| dbpprop:abstract
|
- In differential geometry, Stokes' theorem (also called the generalized Stokes' theorem) is a statement about the integration of differential forms on manifolds, which generalizes several theorems from vector calculus. William Thomson first discovered the result and communicated it to George Stokes in July 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name.
- Der Satz von Stokes oder Stokes'scher Integralsatz, häufig auch allgemeiner Satz von Stokes genannt, ist ein Ergebnis aus der Differentialgeometrie. In seiner allgemeinsten Form handelt es sich um einen sehr tiefliegenden Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. Es geht darum, n-dimensionale Volumenintegrale über das Innere in Randintegrale über die Oberfläche des Volumenstücks umzuwandeln. Häufig werden speziellere Varianten des allgemeinen Satzes angegeben, aus denen das allgemeine Prinzip mehr oder minder gut ersichtlich ist; die beiden wichtigsten Spezialfälle, der gaußsche Integralsatz und der spezielle stokessche Integralsatz (siehe unten) entstammen der Vektoranalysis. In der Physik erlaubt der Satz von Stokes elegante Schreibweisen physikalischer Zusammenhänge, zum Beispiel bei den integrierten Formen der Maxwellschen Gleichungen.
- El teorema de Stokes en geometria diferencial és una declaració sobre la integració de formes diferencials que generalitza en diversos teoremes del càlcul vectorial. Deu el seu nom a Sir George Gabriel Stokes. El teorema va agafar el seu nom per l'hàbit de Stokes en incloure'l als exàmens de Cambridge. Sigui M una varietat de dimensió n diferenciable a trossos, orientada i compacte, i sigui <math>\omega</math> una forma diferencial en M de grau n−1 i de classe C n−1. Si ∂M denota el límit de M amb la seva orientació induïda, llavors <math>\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega. \!\,</math> Aquí, d és la derivada exterior, que es defineix fent servir només l'estructura de varietat. El teorema de Stokes es pot considerar com una generalització de teorema fonamental del càlcul; de fet, aquest segon es pot treure fàcilment del primer. El teorema es fa servir sovint en situacions on M és una subvarietat orientada submergida en una varietat més gran en la qual es defineix la forma <math>\omega</math>. El teorema s'estén fàcilment a les combinacions lineals de les subvarietats diferenciables a trossos, també anomenades cadenes. Llavors, el teorema de Stokes demostra que formes tancades definides fins a una forma exacta es poden integrar sobre cadenes definides fins a una vora. Aquesta és la base de l'emparellament entre els grups homològics i la cohomologia de Rham. El teorema de Kelvin-Stokes clàssic: <math> \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r}, </math> que relaciona la integral de superfície del rotacional d'un camp vectorial sobre una superfície <math>\Sigma</math> en el 3-espai euclidià a la integral de línia del camp vectorial sobre la seva vora, és un cas especial del teorema de Stokes general (amb n = 2) a la que identifiquem un camp vectorial amb una 1-forma fent servir la mètrica al 3-espai euclidià. La primera declaració coneguda del teorema és per William Thomson (Lord Kelvin) i apareix a la seva carta a Stokes. Es pot reescriure com a <math>\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dxdy=\oint\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz</math> on P, Q i R són les components de v. Així mateix, el teorema de Ostrogradsky-Gauss (també conegut com el teorema de la divergència o el teorema de Gauss) <math>\int_{\mathrm{Vol}} \nabla \cdot \mathbf{v} \; d\mathrm{Vol} = \int_{\partial \mathrm{Vol}} \mathbf{v} \cdot d\Sigma</math> és un cas especial si s'identifica el camp vectorial en la forma n-1 obtinguda de contreure el camp vectorial a la forma de volum euclidià. El teorema fonamental del càlcul i el teorema de Green també són casos especials del teorema general de Stokes. La forma general del teorema de Stokes fent servir formes diferencials és més potent que els casos especials, encara que aquests últims són els més accessibles i sovint els considerats com a més convenients pels científics i enginyers.
- Stokesova věta, je věta matematické analýzy, která dává do souvislosti křivkový integrál vektorového pole přes uzavřenou křivku a plošný integrál z rotace daného vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Zobecněné Stokesovy věty. Ekvivalentem Stokesovy věty v rovině je tzv. Greenova věta.
