Set theory is a branch of mathematical logic that studies sets, which informally are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The language of set theory can be used to define nearly all mathematical objects.

Property Value
dbo:abstract
  • نظرية المجموعة (الجمع: نظرية المجموعات) (بالإنجليزية: Set theory) هو فرع من علم المنطق الرياضي، تهتم بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة. كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق. (ar)
  • Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá studiem množin. Množina je buď souhrn nějakých prvků (přičemž nezáleží na jejich pořadí), anebo nějaká matematická formalizace tohoto konceptu. Teorie množin, která vychází z intuice a zachází s množinami jako se soubory nějakých objektů, se nazývá naivní teorie množin. Kromě ní existují axiomatické teorie množin, které přesně formulují vlastnosti množin několika axiomy a z nich (bez využití intuice či dalších předpokladů) odvozují další vlastnosti množin pomocí matematické logiky. Ve většině těchto teorií je možné zkonstruovat všechny běžně používané matematické objekty (tj. reálná čísla, funkce, uspořádané dvojice atd.) jako množiny. (cs)
  • La teoria de conjunts és la branca de les matemàtiques que estudia els conjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic alemany Georg Cantor al segle xix. (ca)
  • Στα μαθηματικά, Θεωρία Συνόλων ή Συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετάει τα σύνολα και είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι) η Θεωρία Συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Άτυπα μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η Θεωρία Συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμωλιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "ανήκειν" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με є. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η Θεωρία Συνόλων ασχολείται συνήθως με σύνολα που τα αντικείμενά τους σχετίζονται με τα μαθηματικά. Η σύγχρονη μελέτη της Θεωρίας Συνόλων ξεκίνησε από τον Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) και τον (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Άρχικά η έννοια του συνόλου οριζόταν μέσω των κατηγορικών ιδιοτήτων. Κατηγορική είναι μια ιδιότητα για την οποία μπορούμε να απαντήσουμε, τουλάχιστον θεωρητικά, με ένα ναί ή με ένα όχι για το αν ένα αντικείμενο έχει (ικανοποιεί) αυτή την ιδιότητα. Έτσι για κάθε κατηγορική ιδιότητα Φ δέχονταν αξιωματικά ότι υπήρχε ένα σύνολο (δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων) του οποίου τα μέλη ήταν ακριβώς εκείνα τα αντικείμενα για τα οποία η Φ ήταν αληθής (Αυτή η παραδοχή ονομάζεται Γενική Αρχή Συμπερίληψης). Αυτή η αρχική μορφή της Θεωρίας Συνόλων ονομάζεται Άτυπη (ή Διαισθητική) Θεωρία Συνόλων. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων (αντινομιών) στην Άτυπη Θεωρία Συνόλων, όπως το παράδοξο του Ράσελ (Russell), έγινε φανερό ότι η Γενική Αρχή Συμπερίληψης είναι λάθος και ότι επομένως η έννοια του συνόλου έπρεπε να αποδοθεί πιο αυστηρά μέσα από ένα σύνολο αξιωμάτων. Μια πληθώρα από συστήματα αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία είναι αυτό των (Zermelo–Fraenkel), μαζί με το , γνωστό και ως ZFC. Aν δεχθούμε όλα τα αξιώματα των Ζερμέλο-Φράνκελ, αλλά όχι το Αξίωμα της Επιλογής τότε λέμε ότι έχουμε (ακολουθούμε) το σύστημα ZF. Η Θεωρία Συνόλων, ειδικά το σύστημα ZFC, είναι το πιο διαδεδομένο σύστημα για την θεμελίωση των μαθηματικών. Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι συναρτήσεις, και έννοιες της Συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα των τμημάτων των Μαθηματικών στα πανεπιστήμια. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και για την ιδιότητα "μέλους συνόλου" μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, με την χρήση των διαγράμματων Βεν, για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η ένωση και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η πληθικότητα είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος των Μαθηματικών Σχολών. Πέρα από τη χρήση της ως θεμέλιο των ίδιων των μαθηματικών, η Θεωρία Συνόλων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών από μόνη της, με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, από τη δομή της ευθείας των πραγματικών αριθμών ως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους πληθάριθμους. (el)
