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- In mathematics, the surreal number system is an arithmetic continuum containing the real numbers as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number. The surreals share many properties with the reals, including a total order ≤ and the usual arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division); as such, they form an ordered Field. In a rigorous set theoretic sense, the surreal numbers are the largest possible ordered field; all other ordered fields, such as the rationals, the reals, the rational functions, the Levi-Civita field, the superreal numbers, and the hyperreal numbers, are subfields of the surreals. The surreals also contain all transfinite ordinal numbers reachable in the set theory in which they are constructed. The definition and construction of the surreals is due to John Horton Conway. They were introduced in Donald Knuth's 1974 book Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. This book is a mathematical novelette, and is notable as one of the rare cases where a new mathematical idea was first presented in a work of fiction. In his book, which takes the form of a dialogue, Knuth coined the term surreal numbers for what Conway had simply called numbers originally. Conway liked the new name, and later adopted it himself. Conway then described the surreal numbers and used them for analyzing games in his 1976 book On Numbers and Games. In fact this attribution, while widely believed, is not fully correct. The idea of surreals and the rigorous definition of infinitesimal numbers was known at least as early as 1901, as can be seen on page 29 of Poincaré’s 1901 Science and Hypothesis. A recent, rigorous treatment is Badiou's 1990 Le Nombre et les nombres.
- Die surrealen Zahlen bilden eine Klasse von Zahlen, die alle reellen Zahlen umfasst, sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl. Dabei ist jede reelle Zahl von surrealen Zahlen umgeben, die ihr näher sind als jede andere reelle Zahl, insbesondere gibt es „infinitesimale“ Zahlen, die näher bei Null liegen als jede positive reelle Zahl. Darin stimmen sie mit den hyperreellen Zahlen überein, aber sie werden auf eine völlig andere Weise konstruiert und enthalten die hyperreellen Zahlen als Teilmenge. Das Wort „surreal“ entstammt dem französischen und bedeutet „über der Wirklichkeit“. Es wird auch für die Stilrichtung des Surrealismus verwendet. Surreale Zahlen wurden zuerst von John Conway vorgestellt und 1974 im Detail beschrieben in Donald E. Knuths Buch Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. Dieses Buch ist eigentlich kein Fachbuch, sondern eine Novelle, und es ist einer der wenigen Fälle, in denen eine neue mathematische Idee zuerst in einem literarischen Werk präsentiert wurde. In seinem Buch, das in Dialogform gehalten ist, prägte Knuth den Begriff surreale Zahlen für das, was Conway ursprünglich nur Zahlen nannte. Conway gefiel der neue Name, sodass er ihn später übernahm. Er beschrieb die surrealen Zahlen und nutzte sie zur Analyse von Spielen in seinem Buch On Numbers and Games (1976).
- Nadreálné číslo je společným zúplněním pojmu reálného, ordinálního a hyperreálného čísla. Z čistě matematického hlediska je každé nadreálné číslo uspořádaná dvojice množin nadreálných čísel, která nadto splňuje jisté podmínky.
- Surreaaliluku on matematiikassa luku, joka voi olla itseisarvoltaan myös pienempi tai suurempi kuin mikään positiivinen reaaliluku. Surreaalilukujen kunta sisältää reaalilukujen lisäksi sekä äärettömän suuret että äärettömän pienet luvut.
- En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif. Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness . Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont un sur-ensemble des nombres surréels, construit avec des conditions plus faibles que ces derniers.
- In matematica i numeri surreali costituiscono un campo che contiene i numeri reali e anche numeri infiniti e infinitesimi, rispettivamente maggiori o minori in valore assoluto di qualunque numero reale positivo. Per questo motivo i numeri surreali sono algebricamente simili ai numeri superreali e iperreali. La definizione e la costruzione dei surreali sono dovute a John Horton Conway, ed esemplificano la sua originalità e la sua inventiva. Furono introdotti da Donald Knuth in un libro del 1974 dal titolo Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness . Questo libro è un breve racconto matematico, e va notato che è uno dei rari casi in cui una nuova idea matematica viene prima presentata in un lavoro di fantasia. Nel suo libro, che ha la forma di dialogo, Knuth ha coniato il termine numero surreale per quegli oggetti che Conway, in origine, aveva semplicemente chiamato numeri. A Conway piacque il nuovo nome tanto che, in seguito, lo adottò. Conway ha descritto i numeri surreali e li ha usati per analizzare i giochi nel suo libro del 1976 dal titolo On Numbers and Games.
