A safe prime is a prime number of the form 2p + 1, where p is also a prime. (Conversely, the prime p is a Sophie Germain prime.) The first few safe primes are 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, ... (sequence A005385 in the OEIS)

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  • عدد أولي آمن هو عدد أولي يكب على الشكل 2p + 1 حيث p عدد أولي أيضا. في هاته الحالة، يسمى p عددا أوليا لصوفي جيرمين. الأعداد الأولية الآمنة الأولى هي :5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907. (ar)
  • A safe prime is a prime number of the form 2p + 1, where p is also a prime. (Conversely, the prime p is a Sophie Germain prime.) The first few safe primes are 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, ... (sequence A005385 in the OEIS) With the exception of 7, a safe prime q is of the form 6k − 1 or, equivalently, q ≡ 5 (mod 6) — as is p > 3 (c.f. Sophie Germain prime, second paragraph). Similarly, with the exception of 5, a safe prime q is of the form 4k − 1 or, equivalently, q ≡ 3 (mod 4) — trivially true since (q − 1) / 2 must evaluate to an odd natural number. Combining both forms using lcm(6,4) we determine that a safe prime q > 7 also must be of the form 12k−1 or, equivalently, q ≡ 11 (mod 12). (en)
  • Un nombre premier sûr est un nombre premier de la forme 2p + 1, où p est lui-même un nombre premier (p est alors appelé un nombre premier de Sophie Germain). (fr)
  • In teoria dei numeri, un numero primo sicuro è un numero primo esprimibile nella forma 2p + 1, dove p è un altro numero primo. p è invece detto numero primo di Sophie Germain. I primi numeri primi sicuri sono 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907 e 2027. (it)
  • 安全素数(あんぜんそすう、safe prime)は、p と 2p + 1 がともに素数である場合における 2p + 1 である。このとき、p のほうはソフィー・ジェルマン素数と呼ばれる。例えば11と 2 × 11 + 1 = 23はともに素数であるので 11 はソフィー・ジェルマン素数、23は安全素数である。安全素数が無数に存在するかどうかは分かっていない。最も小さいものは5である。 安全素数を小さい順に列記すると 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, …(オンライン整数列大辞典の数列 A05385) となる。簡単に確かめられることであるが、5 以外の安全素数は4で割ると3余る。また7以外の安全素数は3で割ると2余る。よって、7より大きな安全素数は12で割ると11余る。 5と11を除く安全素数の一の位は 3, 7, 9 のいずれかである。 ソフィー・ジェルマン素数かつ安全素数である素数は 5, 11, 23, 83, 179, 359, 719, 1019, 1439, 2039, 2063, 2459, 2819, 2903, 2963,…(オンライン整数列大辞典の数列 A59455) (ja)
  • 安全素数是满足2p+1形式的一类数,在这里p也是素数。(相反地,素数p叫做索菲热尔曼素数。)开始的几个安全素数是: 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907 (OEIS中的数列A005385) (zh)
  • Безопасное простое число — это простое число вида 2p + 1, где p также простое (и наоборот, p есть простое число Софи Жермен). Несколько первых безопасных простых чисел: 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, … (A005385) За исключением 7, безопасное простое число q имеет форму 6k − 1 или, что эквивалентно, q ≡ 5 (mod 6) — где p > 3. Таким же образом, за исключением 5, безопасное простое число q представимо в форме 4k − 1 или, что эквивалентно, q ≡ 3 (mod 4) — тривиальное утверждение, поскольку (q − 1) / 2 должно быть нечетным натуральным числом. Комбинируя обе формы с использованием НОК(6,4) мы получим, что безопасное простое число q > 7 также должно быть представимо в виде 12k−1 или, что эквивалентно, q ≡ 11 (mod 12). (ru)
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  • Safe prime
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  • SafePrime
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  • عدد أولي آمن هو عدد أولي يكب على الشكل 2p + 1 حيث p عدد أولي أيضا. في هاته الحالة، يسمى p عددا أوليا لصوفي جيرمين. الأعداد الأولية الآمنة الأولى هي :5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907. (ar)
  • Un nombre premier sûr est un nombre premier de la forme 2p + 1, où p est lui-même un nombre premier (p est alors appelé un nombre premier de Sophie Germain). (fr)
  • In teoria dei numeri, un numero primo sicuro è un numero primo esprimibile nella forma 2p + 1, dove p è un altro numero primo. p è invece detto numero primo di Sophie Germain. I primi numeri primi sicuri sono 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907 e 2027. (it)
  • 安全素数(あんぜんそすう、safe prime)は、p と 2p + 1 がともに素数である場合における 2p + 1 である。このとき、p のほうはソフィー・ジェルマン素数と呼ばれる。例えば11と 2 × 11 + 1 = 23はともに素数であるので 11 はソフィー・ジェルマン素数、23は安全素数である。安全素数が無数に存在するかどうかは分かっていない。最も小さいものは5である。 安全素数を小さい順に列記すると 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, …(オンライン整数列大辞典の数列 A05385) となる。簡単に確かめられることであるが、5 以外の安全素数は4で割ると3余る。また7以外の安全素数は3で割ると2余る。よって、7より大きな安全素数は12で割ると11余る。 5と11を除く安全素数の一の位は 3, 7, 9 のいずれかである。 ソフィー・ジェルマン素数かつ安全素数である素数は 5, 11, 23, 83, 179, 359, 719, 1019, 1439, 2039, 2063, 2459, 2819, 2903, 2963,…(オンライン整数列大辞典の数列 A59455) (ja)
  • 安全素数是满足2p+1形式的一类数,在这里p也是素数。(相反地,素数p叫做索菲热尔曼素数。)开始的几个安全素数是: 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907 (OEIS中的数列A005385) (zh)
  • A safe prime is a prime number of the form 2p + 1, where p is also a prime. (Conversely, the prime p is a Sophie Germain prime.) The first few safe primes are 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, ... (sequence A005385 in the OEIS) (en)
  • Безопасное простое число — это простое число вида 2p + 1, где p также простое (и наоборот, p есть простое число Софи Жермен). Несколько первых безопасных простых чисел: 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, … (A005385) (ru)
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  • عدد أولي آمن (ar)
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  • Numero primo sicuro (it)
  • 安全素数 (ja)
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