  • Set theory is a branch of mathematical logic that studies sets, which informally are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The language of set theory can be used to define nearly all mathematical objects. The modern study of set theory was initiated by Georg Cantor and Richard Dedekind in the 1870s. After the discovery of paradoxes in naive set theory, such as Russell's paradox, numerous axiom systems were proposed in the early twentieth century, of which the Zermelo–Fraenkel axioms, with or without the axiom of choice, are the best-known. Set theory is commonly employed as a foundational system for mathematics, particularly in the form of Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice. Beyond its foundational role, set theory is a branch of mathematics in its own right, with an active research community. Contemporary research into set theory includes a diverse collection of topics, ranging from the structure of the real number line to the study of the consistency of large cardinals. (en)
  • Aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la por difini bazajn konceptojn kiel nombro. Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene: La bazaj konceptoj de arteorio estas aroj kaj membreco. Aro estas kolekto de objektoj, nomitaj membroj (aŭ elementoj) de la aro. La membroj povas esti ekzemple nombroj, funkcioj, aŭ aroj mem. Oni skribas la arojn per la ondkrampoj { kaj }. Do {1,2} estas aro, kaj ankaŭ {1,2,3,4,...} (la infinita aro de la naturaj nombroj, nomata N), kaj eĉ {2,3,N}, do la membroj ne devas esti de la sama klaso. Ankaŭ la malplena aro {} estas konsiderata aro. Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon. Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon. (eo)
  • Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie heute üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf. Die meisten mathematischen Objekte, die in Teilbereichen wie Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik oder Topologie behandelt werden, um nur einige wenige zu nennen, lassen sich als Mengen definieren. Gemessen daran ist die Mengenlehre eine recht junge Wissenschaft; erst nach der Überwindung der Grundlagenkrise der Mathematik im frühen 20. Jahrhundert konnte die Mengenlehre ihren heutigen, zentralen und grundlegenden Platz in der Mathematik einnehmen. (de)
  • Multzo-teoria multzoen propietateak eta erlazioak aztertzen dituen logika matematikoaren adar bat da. Objektuen bilduma abstraktuak objektu moduan hartzen ditu. Multzoak eta haien arteko eragiketak edozein teoria matematikoren oinarrizko tresna dira. Multzo-teoria aberatsa da matematikaren gainerako objektuak eta egiturak eraikitzeko: zenbakiak, funtzioak, irudi geometrikoak... Logikaren tresnei esker, haien oinarriak aztertzea ahalbidetzen du. Gaur egun, Zermelo-Fraenkelen teoriaren axioma multzoa matematika osoa garatzeko nahikoa dela onartua dago. Multzo-teoriaren lehenengo ikerketa formala Georg Cantor matematikariak egin zuen XIX. mendean. Egun, multzo-teoria eskolako matematiketan irakasten den gaia da, zenbaketa irakasteko adibidez, baina ebatzi gabeko problema eta paradoxa anitz aztertzeko tresna ere bada. Horrela, ohikoa da multzo teoria naive edo sinplea (eskolan irakasten dena) eta multzo-teoria axiomatikoa (matematika puruaren arloan, formalki konplexutasun handikoa eta paradoxak ebazteko sortu zena) bereiztea. (eu)
  • La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.​ La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica. El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas (puras) del infinito en la segunda mitad del , precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, y Abraham Fraenkel. (es)