- El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes, a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
- Stokesin lause yhdistää suljetun polkuintegraalin sekä polun rajaaman avoimen pinnan pintaintegraalin <math>\int_S \left(\nabla \times \mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{dS} = \oint_C \mathbf{F \cdot dl}</math> missä: <math>\mathbf{F}</math> on vektorikenttä <math>\nabla \times \mathbf{F}</math> on vektorikentän <math>\mathbf{F}</math> roottori S on avoin pinta euklidisessa 3-avaruudessa C on suljettu polku, joka rajaa avoimen pinnan S Polkuintegraali lasketaan polkua vastapäivään, kun sitä katsotaan pinnan ulkopuolelta. Stokesin lause voidaan esittää myös differentiaalimuodossa <math>\iint\limits_{S}\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\,dydz+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\,dzdx+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\,dxdy=\oint\limits_{C}F_1 \,dx+F_2 \,dy+F_3 \,dz</math> missä F1, F2 ja F3 ovat F:n komponentteja karteesisessa koordinaatistossa.
- En géométrie différentielle, le théorème de Stokes est un résultat central sur l'intégration de formes différentielles, qui généralise nombre de théorèmes sur l'analyse vectorielle. Après l'énoncé et la démonstration, cet article en propose nombre d'applications : en particulier, il fournit un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides. Théorème — Théorème de Stokes Le théorème est attribué à Sir George Gabriel Stokes, mais le premier à connaître ce résultat est en réalité William Thomson. Le mathématicien et le physicien entretiennent une correspondance active durant 5 ans de 1847 à 1853. La preuve demande de disposer d'une bonne définition de l'intégration; il faut se rendre compte que l'apparente simplicité de la démonstration actuelle est trompeuse.
- A Stokes-tétel hasonlóan a Gauss-Osztrogradszkij-tételhez, különböző dimenziójú integrálokat alakít át egymásba. Míg a Gauss-Osztrogradszkij-tétel a felületi és a térfogati integrál között teremt kapcsolatot, addig a Stokes-tétel a vonalintegrált és a felületi integrált kapcsolja össze az alábbi módon: <math>\oint_S\mathbf{A}\mathbf{dS} =\int_Frot\mathbf{A}dF,</math> azaz tetszőleges A vektor zárt S görbe menti vonalintegrálja megegyezik a vektor rotációjának görbe által bezárt felületre merőleges komponensének felületi integráljával. Az S zárt görbe mentén a vonalintegrált abban az irányban kell venni, amely az F zárt felület külső oldaláról nézve az óramutató járásával ellenkezőnek látszik. A Stokes-tételből következik, hogy ha egy vektortér bármely zárt görbére vett vonalintegrálja eltűnik (rotációmentes), akkor ez a vektortér felírható valamilyen skalár-vektor függvény gradienseként.
- Il teorema di Stokes è un enunciato di geometria differenziale riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin): essa appare in una lettera da lui inviata a Stokes nel luglio del 1850.
- ストークスの定理（Stokes' theorem）は、ベクトル解析の定理のひとつ。イギリスの物理学者ジョージ・ガブリエル・ストークスが導出した。ベクトル解析におけるグリーン・ガウス・ストークスの定理を、より一般的な向きづけられた多様体上に拡張したものも、同様にストークスの定理と呼ばれる。
- De stelling van Stokes is een wiskundige stelling, die zegt dat de kringintegraal van het scalair product van een vectorveld E met een infinitesimale verandering van de plaatsvector dr gelijk is aan de oppervlakteintegraal van de normaalcomponenten van de rotatie van E. Deze stelling is ontwikkeld door George Gabriel Stokes, een wiskundige aan de Universiteit van Cambridge die in de in de 19 eeuw leefde. De stelling heeft belangrijke toepassingen in de vloeistofdynamica en in het elektromagnetisme, zie de Vergelijkingen van Maxwell. Stelling van Stokes: <math> \int_{\Sigma} \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) \cdot \mathbf{n}\; \text{d}A = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{E} \cdot \text{d} \mathbf{r}. </math> Hierbij zijn: E is het beschouwde vectorveld, een functie van de driedimensionale coördinaten (bijvoorbeeld x, y en z), Σ is het (mogelijkerwijs gekromde) oppervlak waarover geïntegreerd wordt, ∂Σ is de rand van het oppervlak Σ, ∇ is de gradiëntoperator, × is het uitwendig product, · is het inwendig product, n de normaalvector op het oppervlak Σ, dr de infinitesimale verandering van de plaatsvector r langs de rand ∂Σ en dA is een infinitesimaal oppervlakte–element. Om het correcte teken te krijgen is het belangrijk dat de rand ∂Σ een positieve oriëntatie heeft: dit houdt in dat de verandering van de plaatsvector dr langs de rand tegen de wijzers van de klok in verloopt, als de normaalvector n op het oppervlak Σ naar de kijker toe wijst. Dit komt overeen met de rechterhandregel.
