には P Δ Q という記号がよく使われる。 差集合などの記号を用いて表すと次のような関係がある； <math>P \, \triangle \, Q = (P \cup Q) \setminus (P \cap Q) = (P \setminus Q) \cup (Q \setminus P)</math> 対称差は論理演算の排他的論理和と同等である。
- Różnica symetryczna zbiorów <math>A</math> i <math>B</math> to zbiór, do którego należą te elementy zbioru <math>A</math>, które nie należą do zbioru <math>B</math> oraz te, które należą do zbioru <math>B</math>, ale nie należą do zbioru <math>A</math>. Różnicę symetryczną oznaczamy za pomocą symbolu <math>\dot{-}</math>, niektórzy używają również symbolu <math>\Delta</math> lub <math>\oplus</math>.
- Симметри́ческая ра́зность в теории множеств — это сумма разностей двух множеств.
- В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох. Симетрична різниця множин A та B позначається як AΔB. Файл:Sym complement. png Симетрична різниця AΔB Наприклад, симетрична різниця множин {1,2,3} та {3,4} є {1,2,4}. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх особ жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами. Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок: A Δ B = (A \ B) ∪(B \ A) Зв'язок з операцією перетину множин такий: A Δ B = (A ∪B) \ (A ∩B) Мовою математичної логіки: A Δ B = { x : (x ∈A) ⊕ (x ∈B) }. Тут ⊕ -- логічна функція заперечення тотожності. Симетрична різниця є комутативною та асоціативною: A Δ B = B Δ A (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) Порожня множина є нейтральним елементом, і кожна множина є зворотним елементом до самої себе відносно цієї операції: A Δ Ø = A A Δ A = Ø Перетин множин є дистрибутивним відносно симетричної різниці: A ∩(B Δ C) = (A ∩B) Δ (A ∩C) В булевій алгебрі симетрична різниця може бути визначеною наступним чином: x Δ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y) = (x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x)
- 数学上，两个集合的对称差是只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算。 集合 A 和 B 的对称差通常表示为 AΔB。 例如：集合 {1,2,3} 和 {3,4} 的对称差为 {1,2,4}。所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成的集合。 对称差相当于两个相对补集的并集，即： A Δ B = (A − B) ∪(B − A) 也可以表示为两个集合的并集减去它们的交集： A Δ B = (A ∪B) − (A ∩B) 或者用 XOR 运算表示： A Δ B = { x : (x ∈A) XOR (x ∈B) }. 对称差运算满足交换律和结合律： A Δ B = B Δ A (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) 在对称差运算中，空集是单位元，任何元素都是其自身的逆元： A Δ Ø = A A Δ A = Ø 综上可得，采用对称差运算，任意集合 X 的幂集是阿贝尔群。由于该群中所有元素都是其自身的负元， 这个群实际上是二元域 Z2 上的向量空间。若 X 有限，则以其为元素的单元素集合构成这个向量空间的基，那么向量空间的维数等于 X 的元素个数。这种构造方法用于图论，可定义图的圈空间。 对称差相对交集满足分配律： A ∩(B Δ C) = (A ∩B) Δ (A ∩C) 表明以对称差作为加法，交集作为乘法，X 的幂集是一个环。这是布尔环的一个示例。 对称差可以在任意布尔代数中定义，写作 x Δ y = (x ∨ y) ∧ ¬(x ∧ y) = (x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x) 这个运算具有用集合中的对称差相同的性质。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, the symmetric difference of two sets is the set of elements which are in one of the sets, but not in both. This operation is the set-theoretic kin of the exclusive disjunction (XOR operation) in Boolean logic. The symmetric difference of the sets A and B is commonly denoted by <math> A\,\Delta\,B\,</math> or <math>A \ominus B. </math> For example, the symmetric difference of the sets {1,2,3} and {3,4} is {1,2,4}.
- In matematica, la differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme che contiene gli elementi presenti solo in uno dei due insiemi. È l'equivalente insiemistico dell'operazione logica nota come XOR. La differenza simmetrica tra due insiemi è comunemente denotata <math>A \, \Delta \, B</math>.
- Różnica symetryczna zbiorów <math>A</math> i <math>B</math> to zbiór, do którego należą te elementy zbioru <math>A</math>, które nie należą do zbioru <math>B</math> oraz te, które należą do zbioru <math>B</math>, ale nie należą do zbioru <math>A</math>.
- Симметри́ческая ра́зность в теории множеств — это сумма разностей двух множеств.
- В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох. Симетрична різниця множин A та B позначається як AΔB. Файл:Sym complement.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
