In mathematics, the smash product of two pointed spaces (i.e. topological spaces with distinguished basepoints) X and Y is the quotient of the product space X × Y under the identifications (x, y0) ∼ (x0, y) for all x ∈ X and y ∈ Y. The smash product is usually denoted X ∧ Y. The smash product depends on the choice of basepoints (unless both X and Y are homogeneous). One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y.

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  • In mathematics, the smash product of two pointed spaces (i.e. topological spaces with distinguished basepoints) X and Y is the quotient of the product space X × Y under the identifications (x, y0) ∼ (x0, y) for all x ∈ X and y ∈ Y. The smash product is usually denoted X ∧ Y. The smash product depends on the choice of basepoints (unless both X and Y are homogeneous). One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y. These subspaces intersect at a single point: (x0, y0), the basepoint of X × Y. So the union of these subspaces can be identified with the wedge sum X ∨ Y. The smash product is then the quotient <math>X \wedge Y = X \times Y / X \vee Y</math>. The smash product has important applications in homotopy theory, a branch of algebraic topology. In homotopy theory, one often works with a different category of spaces then the category of all topological spaces. In some of these categories the definition of the smash product must be modified slightly. For example, the smash product of two CW complexes is a CW complex if one uses the product of CW complexes in the definition rather than the product topology. Similar modifications are necessary in other categories.
  • Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Für zwei gegebene punktierte topologische Räume X und Y mit Basispunkten x0 und y0 betrachtet man zunächst den Produktraum X × Y mit der Identifizierung (x, y0) ∼ (x0, y) für alle x ∈ X und alle y ∈ Y. Der Quotient von X × Y unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von X und Y und wird mit X ∧ Y bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab. Wenn man den Raum X mit X × {y0} und Y mit {x0} × Y identifiziert, so schneiden sich X und Y in (x0, y0) und ihre Vereinigung liefert den Unterraum X ∨ Y von X × Y. Das Smash Produkt ist dann der Quotient <math>X \wedge Y = X \times Y / X \vee Y</math>. Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopie-Theorie wichtig, wo es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homotopie, d.h. X ∧ Y und Y ∧ X sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotop.
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  • In mathematics, the smash product of two pointed spaces (i.e. topological spaces with distinguished basepoints) X and Y is the quotient of the product space X × Y under the identifications (x, y0) ∼ (x0, y) for all x ∈ X and y ∈ Y. The smash product is usually denoted X ∧ Y. The smash product depends on the choice of basepoints (unless both X and Y are homogeneous). One can think of X and Y as sitting inside X × Y as the subspaces X × {y0} and {x0} × Y.
  • Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Für zwei gegebene punktierte topologische Räume X und Y mit Basispunkten x0 und y0 betrachtet man zunächst den Produktraum X × Y mit der Identifizierung (x, y0) ∼ (x0, y) für alle x ∈ X und alle y ∈ Y. Der Quotient von X × Y unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von X und Y und wird mit X ∧ Y bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.
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  • Smash product
  • Smash-Produkt
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