- De surreële getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. De verzameling van surreële getallen wordt wel aangegeven met אo (alef-nul). Net als de reële getallen vormen de surreële getallen een totaal geordend veld (in België) / lichaam (in Nederland). In tegenstelling tot de reële getallen bevat אo ook infinitesimalen (d.w.z. oneindig kleine) en oneindig grote elementen. In zekere zin vormen de surreële getallen de grootst mogelijke van al dergelijke uitbreidingen. De surreële getallen kunnen opgebouwd worden vanuit de lege verzameling, door toepassing van het principe van Dedekindsneden, dat ook ten grondslag ligt aan de reële getallen. In een oneindige reeks tussenstappen worden voortdurend nieuwe getallen gedefinieerd in termen van eerder gedefinieerde. Surreële getallen werden ontwikkeld door de Engelse wiskundige John Horton Conway als een nevenresultaat van onderzoek naar de structuur van een bepaalde klasse van wiskundige spellen. De naam werd echter bedacht door Donald Knuth, maar werd later ook door Conway gebruikt.
- Liczby nadrzeczywiste są klasą obiektów, spełniającą aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste, hiperrzeczywiste, jak i porządkowe. Tak jak liczby hiperrzeczywiste klasa ta zawiera również wielkości nieskończone oraz nieskończenie małe (infinitezymalne). Klasa liczb nadrzeczywistych oryginalnie została oznaczona No, jednak ze względu na podobieństwo do oznaczenia liczb naturalnych z zerem <math>\mathbb{N}_0</math> poniżej użyty został symbol <math>F</math>.
- Em matemática, os números surreais são uma classe de números que inclui todos os números reais e também números "infinitos", maiores ou menores que qualquer número real; também inclui números "infinitesimais", que estão mais próximos do zero que qualquer número real. Todos os números reais estão rodeados de números surreais, que estão mais próximos de si do que qualquer número real. Os números surreais têm estrutura de corpo ordenado, o que significa que as quatro operações aritméticas básicas são definidas e se comportam como esperado. O inverso multiplicativo de um número infinito é um infinitesimal não-nulo, e vice-versa. Nisto, os surreais são semelhantes aos números hiperreais, mas a sua construção é muito diferente. A classe dos surreais é maior e inclui os hiperreais como também os ordinais de Cantor como subclasses. Os matemáticos elogiaram os surreais por serem mais simples, mais gerais e construídos de forma mais limpa do que o sistema, mais comum, dos números reais. Os números surreais foram inicialmente propostos por John H. Conway por volta de 1970, e mais tarde desenvolvidos por Donald Knuth no seu livro de 1974 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. Este livro era, na realidade, uma noveleta matemática e é notável por ser um dos raros casos em que uma nova idéia matemática foi apresentada pela primeira vez numa obra de ficção. No seu livro, que toma a forma de diálogo, Knuth criou o termo números surreais para aquilo que Conway tinha simplesmente chamado números. Conway gostou do novo nome, e adoptou-o mais tarde ele mesmo. Conway então descreveu os números surreais e usou-os para analisar jogos no seu livro de 1976 On Numbers and Games. No contexto da teoria dos conjuntos, não existe o conjuntos dos números surreais, que, se existisse, teria a cardinalidade do conjunto de todos os conjuntos.
