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- The Seven Bridges of Königsberg is a famous historical problem in mathematics. Its negative resolution by Leonhard Euler in 1735 laid the foundations of graph theory and presaged the idea of topology.
- Das Königsberger Brückenproblem ist eine mathematische Fragestellung des frühen 18. Jahrhunderts, die anhand von sieben Brücken der Stadt Königsberg illustriert wurde. Das Problem bestand darin, zu klären, ob es einen Weg gibt, bei dem man alle sieben Brücken über den Pregel genau einmal überquert, und wenn ja, ob auch ein Rundweg möglich ist, bei dem man wieder zum Ausgangspunkt gelangt. Wie Leonhard Euler 1736 bewies, war ein solcher Weg bzw. „Eulerscher Weg“ in Königsberg nicht möglich, da zu allen vier Ufergebieten bzw. Inseln eine ungerade Zahl von Brücken führte. Es dürfte maximal zwei Ufer (Knoten) mit einer ungeraden Zahl von angeschlossenen Brücken (Kanten) geben. Diese zwei Ufer könnten Ausgangs- bzw. Endpunkt sein. Die restlichen Ufer müssten eine gerade Anzahl von Brücken haben, um sie auch wieder verlassen zu können. Das Brückenproblem ist kein klassisches geometrisches Problem, da es nicht auf die präzise Lage der Brücken ankommt, sondern nur darauf, welche Brücke welche Inseln miteinander verbindet. Es handelt sich deshalb um ein topologisches Problem, das Euler mit Methoden löste, die wir heute der Graphentheorie zurechnen. Das Problem lässt sich auf beliebige Graphen verallgemeinern, und auf die Frage, ob es darin einen Zyklus gibt, der alle Kanten genau einmal benutzt. Ein solcher Zyklus wird als Eulerkreis bezeichnet und ein Graph, der einen Eulerkreis besitzt, als eulersch. Die Frage, ob ein Graph eulersch ist, lässt sich relativ einfach beantworten und ist auch in gerichteten Graphen und Graphen mit Mehrfachkanten möglich. Durch Kriegseinwirkung und Umbauten nach 1945 ist die ursprüngliche Situation im heutigen Kaliningrad nicht mehr gegeben. Zwei der zur Insel Kneiphof führenden Brücken existieren nicht mehr, am nördlichen und südlichen Ufer enden nur noch jeweils zwei anstatt drei Brücken. Nun ist zwar ein Eulerweg möglich, jedoch noch immer kein Eulerkreis.
- Els set ponts de Königsberg és un famós problema matemàtic que va donar origen a la teoria de grafs. Königsberg, l'actual Kaliningrad, és una ciutat russa (que fou alemanya fins a la fi de la II Guerra Mundial) per la qual passa el riu Pregolya. Enmig del riu, dues grans illes estaven connectades entre elles i a les voreres mitjançant una estructura de set ponts en total. Per tal d'organitzar una desfilada, els habitants de la ciutat es van plantejar si era possible recórrer els set ponts de manera que només es passés per cadascun d'ells un sol cop.
- Sedm mostů města Královce je slavný, již vyřešený matematický problém, založený na skutečném místě a skutečné situaci. Pruské město Královec leží na řece Pregole, která vytváří dva ostrovy. Ostrovy byly s ostatním městem spojeny sedmi mosty. Otázka zní, zda je možné všechny mosty přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, vstoupil na každý most pouze jednou. Leonhard Euler jako první dokázal, že to možné není, odpovídající graf totiž nelze projít pomocí tzv. eulerovského tahu.
- El problema de los siete puentes de Königsberg es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos. Consiste en lo siguiente: Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes. ¿Es posible dar un paseo empezando por una cualquiera de las cuatro partes de tierra firme, cruzando cada puente una sola vez y volviendo al punto de partida? Euler enfocó el problema representando cada parte de tierra por un punto y cada puente, por una línea, uniendo los puntos (nodo) que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas? Euler demostró que no era posible. La explicación es la siguiente: si un nodo tiene un número impar de líneas que inciden en él, necesariamente ha de ser el primer o último nodo del recorrido. Por lo tanto no se podrá encontrar una ruta que resuelva el problema si existen más de 2 nodos con número impar de líneas incidentes (ya que no puede haber más de un inicio y un final en una ruta continua). En el caso de los puentes de Kronisberg hay 4 nodos que tienen número de líneas incidentes impar, por lo que no se puede encontrar una solución al problema. En teoría de los grafos esta idea se corresponde con la posibilidad de encontrar un Ciclo Euleriano en un grafo.
