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- In mathematics, 'simultaneous equations' are a set of equations containing multiple variables. This set is often referred to as a 'system of equations'. A solution to a system of equations is a particular specification of the values of all variables that simultaneously satisfies all of the equations. To find a solution, the solver needs to use the provided equations to find the exact value of each variable. Generally the solver uses either a graphical method, the matrix method, the substitution method, or the elimination method. Some textbooks refer to the elimination method as the addition method, since it involves adding equations (or constant multiples of the said equations) to one another, as detailed later in this article. This is a set of linear equations, also known as a linear system of equations: \begin{cases} 2x + y = 8\\ x + y = 6 \end{cases} Solving this involves subtracting x + y = 6 from 2x + y = 8 (using the elimination method) to remove the y-variable, then simplifying the resulting equation to find the value of x, then substituting the x-value into either equation to find y. The solution of this system is: \begin{cases} x = 2\\ y = 4 \end{cases} which can also be written as an ordered pair (2, 4), representing on a graph the coordinates of the point of intersection of the two lines represented by the equations.
- Soustava rovnic je úloha, při níž máme nalézt řešení systému rovnic <math>F_1(x_1,\,x_2,... ,\,x_n) = 0</math> <math>F_2(x_1,\,x_2,... ,\,x_n) = 0</math> … <math>F_m(x_1,\,x_2,... ,\,x_n) = 0</math>, kde <math>F_1,\,F_2, ... , \,F_m</math> jsou libovolné funkce <math>n\,</math> proměnných <math>x_1, \,x_2, ... , \,x_n</math>. Uvedenou soustavu rovnic lze také zapsat ve tvaru <math>\mathbf{F}(x_1,\,x_2,... ,\,x_n) = 0</math>, kde <math>\mathbf{F}</math> označuje vektorovou funkci, jejímiž složkami jsou funkce <math>F_1(x_1,\,x_2,... ,\,x_n)</math>, <math>F_2(x_1,\,x_2,... ,\,x_n)</math>, …, <math>F_m(x_1,\,x_2,... ,\,x_n)</math>.
- En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices. Sistema general La forma genérica de un sistema de m\, ecuaciones y n\, incógnitas es la siguiente: \left\{\begin{matrix}F_1(x_1,... ,x_n)0 \\ \vdots \\ F_m(x_1,... ,x_n)0\end{matrix}\right. donde F_1, \ldots, F_m son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo \R^n, será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión F_i\, con los valores de dicha solución, verifique la ecuación. Representación gráfica Los sistemas de 2 o 3 incógnitas admiten representaciones gráficas cuando las funciones F_i\, en son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas. Clasificación de los sistemas Un sistema de ecuaciones sobre \R^n puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones en: Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución. Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en: Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua. Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de acumulación. Sistema lineal Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada. Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esa forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma: \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1Y} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2Y} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{X1} & a_{X2} & \cdots & a_{XY} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_Y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_X \end{pmatrix} La primera es la matriz de coeficientes, donde el término a_{ij}\, representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las Y\, incógnitas que queremos averiguar. Y la tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada b_i\, representa al término independiente de la ecuación i-ésima. Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, pretendemos llegar a una matriz de este tipo: \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_X \end{pmatrix} Una vez la matriz se ha triangulado, el valor de cada término b_i\, se corresponderá con el de la incógnita x_i\,. Si nos encontramos alguna fila del tipo \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & b_X \\\end{pmatrix}, con b_X\ne0\,, el sistema no tendrá solución. Existencia de soluciones El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de solución, de un sistema como con m n\,. Si sucede que la función vectorial: \mathbf{F}:\R^n \longrightarrow \R^n, \qquad (x_1,\dots,x_n) \mapsto (F_1,\dots,F_n) Es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase C^1(\R^n) y su jacobiano no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema. Ya que en ese caso existirá una función inversa, y podremos escribir la solución buscada simplemente como: (x_1,\dots,x_n)\mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0}) Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones F_i\, no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones. En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando m < n\,, entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso m n\,. Métodos de resolución Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra lineal, para los sistemas de ecuaciones no-lineales el problema es técnicamente bastante más difícil. Métodos analíticos Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales. Ni siquiera se conoce una solución analítica para el sistema de ecuaciones de segundo grado general: \begin{matrix} a_{1,11}x^2_1 + a_{1,12}x_1x_2 + \dots + a_{1,nn}x_n^2 + b_{1,1}x_1 + \dots + b_{1,n}x_n + c_1 0 \\ a_{2,11}x^2_1 + a_{2,12}x_1x_2 + \dots + a_{2,nn}x_n^2 + b_{2,1}x_1 + \dots + b_{2,n}x_n + c_2 0 \\ \dots \\ a_{n,11}x^2_1 + a_{n,12}x_1x_2 + \dots + a_{n,nn}x_n^2 + b_{n,1}x_1 + \dots + b_{n,n}x_n + c_n 0 \end{matrix} Métodos numéricos Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten calcular aproximaciones numéricas a las solciones de un sistema de ecuaciones. Uno de los métodos numéricos que puede generalizarse a sistemas no-lineales es el método de Newton-Raphson. En el caso multidimensional la resolución numérica del sistema de n ecuaciones \scriptstyle \mathbf{f}(\mathbf{x}) \mathbf{f}(x_1, \dots, x_n)0 puede hacerse a partir del conocimiento de una solución aproximada \scriptstyle \mathbf{x}^{(0)} (x_1^{}, \dots, x_n^{}), siempre y cuando la aplicación anterior sea difernciable, mediante el esquema iterativo: \mathbf{x}^{(m+1)} \mathbf{x}^{(m)} - [D\mathbf{f}(\mathbf{x}^{})]^{-1}(\mathbf{f}}), \qquad \mathbf{f}:\R^n \to \R^n,\ \mathbf{f}\in C^{(1)}(\R^n;\R^n) O más explícitamente: \begin{bmatrix} x^{(m+1)}_1\\ \dots \\ x^{(m+1)}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^{(m)}_1\\ \dots \\ x^{(m)}_n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} D_1f_1 & \dots & D_nf_1 \\ \dots \\ D_1f_n & \dots & D_nf_n \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}^{})\\ \dots \\ f_n(\mathbf{x}^{}) \end{bmatrix} Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior no está garantizada y en casos de soluciones múltiples la convergencia puede darse hacia la solución no deseada. Métodos gráficos Los métodos gráficos son didácticos e elustrativos, aunque en general carecen de interés práctico en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales. Dos sistemas de ecuaciones con dos incognitas de valor real, suelen aparecer como uno de los cinco tipos diferentes mencionados a continuación. Tienen una relación con el número de soluciones: Aquellos sitemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que se intersectan entre si. Este tipo de sistema de ecuación es considerado como el normal. Suele tener un numero de soluciones finito cada uno formado por las coordenadas de los punto de intersección. Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 0. Graficamente se representan como un conjunto de lineas que nunca se intersectan entre si, como lineas paralelas. Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplificar a una identidad (por ejemplo, x 2x - y o y - x 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que gráficamente, se representa como todos los puntos del plano que representa la solución. Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformada en otra a través de la manipulación algebraica). Estos sistemas representan completamente la superposición de líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser desechada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución. Generalmente, esto significa que hay un número infinito de soluciones. Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad. Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, según el tipo anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por los demás es una solución de la ecuación de los que hay a continuación, por lo general un número infinito. La ecuación x + y 0 puede ser pensada como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x 0, y 0), a diferencia de una normal de un círculo que contiene infinito número de puntos. Este y otros casos similares muestran la razón por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la calificación de "normalmente". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un número infinito de soluciones viene dada por x | x |, y | y | (donde la notación | • | indica el valor absoluto de la función), cuyas soluciones de forma un cuadrante de la x - y plano. Otro ejemplo es x | y |, y | x |, cuya solución representa un rayo. Véase también Sistema lineal de ecuaciones Enlaces externos Simultaneous Equations Solver
- Yhtälöryhmä on joukko yhtälöitä, joilla on yhteiset muuttujat ja jotka siis ovat ovat kaikki voimassa samaan aikaan. Muuttujien yhteisyys merkitsee sitä, että muuttujien arvojen oletetaan olevan kaikissa yhtälöissä samat. Jos kahden yhtälön ratkaisut poikkeavat toisistaan, ne eivät voi molemmat kuulua sellaiseen yhtälöryhmään, jolla on ratkaisu. Yhtälöryhmää, jossa on kaksi yhtälöä sanotaan yhtälöpariksi. Yhtälöryhmän ratkaisulla tarkoitetaan, että jokaiselle ryhmässä esiintyvälle muuttujalle löydetään yksikäsitteinen arvo. On kuitenkin mahdollista, että useampikin muuttujien arvoyhdistelmä toteuttaa ryhmän yhtälöt (onhan myös esimerkiksi yhtälöllä <math>\cos x = 0 äärettömän monta ratkaisua), joten yhtälöryhmän ratkaisemisella tarkoitetaankin usein kaikkien mahdollisten ratkaisujen löytämistä. Ratkaistaan esimerkiksi ympyrän ja suoran leikkauspisteet: \begin{cases} x^2 + y^2 = 1\\ x + 2y = 0 \end{cases} Tässä esimerkissä muuttujien x ja y mahdollisia ratkaisupareja olisi kaksi. Yhtälöitä hieman muokkaamalla voisimme tuottaa tapaukset, joissa ratkaisupareja on vain yksi (suora sivuaa ympyrää) tai ei lainkaan (suora ja ympyrä eivät kosketa toisiaan). Yhtälöryhmällä ei siis välttämättä ole ratkaisua laisinkaan. Ratkaisujen puute voi ilmetä esimerkiksi seuraavilla tavoilla: Yksittäisellä yhtälöllä ei ole ratkaisua (esimerkiksi <math>x^2 = -3, jos x on reaaliluku). Ryhmän yhtälöt tuottavat keskenään ristiriitaisia ratkaisuja (esimerkiksi <math>x^3 = 8 ja <math>x - 1 = 0). Ryhmän yhtälöistä voidaan johtaa muoto, joka on selvästi mahdoton (esimerkiksi <math>x + 3 = x + 2, siis <math>3 = 2).
- Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations mathématiques utilisant les mêmes variables ou inconnues; une solution doit satisfaire simultanément chaque équation du système.
- In matematica, un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni che devono essere contemporaneamente verificate. Esso può avere una o più incognite. Ad esempio, <math>\left\{\begin{matrix} x^2 + y^2 = 1\\ 2x + 4y = 0\end{matrix}\right. </math> è un sistema con due equazioni e due incognite. Geometricamente, questo sistema descrive l'intersezione di una circonferenza e una retta nel piano cartesiano.
- Układ równań – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań. Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd. ) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy jest to rozwiązaniem układu równań część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań. Układ równań nazywa się sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań.
- Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменной. Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.
- Inom matematiken är ett ekvationssystem en samling av ekvationer. Varje ekvation beskriver en kurva, och lösningarna till ekvationssystemet är de punkter som ligger på samtliga kurvor. Exempel Vi är intresserade av att bestämma de punkter som linjerna <math> x + y 1\, och <math> x - y 1 \, har gemensamt (deras skärningspunkter); med andra ord vill vi lösa ekvationssystemet \begin{cases} & x + y 1 \quad (A)\\ & x - y 1 \quad (B). \end{cases} Det första hindret som man skall övervinna är att reducera de två ekvationerna med de två obekanta talen (<math>x och <math>y) till endast en ekvation som innehåller ett obekant tal (<math>x). Vi gör detta genom att ta ekvation (B) och skriva om den så att talet <math>y står ensamt: y x - 1. \, Sedan sätter vi in detta i ekvationen A på <math>y:s plats och får en ny ekvation som bara innehåller det okända talet <math>x: x + (x - 1) 