- Mellan heltalen ligger de reella talen. På samma sätt finns mellan Cantors ordinaltal de surreella talen. De konstruerades av John Conway i början av 1970-talet. Termen surreella tal myntades först av Donald Knuth, en kollega till Conway, i en novell 1973. Conway kopplar de surreella talen till spelet Hackenbush. Det visar sig nämligen vid studier av detta spel att varje Hackenbushställning har ett värde, som är ett surreellt tal, och att varje surreellt tal motsvaras av en Hackenbushställning.
- 在數學上，超現實數系統是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係 「≤」 以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、 列維-奇維塔域（Levi-Civita field）、上超實數域和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。 超現實數是由約翰·何頓·康威（John Horton Conway）所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納（Donald Knuth）在他的書《超現實數》中就被引進了。《超現實數》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，唐納德造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
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- In mathematics, the surreal number system is an arithmetic continuum containing the real numbers as well as infinite and infinitesimal numbers, respectively larger or smaller in absolute value than any positive real number. The surreals share many properties with the reals, including a total order ≤ and the usual arithmetic operations (addition, subtraction, multiplication, and division); as such, they form an ordered Field.
- Die surrealen Zahlen bilden eine Klasse von Zahlen, die alle reellen Zahlen umfasst, sowie „unendlich große“ Zahlen, die größer sind als jede reelle Zahl. Dabei ist jede reelle Zahl von surrealen Zahlen umgeben, die ihr näher sind als jede andere reelle Zahl, insbesondere gibt es „infinitesimale“ Zahlen, die näher bei Null liegen als jede positive reelle Zahl.
- Nadreálné číslo je společným zúplněním pojmu reálného, ordinálního a hyperreálného čísla. Z čistě matematického hlediska je každé nadreálné číslo uspořádaná dvojice množin nadreálných čísel, která nadto splňuje jisté podmínky.
- Surreaaliluku on matematiikassa luku, joka voi olla itseisarvoltaan myös pienempi tai suurempi kuin mikään positiivinen reaaliluku. Surreaalilukujen kunta sisältää reaalilukujen lisäksi sekä äärettömän suuret että äärettömän pienet luvut.
- En mathématiques, les nombres surréels sont un corps qui inclut tous les nombres réels, ainsi que tous les ordinaux transfinis et leurs inverses, respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif. Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness .
- In matematica i numeri surreali costituiscono un campo che contiene i numeri reali e anche numeri infiniti e infinitesimi, rispettivamente maggiori o minori in valore assoluto di qualunque numero reale positivo. Per questo motivo i numeri surreali sono algebricamente simili ai numeri superreali e iperreali. La definizione e la costruzione dei surreali sono dovute a John Horton Conway, ed esemplificano la sua originalità e la sua inventiva.
- De surreële getallen vormen een uitbreiding van de reële getallen. De verzameling van surreële getallen wordt wel aangegeven met אo (alef-nul). Net als de reële getallen vormen de surreële getallen een totaal geordend veld (in België) / lichaam (in Nederland). In tegenstelling tot de reële getallen bevat אo ook infinitesimalen (d.w.z. oneindig kleine) en oneindig grote elementen. In zekere zin vormen de surreële getallen de grootst mogelijke van al dergelijke uitbreidingen.
- Liczby nadrzeczywiste są klasą obiektów, spełniającą aksjomaty ciała, która zawiera w sobie zarówno liczby rzeczywiste, hiperrzeczywiste, jak i porządkowe. Tak jak liczby hiperrzeczywiste klasa ta zawiera również wielkości nieskończone oraz nieskończenie małe (infinitezymalne).
- Em matemática, os números surreais são uma classe de números que inclui todos os números reais e também números "infinitos", maiores ou menores que qualquer número real; também inclui números "infinitesimais", que estão mais próximos do zero que qualquer número real. Todos os números reais estão rodeados de números surreais, que estão mais próximos de si do que qualquer número real.
- Mellan heltalen ligger de reella talen. På samma sätt finns mellan Cantors ordinaltal de surreella talen. De konstruerades av John Conway i början av 1970-talet. Termen surreella tal myntades först av Donald Knuth, en kollega till Conway, i en novell 1973. Conway kopplar de surreella talen till spelet Hackenbush.
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