- Königsbergin siltaongelma on klassinen matemaattinen ongelma graafiteorian ja topologian alalta. Königsbergin eli nykyisen Kaliningradin läpi virtaa Pregolja-joki, jonka keskellä on kaksi saarta. Saaret oli 1700-luvulla yhdistetty toisiinsa ja mantereeseen seitsemällä sillalla (kuva oikealla). Ongelmana oli sellaisen reitin keksiminen mitä kävelemällä voitaisiin ylittää jokainen silta täsmälleen yhden kerran ja päätyä takaisin lähtöpisteeseen. Leonhard Euler todisti vuonna 1736, ettei tällaista reittiä ole olemassa.
- Le problème des sept ponts de Königsberg est le suivant : → → La ville de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) est construite autour de deux îles reliées entre elles par un pont et six ponts relient le continent à l'une ou l'autre des deux îles. Le problème consiste à déterminer s'il existe ou non une promenade dans les rues de Königsberg permettant, à partir d'un point de départ au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont, et de revenir à son point de départ, étant entendu qu'on ne peut traverser le Pregel qu'en passant sur les ponts.
- A königsbergi hidak problémája egy híres matematikai probléma, amit Leonhard Euler oldott meg. A probléma története, hogy a poroszországi Königsberg városban hét híd ívelt át a várost átszelő Prégel folyón úgy, hogy ezek a folyó két szigetét is érintették. A königsbergiek azzal a kérdéssel fordultak Eulerhez, vajon végig lehet-e menni az összes hídon úgy, hogy mindegyiken csak egyszer haladjanak át, és egyúttal visszaérjenek a kiindulópontba. 1736-ban Euler bebizonyította, hogy ez lehetetlen. A történethez hozzátartozik az a legenda is, hogy 1750 körül állítólag a königsbergi elit tagjai rendszeresen sétálgattak vasárnaponként a hidakon, hogy egy olyan útvonalat találjanak, amely megfelel a fenti feltételeknek.
- Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da una città reale e da una situazione concreta. La città di Königsberg, già facente parte della Prussia Orientale ed ora chiamata Kaliningrad ed exclave della Russia, famosa per aver dato i natali al filosofo Immanuel Kant (1724-1804), è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti. Ci si pone la questione se sia possibile con una passeggiata seguire un percorso che attraversa ogni ponte una e una volta sola e tornare al punto di partenza. Nel 1736 Leonhard Euler lavorò sul problema e dimostrò che la passeggiata ipotizzata non era possibile. Non sembra dotata di fondamento storico, ma piuttosto leggenda urbana, l'affermazione secondo la quale intorno al 1750 i cittadini benestanti di Königsberg la domenica passeggiassero per la loro città cercando invano di risolvere il problema.
- 一筆書き（ひとふでがき）とは、広い意味では「ペンを紙から一度も離さず線図形を描く」ことである。狭い意味では、これに加えて「同じ線を二度なぞらない（点で交差するのはかまわない）」という条件が加わる。筆記体のd「𝓭 」は、前者の意味では一筆書きであるが、後者の意味では一筆書きではない。 以下は後者の狭い意味での一筆書きについて記す。 三角形「△」や四角形「□」は一筆書き可能だが、十字「+」は一筆書きできない。また、五芒星や白星「☆」、六芒星「✡」は一筆書き可能だが、アスタリスク「＊」は一筆書きができない。このように、一筆書きできる図形とできない図形がある。 与えられた図形が一筆書き可能かどうかという問題の例として、「ケーニヒスベルクの橋の問題」が知られている。
- De zeven bruggen van Koningsbergen is een wiskundig vraagstuk. In de grafentheorie is het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen voor het eerst opgelost door Leonhard Euler in 1736. In de geschiedenis van de wiskunde is het één van de eerste grafentheoretische problemen. Omdat de grafentheorie als een deelveld van de topologie kan worden beschouwd vormt dit vraagstuk ook een van de eerste problemen binnen de topologie die formeel geanalyseerd zijn. (De combinatoriek maakt ook wel aanspraak op de grafentheorie, maar combinatorische problemen werden al veel eerder beschouwd.)