- Stokes' teorem sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket kurve kan omskrives som et flateintegral over en flate som ligger innenfor denne kurva. <math>\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A}</math> Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier. Et eksempel på bruk er innen elektromagnetismen hvis en vil omskrive Faradays induksjonslov fra integralform til differensialform: <math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { \partial \over \partial t } \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}</math> gir ved Stokes' teorem: <math>\int_S \nabla \times \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}</math> Derivasjonsoperatoren på tid i det siste uttrykket kan settes på innsiden av integraltegnet siden tida er uavhengige av arealet: <math>\int_S \nabla \times \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\int_S -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A}</math> Ettersom integralet er helt likt på begge sider, kan integrasjonsoperatorene fjernes: <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math> Vi har her fått Faradays lov på differensialform.
- Twierdzenie Stokesa – w najczęściej spotykanym przypadku trójwymiarowym, twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa.
- O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma indicação sobre a integração de equações diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes, embora a primeira referência conhecida da teoria seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes. Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green.
- Teorema lui Stokes din geometria diferenţială este o afirmaţie despre integrarea formelor diferenţiale care generalizează câteva teoreme din calculul vectorial. Îşi trage numele de la Sir George Gabriel Stokes, deşi primul care a enunţat această teoremă a fost William Thomson (Lord Kelvin) şi apare într-o scrisoare a acestuia către Stokes. Teorema a fost numită după Stokes din cauza obiceiului acestuia de a o include în examenele pentru premiul Cambridge. În 1854, a cerut studenţilor săi să demonstreze această teoremă la un examen. Nu se ştie dacă a reuşit vreunul din ei.
- Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.
- Stokes sats, efter George Gabriel Stokes, säger att för varje kontinuerligt deriverbar funktion gäller, då C=δS är en sluten kurva i rummet, följande: <math>\oint_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}={\iint}_S\left(\nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot d\mathbf{S}={\iint}_S\mbox{rot }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}</math> eller <math>\oint_{C}{P}dx+{Q}dy+{R}dz={\iint}_S\left(R_y'-Q_z'\right)dydz+\left(P_z'-R_x'\right)dzdx+ \left(Q_x'-P_y'\right)dxdy</math> <math>\oint_{C}{\mathbf{F}\times d\mathbf{r}}=-{\iint}_{S}{\left(d\mathbf{S}\times\nabla\right)\times\mathbf{F}}</math> <math>\oint_{C}{\Phi d\mathbf{r}}={\iint}_{S}{\left(d\mathbf{S}\times\nabla\right)\Phi}</math> I differentialgeometri använder man sig av en formalism som tillåter de ovanstående likheterna att skrivas som en enda likhet <math>\int_{C}\omega = \int_{S}d\omega</math> där ω är en differentialform, och d är den yttre differentialen, och alla integraler är tagna lämpligt antal gånger. Den stora vitsen med detta uttryck är att det omedelbart generaliserar till högre dimensioner, då är S ett n-dimensionellt område och C är dess rand. Likväl så gäller samma formel i en dimension om man med integralen över en 0-dimensionell mängd syftar på funktionsevaluering och tänker på att randen av ett intervall är två punkter. Detta specialfall är den välkända analysens fundamentalsats. Ett annat specialfall är Greens sats.
