| dbpprop:abstract
|
- For the musical concepts, see Set theory (music). "Nested set" redirects here. For nested set models, see there. Set theory is the branch of mathematics that studies sets, which are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The modern study of set theory was initiated by Cantor and Dedekind in the 1870s. After the discovery of paradoxes in informal set theory, numerous axiom systems were proposed in the early twentieth century, of which the Zermelo–Fraenkel axioms, with the axiom of choice, are the best-known. The language of set theory is used in the definitions of nearly all mathematical objects, such as functions, and concepts of set theory are integrated throughout the mathematics curriculum. Elementary facts about sets and set membership can be introduced in primary school, along with Venn diagrams, to study collections of commonplace physical objects. Elementary operations such as set union and intersection can be studied in this context. More advanced concepts such as cardinality are a standard part of the undergraduate mathematics curriculum. Set theory, formalized using first-order logic, is the most common foundational system for mathematics. Beyond its use as a foundational system, set theory is a branch of mathematics in its own right, with an active research community. Contemporary research into set theory includes a diverse collection of topics, ranging from the structure of the real number line to the study of the consistency of large cardinals.
- Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche mathematische Disziplinen werden heute auf der Mengenlehre aufgebaut, darunter Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik und Topologie.
- La teoria de conjunts és la branca de les matemàtiques que estudia els conjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic alemany Georg Cantor el segle XIX.
- Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá množinami. Z formálního pohledu jsou veškeré objekty moderní matematiky množiny – číslo je formálně množina, zobrazení je formálně množina, stejně jako všechny ostatní relace. Zjednodušeně by se dalo říci, že zatímco matematická logika poskytuje moderní matematice nástroje, jak pracovat – jazyk matematických vět a důkazů, teorie množin jí poskytuje potravu - svět objektů, na kterých může tímto nástrojem (jazykem) pracovat. Požadavkem samozřejmě je, aby tento svět byl natolik obsáhlý a rozmanitý, ale zároveň „logický“, aby v něm mohly ostatní matematické teorie smysluplně existovat, a zároveň vnitřně bezesporný z pohledu formální logiky. Příkladem mohou být přirozená čísla. Z intuitivního pohledu běžné školské matematiky se jedná o „počty“ objektů v jejich konečných (tedy v reálném vesmíru vlastně všech myslitelných) souborech. Na těchto počtech si pak můžu zavést nejrůznější další pojmy a struktury, které mě zajímají – seřadit si je podle velikosti, zavést operace sčítání, odčítání, zavést pojem dělitelnost, kongruence a tak dále. Z pohledu formalizované teorie množin jsou přirozená čísla množiny – a to množiny, které mají takovou strukturu a vzájemné vztahy, aby na nich bylo možné modelovat všechny vlastnosti, o které se zajímá výše uvedená běžná teorie přirozených čísel. Úlohou teorie množin je tedy zajistit, aby v pokud možno bezesporné formě existovala ve vesmíru matematiky struktura množin modelujících intuitivní chování přirozených čísel – jejich konkrétní vlastnosti jako je dělitelnost pak už přenechává konkrétní matematické disciplíně. Dodejme ještě, že již na úrovni zdánlivě jednoduché struktury, jako jsou přirozená čísla, klade teorie množin některé netriviální filosofické otázky – například má smysl existence (nekonečné) množiny, která obsahuje všechna přirozená čísla? Většinový názor reprezentovaný Zermelo-Fraenkelovou teorií množin odpovídá kladně tím, že obsahuje axiom nekonečna. Jiné soustavy teorie se s tímto problémem vypořádávají mnohem opatrněji a díky tomu také obtížněji – viz například Vopěnkova Alternativní teorie množin. O tom, že se jedná o hodně zapeklitý problém, se lze přesvědčit například v Gödelových větách o neúplnosti.