- Broene i Königsberg er et matematisk problem innen grafteori og topologi. Den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler viste i artikkelen Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis i 1736 at problemet ikke lar seg løse. Artikkelen hans blir ofte regnet som begynnelsen på den matematiske grenen grafteori.
- Zagadnienie mostów królewieckich - problem, nad którym rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a który rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler. Przez Królewiec przepływała rzeka, w której rozwidleniach znajdowały się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki. Problem, którym zainteresował się Euler, był następujący: czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć tylko raz i wrócić do miejsca, z którego się wyruszyło. Euler wykazał, że jest to niemożliwe, a decyduje o tym nieparzysta liczba wylotów mostów zarówno na każdą z wysp, jak i na oba brzegi rzeki. Rozważył przy tym także ogólniejszy problem, starając się ustalić warunki, które muszą być spełnione, żeby dany graf spójny można było opisać linią ciągłą w taki sposób, by każda krawędź tego grafu była obwiedziona tylko raz. Euler pokazał, że jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wierzchołków tego grafu, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi, wynosi 0 lub 2. Opis zagadnienia opublikowany przez Eulera w 1736 roku był pierwszą pracą na temat teorii grafów.
- As sete pontes de Königsberg é um famoso problema histórico da matemática que foi uma das principais fundações da teoria dos grafos. O problema é baseado na cidade de Königsberg que é cortado pelo Rio Pregolia onde há duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha sete (7) pontes conforme mostra a figura ao lado. Das sete pontes originais uma foi demolida e reconstruída em 1935, duas foram destruídas durante a Segunda Guerra Mundial, outras duas foram demolidas para dar lugar a uma única via expressa. Atualmente apenas 2 pontes são da época de Leonard Euler. Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessar todas as pontes, sem repetir nenhuma. Havia-se tornado uma lenda popular a possibilidade da façanha quando Leonhard Euler, em 1736, provou que não existia caminho que possibilitasse tais restrições. Euler usou um raciocínio muito simples. Transformou os caminhos em retas e suas intersecções em pontos criando possivelmente o primeiro grafo da história. Então percebeu que só seria possível atravessar o caminho inteiro passando uma única vez em cada ponte se houvesse no máximo dois pontos de onde saia um número ímpar de caminhos. A razão de tal coisa é: de cada ponto deve haver um número par de caminhos, pois será preciso um caminho para "entrar" e outro para "sair". Os dois pontos com caminhos ímpares referem-se ao início e ao final do percurso, pois estes não precisam de um para entrar e um para sair, respectivamente.
- Семь мосто́в Кёнигсберга существовали в Кёнигсберге в XVI—XX веках. Взаимное расположение мостов натолкнуло математика Леонарда Эйлера на размышления, приведшие к возникновению теории графов.
- Königsbergs sju broar är ett klassiskt matematiskt problem inom grafteori och topologi. Den schweiziske matematikern Leonhard Euler visade i artikeln Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis år 1736 att problemet var olösligt, vilket bidrog till grafteorins uppkomst.
- Königsberg'in yedi köprüsü; çizge kuramının (graf teorisi) temelini oluşturan ve XVIII. yüzyılda, Königsberg köprülerinden esinlenerek ortaya atılan ünlü bir matematik problemidir.
- 柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。这个问题是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士柯尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的橋都走遍？
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- The Seven Bridges of Königsberg is a famous historical problem in mathematics. Its negative resolution by Leonhard Euler in 1735 laid the foundations of graph theory and presaged the idea of topology.
- Das Königsberger Brückenproblem ist eine mathematische Fragestellung des frühen 18. Jahrhunderts, die anhand von sieben Brücken der Stadt Königsberg illustriert wurde. Das Problem bestand darin, zu klären, ob es einen Weg gibt, bei dem man alle sieben Brücken über den Pregel genau einmal überquert, und wenn ja, ob auch ein Rundweg möglich ist, bei dem man wieder zum Ausgangspunkt gelangt. Wie Leonhard Euler 1736 bewies, war ein solcher Weg bzw.
- Els set ponts de Königsberg és un famós problema matemàtic que va donar origen a la teoria de grafs. Königsberg, l'actual Kaliningrad, és una ciutat russa (que fou alemanya fins a la fi de la II Guerra Mundial) per la qual passa el riu Pregolya. Enmig del riu, dues grans illes estaven connectades entre elles i a les voreres mitjançant una estructura de set ponts en total.