  • Brainse de loighic mhatamaiticiúil is ea tacartheoiric (nó teoiric na dtacar), a dhéanann staidéar ar thacair; go neamhfhoirmiúi is bailiúcháin de réada iad. Cé gur féidir le réad ar bith a bhailiú i dtacar, is minic a úsáidtear tacartheoiric ar rudaí a bhaineann leis an matamaitic. Is féidir leas a bhaint as teanga na tacartheoirice chun beagnach gach réad matamaitice a shainiú. Chuir Georg Cantor agus Richard Dedekind staidéar nua-aimseartha na tacartheoirice ar bun sna 1870í. Tar éis gur aimsíodh paradacsaí i dtacartheoiric shoineanta, cosúil le paradacsa Russell, moladh go leor córas aicsíme go luath san fhichiú haois, agus is iad na haicsímí Zermelo-Fraenkel, le no gan an rogha aicsím, an ceann is mó clú. Is iondúil go n-úsáidtear teoiric socraithe mar chóras bunaithe don mhatamaitic, go háirithe i bhfoirm na teoirice Zermelo-Fraenkel leis an rogha aicsím. Taobh amuigh dá ról bunaidh, is brainse matamaitice ann féin í an tacartheoiric, le pobal taighde gníomhach. Cuimsíonn taighde comhaimseartha ar thacartheoiric bailiúchán éagsúil topaicí, a chuimsíon idir struchtúr na réaduimhreach agus go staidéar ar chomhsheasmhacht na mbuanuimhreacha móra. (ga)
  • Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: * , dan * , yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan. (in)
  • La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes… C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens. En plus de proposer un fondement aux mathématiques, Cantor introduisit avec la théorie des ensembles des concepts radicalement nouveaux, et notamment l'idée qu'il existe plusieurs types d'infini que l'on peut mesurer et comparer au moyen de nouveaux nombres (ordinaux et cardinaux). À cause de sa modernité, la théorie des ensembles fut âprement controversée, notamment parce qu'elle postulait l'existence d'ensembles infinis, en contradiction avec certains principes des mathématiques constructives ou intuitionnistes. Au début du XXe siècle, plusieurs facteurs ont poussé les mathématiciens à développer une axiomatique pour la théorie des ensembles : la découverte de paradoxes tels que le paradoxe de Russell, mais surtout le questionnement autour de l'hypothèse du continu qui nécessitait une définition précise de la notion d'ensemble. Cette approche formelle conduisit à plusieurs systèmes axiomatiques, le plus connu étant les , mais également la théorie des classes de von Neumann ou la théorie des types de Russell. (fr)
  • La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica. Prima della prima metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, Gottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel e sistema assiomatico di Von Neumann-Bernays-Gödel. Successivamente si sono affrontate le tematiche riguardanti il problema della completezza dei sistemi di assiomi (v. teorema di incompletezza di Gödel), i rapporti con la teoria della calcolabilità (vedasi anche macchina di Turing) e la compatibilità dei sistemi di assiomi con l'assioma della scelta e con assiomi equivalenti o simili. Accanto a differenti consolidate teorie formali degli insiemi (vedi anche teoria assiomatica degli insiemi) esistono esposizioni più intuitive che costituiscono la cosiddetta teoria ingenua degli insiemi. Elenchiamo le entità principali della teoria degli insiemi. (it)
  • 集合論(しゅうごうろん、英: set theory, 仏: théorie des ensembles, 独: Mengenlehre)は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。(論理や述語論理とともに)集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に(無定義語の)「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の関係(二項関係)を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合(を帰属関係で順序付けしたもの)と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。また順序数全体 (これは真のクラスになる)もまた整列順序付けられている。以上のもとで、集合の濃度を と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。 (ja)
  • De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde. (nl)
  • Teoria mnogości, teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej, zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina. (pl)
  • Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos. O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos foram propostos no início do século XX, dos quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos. Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de matemática no Brasil e nos Estados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas de Venn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrão do currículo de matemática de graduação. A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandes cardinais. A lógica de classes, que pode ser considerada um pequeno fragmento da teoria dos conjuntos com importância histórica é isomorfa à lógica proposicional clássica e à álgebra booleana, e como tal, os teoremas de uma das teorias possuem análogos nas outras duas. Exemplos: * equivale a ; * equivale a ; * equivale a ; * equivale a ; * equivale a (Falso); * equivale a (Verdadeiro); * equivale a . (pt)
  • Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримости множеств тщательно разработана дескриптивная теория множеств. Теория множеств стала основой многих разделов математики — общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и оказала существенное влияние на современное понимание предмета математики. В первой половине XX века теоретико-множественный подход был привнесён и во многие традиционные разделы математики, в связи с чем стал широко использоваться в преподавании математики, в том числе в школах. Однако использование теории множеств для логически безупречного построения математических теорий осложняется тем, что она сама нуждается в обосновании своих методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности, при переходе на точку зрения общей теории множеств приобретают лишь бо́льшую остроту. Начиная со второй половины XX века представление о значении теории и её влияние на развитие математики заметно снизились за счёт осознания возможности получения достаточно общих результатов во многих областях математики и без явного использования её аппарата, в частности, с использованием теоретико-категорного инструментария (средствами которого в теории топосов обобщены практически все варианты теории множеств). Тем не менее нотация теории множеств стала общепринятой во всех разделах математики вне зависимости от использования теоретико-множественного подхода. На идейной основе теории множеств в конце XX века создано несколько обобщений, в том числе теория нечётких множеств, теория мультимножеств (используемые в основном в приложениях), (развиваемая в основном чешскими математиками). Ключевые понятия теории: множество (совокупность объектов произвольной природы), отношение принадлежности элементов множествам, подмножество, операции над множествами, отображение множеств, взаимно-однозначное соответствие, мощность (конечная, счётная, несчётная), трансфинитная индукция. (ru)
  • Mängdteori är del inom matematisk logik som syftar till att studera samlingar av element som kallas för mängder. Teorin har en allmän och en specifik betydelse, i allmänhet används mängdteorin som en byggsten för att formalisera matematik. Utöver detta kan man specifik studera en mängdteori i sig (se mängdteorier), och då har det en specifik betydelse. (sv)
  • Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики — вона є фундаментом низки нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики. Сучасні дослідження теорії множин були започатковані Георгом Кантором і Ріхардом Дедекіндом в 1870-х роках. Після відкриття парадоксів наївної теорії множин, на початку XX століття були запропоновані численні системи аксіом, серед яких найвідомішою є система Цермело-Френкеля з аксіомою вибору. (uk)
  • 集合論(英語:Set theory)或稱集論,是研究集合(由一堆構成的整體)的數學理論,包含集合和元素(或稱為成員)、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中,都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎,以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中,集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念,沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後,二十世紀初期提出了許多公理化集合論,其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論,簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員,而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一,特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外,集合論也是數學理論中的一部份,當代的集合論研究有許多離散的主題,從實數線的結構到大基数的一致性等。 (zh)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 27553 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 40735 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 982060099 (xsd:integer)
dbp:collapsible
  • yes (en)
dbp:commonscat
  • yes (en)
dbp:id
  • p/a014310 (en)
  • p/s084750 (en)
dbp:label
  • set theory (en)
dbp:lcheading
  • Set theory (en)
dbp:n
  • no (en)
dbp:onlinebooks
  • yes (en)
dbp:s
  • no (en)
dbp:title
  • Set theory (en)
  • Axiomatic set theory (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • نظرية المجموعة (الجمع: نظرية المجموعات) (بالإنجليزية: Set theory) هو فرع من علم المنطق الرياضي، تهتم بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة. كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق. (ar)
  • Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá studiem množin. Množina je buď souhrn nějakých prvků (přičemž nezáleží na jejich pořadí), anebo nějaká matematická formalizace tohoto konceptu. Teorie množin, která vychází z intuice a zachází s množinami jako se soubory nějakých objektů, se nazývá naivní teorie množin. Kromě ní existují axiomatické teorie množin, které přesně formulují vlastnosti množin několika axiomy a z nich (bez využití intuice či dalších předpokladů) odvozují další vlastnosti množin pomocí matematické logiky. Ve většině těchto teorií je možné zkonstruovat všechny běžně používané matematické objekty (tj. reálná čísla, funkce, uspořádané dvojice atd.) jako množiny. (cs)
  • La teoria de conjunts és la branca de les matemàtiques que estudia els conjunts. El primer estudi formal sobre el tema va ser realitzat pel matemàtic alemany Georg Cantor al segle xix. (ca)
  • Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie heute üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf. Die meisten mathematischen Objekte, die in Teilbereichen wie Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik oder Topologie behandelt werden, um nur einige wenige zu nennen, lassen sich als Mengen definieren. Gemessen daran ist die Mengenlehre eine recht junge Wissenschaft; erst nach der Überwindung der Grundlagenkrise der Mathematik im frühen 20. Jahrhundert konnte die Mengenlehre ihren heutigen, zentralen und grundlegenden Platz in der Mathematik einnehmen. (de)
  • Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: * , dan * , yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan. (in)
  • De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde. (nl)
  • Teoria mnogości, teoria zbiorów – dział matematyki, a zarazem logiki matematycznej, zapoczątkowany przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Teoria początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak wraz z postępem matematyki zaczęła pełnić rolę fundamentu, na którym opiera się większość matematycznych rozważań. Na przestrzeni lat język i metody teorii mnogości przeniknęły do wielu innych działów matematyki (na przykład w algebrze rozważa się obiekty teoriomnogościowe zwane ultrafiltrami). Teoria mnogości rozwijana jest także jako samodzielna dyscyplina. (pl)
  • Mängdteori är del inom matematisk logik som syftar till att studera samlingar av element som kallas för mängder. Teorin har en allmän och en specifik betydelse, i allmänhet används mängdteorin som en byggsten för att formalisera matematik. Utöver detta kan man specifik studera en mängdteori i sig (se mängdteorier), och då har det en specifik betydelse. (sv)
  • 集合論(英語:Set theory)或稱集論,是研究集合(由一堆構成的整體)的數學理論,包含集合和元素(或稱為成員)、關係等最基本數學概念。在大多數現代數學的公式化中,都是在集合論的語言下談論各種。集合論、命題邏輯與謂詞邏輯共同構成了數學的公理化基礎,以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。 現代集合論的研究是在1870年代由俄国数学家康托爾及德國数学家理察·戴德金的樸素集合論開始。在樸素集合論中,集合是當做一堆物件構成的整體之類的自證概念,沒有有關集合的形式化定義。在發現樸素集合論會產生一些後,二十世紀初期提出了許多公理化集合論,其中最著名的是包括選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論,簡稱ZFC。公理化集合論不直接定義集合和集合成員,而是先規範可以描述其性質的一些公理。 集合論常被視為數學基礎之一,特別是 ZFC 集合論。除了其基礎的作用外,集合論也是數學理論中的一部份,當代的集合論研究有許多離散的主題,從實數線的結構到大基数的一致性等。 (zh)
  • Στα μαθηματικά, Θεωρία Συνόλων ή Συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετάει τα σύνολα και είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι) η Θεωρία Συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Άτυπα μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η Θεωρία Συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμωλιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "ανήκειν" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με є. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η Θεωρία Συνόλων ασχολείται συνήθως με σύνολα που τα αντικείμενά τους σχετίζονται με τα μαθηματικά. (el)
  • Set theory is a branch of mathematical logic that studies sets, which informally are collections of objects. Although any type of object can be collected into a set, set theory is applied most often to objects that are relevant to mathematics. The language of set theory can be used to define nearly all mathematical objects. (en)
  • La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.​ (es)
  • Aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la por difini bazajn konceptojn kiel nombro. Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene: Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon. Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon. (eo)