- La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo. El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
- Joukko-oppi on joukkoja tutkiva matematiikan haara. Joukko-opin perustaja Georg Cantor määritteli joukon olevan toisistaan erotettavien objektien (olioiden) yhdistelmä. Intuitiivisesti tämä määritelmä toimii useimmiten edelleen, vaikka joukon formaali määritteleminen osoittautui myöhemmin monimutkaisemmaksi. Näitä objekteja kutsutaan joukon alkioiksi ja ne voivat olla ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia. Oleellista on tietää mistä tahansa objektista kuuluuko se tiettyyn joukkoon vai ei. Joukko-oppi kuuluu logiikan kanssa matematiikan perusteisiin, josta pyritään johtamaan formaalisti muu matematiikka. Sitä pidetään siis yleismaailmallisena modernin tieteellisen matematiikan esittämismuotona. Yleiskielessä joukko-opilla viitataan usein 1970-luvun huonomaineiseen koulutuskokeiluun, jossa joukko-oppi tuotiin uutena metodina matematiikan perusteiden opetukseen.
- La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIX siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes... C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens. En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor introduisait avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types d'infini que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres. À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée. Cantor ne l'avait pas vraiment formalisée, et au début du XXème siècle, la découverte de paradoxes tels que le paradoxe de Russell semblait en remettre en cause les principes. Pour résoudre ces problèmes, on adopta une approche formelle qui conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu étant les axiomes de ZF, mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des types de Russell.
- A halmazelmélet a matematika egyik alapvető tudományága, mely a halmaz fogalmán keresztül a végtelen sok elemű matematikai összességekkel, illetve a logika matematikai vizsgálatával foglalkozik. A halmazelmélet alapvető jelentősségét az mutatja, hogy a matematikai és logikai fogalmak döntő többsége kezelhető a halmaz fogalma segítségével. Sokáig uralkodó volt az a nézet, hogy a teljes matematika megalapozható a halmazelmélet segítségével . A halmazelmélet megalkotója Georg Cantor német matematikus, aki a végtelen halmazokra és a halmazok számosságaira vonatkozó úttörő kutatásaival nemcsak a halmazelméletet indította útjára, hanem alapvetően, drasztikusan megváltoztatta a matematika egész arculatát. Elmélete, az utóbb ellentmondásosnak bizonyult naiv halmazelmélet, megreformálásra szorult ugyan, de alapkoncepciói beépültek a matematika minden szegletébe. Az 20. század elején Zermelo, Fraenkel, Neumann és Gödel munkássága révén sikerült axiomatikus alapokra hozni a hamazelméletet .
- La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e attualmente si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. Essa è stata inizialmente sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem. In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati rispettivamente sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel. Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi, i rapporti con la teoria della calcolabilità e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili. Attualmente si dispone di differenti consolidate teorie formali degli insiemi. Inoltre, per chi non ha tempo e gusto per affrontare le astrattezze delle teorie assiomatiche (cosa che sembra accada anche alla maggior parte dei matematici), sono disponibili, e molto utili, esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria naïve degli insiemi. Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi.
- 集合論（しゅうごうろん、独: Mengenlehre、英: set theory）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。
- De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde.
- Mengdelære er den matematiske teorien om mengder, som representerer samlinger av abstrakte objekter. Den omfatter hverdagslige begreper som barn arbeider med i barneskolen, om samlinger av objekter, og elementene i og medlemskap i, slike samlinger. I det meste av moderne matematisk formalisme, er mengdelære språket som brukes for å beskrive matematiske objekter. Det er (sammen med logikk og predikatkalkulus et av de aksiomatiske grunnlag for matematikk, som gjør at matematiske objekter kan konstrueres formelt fra de udefinerte termene "mengde" og "element i mengde". Den er selv en gren av matematikken og et aktivt felt for matematisk forskning. I naiv mengdelære er mengder introdusert og forstått ved hjelp av begrepet mengder som samlinger av objekter sett på som et hele. I aksiomatisk mengdelære, blir begrepene mengde og element i mengde definert indirekte ved først å postulere visse aksiomer som spesifiserer deres egenskaper. I denne versjonen er mengder og elementer fundamentale begreper som punkt og linje i euklidsk geometri, og er ikke selv direkte definert.