1. \, Denna ekvation har bara en lösning <math>x 1. Vi vet att <math>y x-1,\, vilket innebär att om <math>x 1 så är <math>y 0. Det finns därför bara en skärningspunkt, (x,y), mellan de två linjerna A och B: Den punkt vars x-koordinat är x1 och vars y-koordinat är y0. Allmänna ekvationssystem Säg att vi har m stycken funktioner, där varje funktion beror av n stycken variabler: f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n) \quad \dots \quad f_m(x_1,x_2,\cdots,x_n). Varje ekvation f_k(x_1,x_2,\dots,x_n)0 beskriver en så kallad hyper-yta i det n-dimensionella Euklidiska rummet <math>\mathbb{R}^n. (Vi använder benämningen hyper-yta istället för benämningen yta eftersom ytor är två-dimensionella objekt, och hyper-ytor i <math>\mathbb{R}^n kan vara av dimensioner allt från 1 till n-1. ) Om det finns lösningar till ekvationssystemet \begin{cases} f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)&0\\ &\vdots\\ f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)&0 \end{cases} så är de punkter i det n-dimensionella rummet som ligger på samtliga m stycken hyper-ytor. (Systemet har endast lösningar om hyperytorna möts i minst en punkt. ) Innehåller ekvationssystemet färre ekvationer än variabler, det vill säga om m < n, så kallas det underbestämt. Då kan det fortfarande vara lösbart, men lösningen blir inte entydig. Lösningen kan till exempel vara alla tal på en kurva eller linje. Innehåller det fler oberoende ekvationer än variabler, det vill säga om m > n, så kallas det överbestämt, och är oftast olösbart. Överbestämda ekvationssystem är vanliga inom forskningen, då man behandlar mätdata som innehåller slumpmässiga mätfel. Linjära ekvationssystem Den enklaste formen av ekvationssystem får man om samtliga funktioner är linjära: f_k(x_1,x_2,\dots,x_n) a_{k1} x_1 + a_{k2} x_2 + \cdots + a_{kn} x_n - b_k, k1,2,3,\cdots,m. Var och en av de m stycken ekvationerna f_k(x_1,x_2,\dots,x_n) 0 \quad k1,2,\cdots,m beskriver ett så kallat hyper-plan i det n-dimensionella rummet: a_{k1} x_1 + a_{k2} x_2 + \cdots + a_{kn} x_n b_k. Det linjära ekvationssystemet \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n & b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n & b_2\\ &\vdots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n & b_m \end{cases} beskriver skärningspunkterna mellan de m hyper-planen. En förutsättning för att det skall finnas en unik lösning till ekvationssystemet är att det finns lika många (icke-parallella) hyper-plan som det finns variabler i ekvationerna, det vill säga att m n. Ekvationssystemet kan skrivas med hjälp av matriser på följande sätt: \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}}_A \underbrace{\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n \end{pmatrix}}_x \underbrace{\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots\\b_m \end{pmatrix}}_b. Ett mer kortfattat sätt att skriva detta väldiga uttryck på är Ax b. \, Om A är en inverterbar matris med inversen <math>A^{-1}\,, så kan lösningen till ekvationssystemet skrivas x A^{-1}\,b. För att detta skall vara möjligt måste matrisen A vara kvadratisk, det vill säga den måste ha lika många rader (m) som kolumner (n), och dessutom får dess nollrum, N(A), bara innehålla noll-vektorn <math>\mathbf{0}; Nollrummet till matrisen A består av de vektorer som är lösningar till ekvationssystemet <math>Ax\mathbf{0}: N(A) \{x : Ax 0\}. \, Nollrummet N(A) innehåller endast noll-vektorn om, och endast om, determinanten till matrisen A inte är noll: N(A) \{0\} \quad \Longleftrightarrow \quad det(A) \neq 0. Vi använder symbolerna det(A) för att beteckna det tal som är determinanten av matrisen A. Sammanfattningsvis kan vi konstatera att: Varje kvadratisk matris, A, kan associeras med ett speciellt tal, det(A). Det linjära ekvationssystemet Ax b har en unik lösning om, och endast om, detta tal inte är noll. Referenser J. Peterson, Tillämpad linjär algebra, (1993), Jan Peterson L. Råde och B. Westergren, BETA: mathematics handbook, (1990), Studentlitteratur P.R. Halmos, Finite-dimensional vector spaces, (1987), Springer-Verlag
- 方程组（或联立方程）是两个或两个以上含有多个未知数的方程联立得到的组合。未知数的值称为方程组的“解”，求方程组解的过程称为“解方程组”。一般在方程式的左边加大括号标注。 例如：方程组<math> \begin{cases} 2x + y = 8\\ x + y = 6 \end{cases} </math>，它的解为：<math> \begin{cases} x = 2\\ y = 4 \end{cases} </math>。 解方程组的方法有：画图法、矩阵法、代入法、消元法等。
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