  • Multzo-teoria multzoen propietateak eta erlazioak aztertzen dituen logika matematikoaren adar bat da. Objektuen bilduma abstraktuak objektu moduan hartzen ditu. Multzoak eta haien arteko eragiketak edozein teoria matematikoren oinarrizko tresna dira. Multzo-teoria aberatsa da matematikaren gainerako objektuak eta egiturak eraikitzeko: zenbakiak, funtzioak, irudi geometrikoak... Logikaren tresnei esker, haien oinarriak aztertzea ahalbidetzen du. Gaur egun, Zermelo-Fraenkelen teoriaren axioma multzoa matematika osoa garatzeko nahikoa dela onartua dago. (eu)
  • Brainse de loighic mhatamaiticiúil is ea tacartheoiric (nó teoiric na dtacar), a dhéanann staidéar ar thacair; go neamhfhoirmiúi is bailiúcháin de réada iad. Cé gur féidir le réad ar bith a bhailiú i dtacar, is minic a úsáidtear tacartheoiric ar rudaí a bhaineann leis an matamaitic. Is féidir leas a bhaint as teanga na tacartheoirice chun beagnach gach réad matamaitice a shainiú. (ga)
  • La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles se donne comme primitives les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes… C'est pourquoi la théorie des ensembles est considérée comme une théorie fondamentale dont Hilbert a pu dire qu'elle était un « paradis » créé par Cantor pour les mathématiciens. (fr)
  • 集合論(しゅうごうろん、英: set theory, 仏: théorie des ensembles, 独: Mengenlehre)は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。(論理や述語論理とともに)集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に(無定義語の)「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。 (ja)
  • La teoria degli insiemi è una teoria matematica posta ai fondamenti della matematica stessa, collocandosi nell'ambito della logica matematica. Prima della prima metà del XIX secolo la nozione di insieme veniva considerata solo come qualcosa di intuitivo e generico. La nozione è stata sviluppata nella seconda metà del XIX secolo dal matematico tedesco Georg Cantor, è stata al centro dei dibattiti sui fondamenti dal 1890 al 1930 ed ha ricevuto le prime sistemazioni assiomatiche per merito di Ernst Zermelo, Adolf Fraenkel, Paul Bernays, Kurt Gödel, John von Neumann e Thoralf Skolem, Gottlob Frege (le convenzioni linguistico-formali, come il quantificatore universale ed esistenziale) e Giuseppe Peano (notazione e sintassi). In questo periodo si sono assestati due sistemi di assiomi chiamati si (it)
  • Тео́рия мно́жеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств — совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством. Создана во второй половине XIX века Георгом Кантором при значительном участии Рихарда Дедекинда, привнесла в математику новое понимание природы бесконечности, была обнаружена глубокая связь теории с формальной логикой, однако уже в конце XIX — начале XX века теория столкнулась со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов, поэтому изначальная форма теории известна как наивная теория множеств. В XX веке теория получила существенное методологическое развитие, были созданы несколько вариантов аксиоматической теории множеств, обеспечивающие универсальный математический инструментарий, в связи с вопросами измеримос (ru)
  • Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos. Exemplos: * equivale a ; * equivale a ; * equivale a ; * equivale a ; * equivale a (Falso); * equivale a (Verdadeiro); * equivale a . (pt)
  • Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики — вона є фундаментом низки нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики. (uk)
rdfs:label
  • Set theory (en)
  • نظرية المجموعات (ar)
  • Teoria de conjunts (ca)
  • Teorie množin (cs)
  • Mengenlehre (de)
  • Θεωρία συνόλων (el)
  • Aroteorio (eo)
  • Teoría de conjuntos (es)
  • Multzo-teoria (eu)
  • Théorie des ensembles (fr)
  • Tacartheoiric (ga)
  • Teori himpunan (in)
  • Teoria degli insiemi (it)
  • 集合論 (ja)
  • Teoria mnogości (pl)
  • Verzamelingenleer (nl)
  • Теория множеств (ru)
  • Teoria dos conjuntos (pt)
  • Mängdteori (sv)
  • Теорія множин (uk)
  • 集合论 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:academicDiscipline of
is dbo:knownFor of
is dbo:mainInterest of
is dbo:nonFictionSubject of
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbp:field of
is dbp:fields of
is dbp:knownFor of
is dbp:mainInterests of
is dbp:subject of
is rdfs:seeAlso of
is foaf:primaryTopic of