- Теорема Стокса — одна из основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа по імені ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.
- 斯托克斯定理(Stokes theorem)是微分几何中，关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了几个向量微积分的定理。它以斯托克斯(George Gabriel Stokes，1819-1903)爵士命名。
|
| rdfs:comment
|
- In differential geometry, Stokes' theorem (also called the generalized Stokes' theorem) is a statement about the integration of differential forms on manifolds, which generalizes several theorems from vector calculus. William Thomson first discovered the result and communicated it to George Stokes in July 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name.
- Der Satz von Stokes oder Stokes'scher Integralsatz, häufig auch allgemeiner Satz von Stokes genannt, ist ein Ergebnis aus der Differentialgeometrie. In seiner allgemeinsten Form handelt es sich um einen sehr tiefliegenden Satz über die Integration von Differentialformen, der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. Es geht darum, n-dimensionale Volumenintegrale über das Innere in Randintegrale über die Oberfläche des Volumenstücks umzuwandeln.
- El teorema de Stokes en geometria diferencial és una declaració sobre la integració de formes diferencials que generalitza en diversos teoremes del càlcul vectorial. Deu el seu nom a Sir George Gabriel Stokes. El teorema va agafar el seu nom per l'hàbit de Stokes en incloure'l als exàmens de Cambridge.
- Stokesova věta, je věta matematické analýzy, která dává do souvislosti křivkový integrál vektorového pole přes uzavřenou křivku a plošný integrál z rotace daného vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Zobecněné Stokesovy věty. Ekvivalentem Stokesovy věty v rovině je tzv. Greenova věta.
- El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes, a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes.
- En géométrie différentielle, le théorème de Stokes est un résultat central sur l'intégration de formes différentielles, qui généralise nombre de théorèmes sur l'analyse vectorielle. Après l'énoncé et la démonstration, cet article en propose nombre d'applications : en particulier, il fournit un formulaire qu'utilisent volontiers physiciens et ingénieurs, particulièrement en mécanique des fluides.
- A Stokes-tétel hasonlóan a Gauss-Osztrogradszkij-tételhez, különböző dimenziójú integrálokat alakít át egymásba.
- Il teorema di Stokes è un enunciato di geometria differenziale riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin): essa appare in una lettera da lui inviata a Stokes nel luglio del 1850.
- ストークスの定理（Stokes' theorem）は、ベクトル解析の定理のひとつ。イギリスの物理学者ジョージ・ガブリエル・ストークスが導出した。ベクトル解析におけるグリーン・ガウス・ストークスの定理を、より一般的な向きづけられた多様体上に拡張したものも、同様にストークスの定理と呼ばれる。
- De stelling van Stokes is een wiskundige stelling, die zegt dat de kringintegraal van het scalair product van een vectorveld E met een infinitesimale verandering van de plaatsvector dr gelijk is aan de oppervlakteintegraal van de normaalcomponenten van de rotatie van E. Deze stelling is ontwikkeld door George Gabriel Stokes, een wiskundige aan de Universiteit van Cambridge die in de in de 19 eeuw leefde.
- Stokes' teorem sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket kurve kan omskrives som et flateintegral over en flate som ligger innenfor denne kurva. <math>\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{A}</math> Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier.
- Twierdzenie Stokesa – w najczęściej spotykanym przypadku trójwymiarowym, twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych.
- O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma indicação sobre a integração de equações diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes, embora a primeira referência conhecida da teoria seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes. Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green.
- Teorema lui Stokes din geometria diferenţială este o afirmaţie despre integrarea formelor diferenţiale care generalizează câteva teoreme din calculul vectorial. Îşi trage numele de la Sir George Gabriel Stokes, deşi primul care a enunţat această teoremă a fost William Thomson (Lord Kelvin) şi apare într-o scrisoare a acestuia către Stokes. Teorema a fost numită după Stokes din cauza obiceiului acestuia de a o include în examenele pentru premiul Cambridge.
- Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.
- Теорема Стокса — одна из основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа по імені ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.
- 斯托克斯定理(Stokes theorem)是微分几何中，关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了几个向量微积分的定理。它以斯托克斯(George Gabriel Stokes，1819-1903)爵士命名。
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