- Teoria mnogości – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina.
- Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor, e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.
- Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
- Mängdteori har en allmän och en specifik betydelse.
- Алгебра множин — розділ теорії множин, який визначає закони композиції множин, виходячи з основних властивостей операцій над ними, а також пропонує певну систематичну процедуру для обчислення теоретико-множинних рівнянь та співвідношень. З точки зору абстрактної алгебри алгебра множин — це кільце K підмножин множини R, що містить R.
- Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин. Теорія множин лежить в основі більшості математичних дисциплін; вона зробила глибокий вплив на розуміння предмету самої математики.
- 集合論是一門研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含集合、元素和成員關係等數學中最基本的概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 在樸素集合論中，集合是被當做一堆物件構成的整體之類的自證概念。 在公理化集合論中，集合和集合成員並不直接被定義，而是先規範可以描述其性質的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成員是有如在歐式幾何中的點和線，而不被直接定義。
|
| rdfs:comment
|
- For the musical concepts, see Set theory (music). "Nested set" redirects here. For nested set models, see there. Set theory is the branch of mathematics that studies sets, which are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The modern study of set theory was initiated by Cantor and Dedekind in the 1870s.
- Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik. Zahlreiche mathematische Disziplinen werden heute auf der Mengenlehre aufgebaut, darunter Algebra, Analysis, Maßtheorie, Stochastik und Topologie.
- La teoria de conjunts és la branca de les matemàtiques que estudia els conjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic alemany Georg Cantor el segle XIX.
- Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá množinami. Z formálního pohledu jsou veškeré objekty moderní matematiky množiny – číslo je formálně množina, zobrazení je formálně množina, stejně jako všechny ostatní relace.
- La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
- Joukko-oppi on joukkoja tutkiva matematiikan haara. Joukko-opin perustaja Georg Cantor määritteli joukon olevan toisistaan erotettavien objektien (olioiden) yhdistelmä. Intuitiivisesti tämä määritelmä toimii useimmiten edelleen, vaikka joukon formaali määritteleminen osoittautui myöhemmin monimutkaisemmaksi. Näitä objekteja kutsutaan joukon alkioiksi ja ne voivat olla ihmisen havaintoon tai ajatukseen perustuvia.
- La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIX siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes...
- A halmazelmélet a matematika egyik alapvető tudományága, mely a halmaz fogalmán keresztül a végtelen sok elemű matematikai összességekkel, illetve a logika matematikai vizsgálatával foglalkozik. A halmazelmélet alapvető jelentősségét az mutatja, hogy a matematikai és logikai fogalmak döntő többsége kezelhető a halmaz fogalma segítségével. Sokáig uralkodó volt az a nézet, hogy a teljes matematika megalapozható a halmazelmélet segítségével .
- La teoria degli insiemi svolge un ruolo importante per i fondamenti della matematica e attualmente si colloca nell'ambito della logica matematica. Prima della metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico.
- 集合論（しゅうごうろん、独: Mengenlehre、英: set theory）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。
- De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde.
- Mengdelære er den matematiske teorien om mengder, som representerer samlinger av abstrakte objekter. Den omfatter hverdagslige begreper som barn arbeider med i barneskolen, om samlinger av objekter, og elementene i og medlemskap i, slike samlinger. I det meste av moderne matematisk formalisme, er mengdelære språket som brukes for å beskrive matematiske objekter.
- Teoria mnogości – dział matematyki a zarazem logiki matematycznej zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła ona pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań.
- Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor, e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias relacionadas à definição de conjunto.
- Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.
- Mängdteori har en allmän och en specifik betydelse.
- Алгебра множин — розділ теорії множин, який визначає закони композиції множин, виходячи з основних властивостей операцій над ними, а також пропонує певну систематичну процедуру для обчислення теоретико-множинних рівнянь та співвідношень.
- Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин. Теорія множин лежить в основі більшості математичних дисциплін; вона зробила глибокий вплив на розуміння предмету самої математики.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