- Sedm mostů města Královce je slavný, již vyřešený matematický problém, založený na skutečném místě a skutečné situaci. Pruské město Královec leží na řece Pregole, která vytváří dva ostrovy. Ostrovy byly s ostatním městem spojeny sedmi mosty. Otázka zní, zda je možné všechny mosty přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, vstoupil na každý most pouze jednou.
- El problema de los siete puentes de Königsberg es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de los grafos. Consiste en lo siguiente: Dos islas en el río Pregel que cruza Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes.
- Königsbergin siltaongelma on klassinen matemaattinen ongelma graafiteorian ja topologian alalta. Königsbergin eli nykyisen Kaliningradin läpi virtaa Pregolja-joki, jonka keskellä on kaksi saarta. Saaret oli 1700-luvulla yhdistetty toisiinsa ja mantereeseen seitsemällä sillalla (kuva oikealla). Ongelmana oli sellaisen reitin keksiminen mitä kävelemällä voitaisiin ylittää jokainen silta täsmälleen yhden kerran ja päätyä takaisin lähtöpisteeseen.
- Le problème des sept ponts de Königsberg est le suivant : → → La ville de Königsberg (aujourd'hui Kaliningrad) est construite autour de deux îles reliées entre elles par un pont et six ponts relient le continent à l'une ou l'autre des deux îles.
- A königsbergi hidak problémája egy híres matematikai probléma, amit Leonhard Euler oldott meg. A probléma története, hogy a poroszországi Königsberg városban hét híd ívelt át a várost átszelő Prégel folyón úgy, hogy ezek a folyó két szigetét is érintették. A königsbergiek azzal a kérdéssel fordultak Eulerhez, vajon végig lehet-e menni az összes hídon úgy, hogy mindegyiken csak egyszer haladjanak át, és egyúttal visszaérjenek a kiindulópontba.
- Il problema dei sette ponti di Königsberg è un problema ispirato da una città reale e da una situazione concreta. La città di Königsberg, già facente parte della Prussia Orientale ed ora chiamata Kaliningrad ed exclave della Russia, famosa per aver dato i natali al filosofo Immanuel Kant (1724-1804), è percorsa dal fiume Pregel e da suoi affluenti e presenta due estese isole che sono connesse tra di loro e con le due aree principali della città da sette ponti.
- De zeven bruggen van Koningsbergen is een wiskundig vraagstuk. In de grafentheorie is het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen voor het eerst opgelost door Leonhard Euler in 1736. In de geschiedenis van de wiskunde is het één van de eerste grafentheoretische problemen. Omdat de grafentheorie als een deelveld van de topologie kan worden beschouwd vormt dit vraagstuk ook een van de eerste problemen binnen de topologie die formeel geanalyseerd zijn.
- Broene i Königsberg er et matematisk problem innen grafteori og topologi. Den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler viste i artikkelen Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis i 1736 at problemet ikke lar seg løse. Artikkelen hans blir ofte regnet som begynnelsen på den matematiske grenen grafteori.
- Zagadnienie mostów królewieckich - problem, nad którym rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a który rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler. Przez Królewiec przepływała rzeka, w której rozwidleniach znajdowały się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki.
- As sete pontes de Königsberg é um famoso problema histórico da matemática que foi uma das principais fundações da teoria dos grafos. O problema é baseado na cidade de Königsberg que é cortado pelo Rio Pregolia onde há duas grandes ilhas que, juntas, formam um complexo que na época continha sete (7) pontes conforme mostra a figura ao lado.
- Семь мосто́в Кёнигсберга существовали в Кёнигсберге в XVI—XX веках. Взаимное расположение мостов натолкнуло математика Леонарда Эйлера на размышления, приведшие к возникновению теории графов.
- Königsbergs sju broar är ett klassiskt matematiskt problem inom grafteori och topologi. Den schweiziske matematikern Leonhard Euler visade i artikeln Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis år 1736 att problemet var olösligt, vilket bidrog till grafteorins uppkomst.
- Königsberg'in yedi köprüsü; çizge kuramının (graf teorisi) temelini oluşturan ve XVIII. yüzyılda, Königsberg köprülerinden esinlenerek ortaya atılan ünlü bir matematik problemidir.
- 柯尼斯堡七桥问题是图论中的著名问题。这个问题是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士柯尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把这个地方所有的橋都走遍？
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