This article is about rotations in three-dimensional Euclidean space. For rotations in higher dimensions, see orthogonal group. In mechanics and geometry, the rotation group is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space R under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a linear transformation that preserves length of vectors (it is an isometry) and preserves orientation (i.e. handedness) of space.
| Property | Value |
|---|
| dbpprop:abstract
|
- This article is about rotations in three-dimensional Euclidean space. For rotations in higher dimensions, see orthogonal group. In mechanics and geometry, the rotation group is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space R under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a linear transformation that preserves length of vectors (it is an isometry) and preserves orientation (i.e. handedness) of space. A length-preserving transformation which reverses orientation is called an improper rotation. Every improper rotation of three-dimensional Euclidean space is a reflection in a plane through the origin. Composing two rotations results in another rotation; every rotation has a unique inverse rotation; and the identity map satisfies the definition of a rotation. Owing to the above properties, the set of all rotations is a group under composition. Moreover, the rotation group has a natural manifold structure for which the group operations are smooth; so it is in fact a Lie group. The rotation group is often denoted SO(3) for reasons explained below.
- Die Drehgruppe ist die spezielle orthogonale Gruppe SO(3) oder <math>\mathrm{SO}(3,\mathbb R)</math> aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Ihre Elemente sind die Drehmatrizen, also orthogonale Matrizen <math>A</math> mit <math>A^{-1} = A^T</math> und Determinante Eins. Die Drehgruppe ist eine Lie-Gruppe. Eine Topologie bekommt die SO(3) in kanonischer Weise als Matrixgruppe und dadurch ist auch ihre Liegruppenstruktur definiert. Die SO(3) ist eine kompakte topologische Gruppe. Die Lie-Algebra der SO(3) ist die <math>\mathfrak{so}(3)</math>. Sie ist eine reelle Form der Lie-Algebra sl(2,C). Letztere ergibt die auf <math>\mathbb C^2</math> definierte SU(2), eine Überlagerungsgruppe vom Grad 2 zur SO(3). Für einen beliebigen kommutativen Ring mit Eins <math>R</math> und eine natürliche Zahl <math>n</math> nennt man die Gruppe der Drehungen des <math>R^n</math> seine spezielle orthogonale Gruppe <math>\mathrm{SO}(n,R)</math>.
- In de mechanica en de meetkunde is de rotatiegroep de groep van alle rotaties romdom de oorsprong van drie-dimensionale Euclidische ruimte R onder de operatie van samenstelling. Per definitie is een rotatie rondom de oorsprong een lineaire transformatie die de lengte van vectoren bewaart (het is een isometrie) en bewaart deze rotatie de orientatie (dat wil zeggen handedness) van de ruimte. Een lengte-bewarende transformatie die de orientatie omkeert wordt een oneigenlijke rotatie genoemd. Elke oneigenlijk rotatie van de drie-dimensionale Euclidische ruimte is een spiegeling in een vlak door de oorsprong. Het samenstellen van twee rotaties resulteert in een andere rotatie; iedere rotatie heeft een unieke inverse rotatie en de identiteits functie voldoet aan de definitie van een rotatie. Door deze bovengenoemde eigenschappen, is de verzameling van alle rotaties een groep onder samenstelling. Bovendien heeft de rotatiegroep een natuurlijke variëteitstructuur voor welke de groepsbewerkingen glad is; het is in feite dus een Lie-groep. De rotatiegroep wordt vaak aangeduid met SO(3).
- Element grupy SO(3), <math>R</math> można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor <math>\alpha</math>, oś obrotu <math>\omega</math> i kąt obrotu ψ (przy czym <math>\alpha^i=\omega^i \psi </math>, <math>\omega^1=\sin \sin</math>, <math>\omega^2=\sin \cos</math>, <math>\omega^3=\cos</math>). <math>R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}</math>. Trzy macierze <math>T^a</math> nazywamy generatorami grupy obrotów. Grupa obrotów SO(3) jest ciągłą. Generatory grupy SO(3) to: <math>T^1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix},\ T^2=\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{bmatrix}, \ T^3=\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} </math> Generatory te spełniają regułę komutacji <math> [ T^a, T^b ] =i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c </math> gdzie ε jest symbolem antysymetrycznym równym 1,-1 w zależności czy (a b c) jest parzystą czy nieparzystą permutacją (1 2 3) lub 0 gdy dwa lub trzy wskaźniki są takie same. Generatory grupy SO(n) rozpinają algebę liniową so(n) z mnożeniem zdefiniowanym jako komutator <math> A\times B </math> =[A B - B A] (komutator). Jest to algebra Liego. Bardzo podobne relacje w mechanice kwantowej spełnia operator momentu pędu <math>\vec{L}=\vec{x}\times \vec{p}</math> (z dokładnością do stałej Plancka <math>\hbar</math>). Operator ten jest reprezentacją algebry so(3) w przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem <math>L^2</math>. Z własności tej algebry (i grupy SO) wynika niemożność jednoczesnego pomiaru wszystkich składowych momentu pędu w mechanice kwantowej. Identyczne reguły komutacyjne spełnia operator spinu (jest to konsekwencją algebry Liego su dla grupy nakrywającej SU). Zobacz też: Grupa SO(2), Grupa SU(2)
- Em mecânica e geometria, o grupo de rotação ou SO(3) é o grupo de todas as rotações sobre a origem de um espaço euclidiano tridimensional R sob a operação de composição. Por definição, uma rotação sobre a origem é uma transformação linear que preserva comprimento dos vetores e preserva a orientação (i.e. o sentido) do espaço. Uma transformação preservante de comprimento a qual preserva a orientação é chamada uma rotação imprópria. Compondo duas rotações resulta em outra rotação; cada rotação tem uma única rotação inversa; e a função identidade satisfaz a definição de uma rotação. Apropriando-se das propriedades acima, o conjunto de todas as rotações é um grupo sob composição. Além disso, o grupo de rotação tem uma estrutura de variedade natural para a qual as operações de grupo são suaves; então ele é de fato um grupo de Lie.
- В механике и геометрии группа вращения является набором всех вращений вокруг начала координат в 3-мерном Евклидовом пространстве, <math>\R^3</math>. По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц <math>3\times3</math> с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3, SO).
- 在經典力學與幾何學裏，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群．根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持向量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線形變換．假若，一個線形變換保持向量長度，逆反空間取向，則稱此變換為假旋轉． 兩個旋轉的複合等於一個旋轉．每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元．旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群．更加地，旋轉群擁有一個天然的流形結構．對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群．旋轉群時常會用 SO(3) 來表示．
|
| dbpprop:hasPhotoCollection
| |
| dbpprop:mainArticleProperty
|
- Orthogonal matrix
- Rotation matrix
|
| dbpprop:wikiPageUsesTemplate
| |
| rdf:type
| |
| rdfs:comment
|
- This article is about rotations in three-dimensional Euclidean space. For rotations in higher dimensions, see orthogonal group. In mechanics and geometry, the rotation group is the group of all rotations about the origin of three-dimensional Euclidean space R under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a linear transformation that preserves length of vectors (it is an isometry) and preserves orientation (i.e. handedness) of space.
- Die Drehgruppe ist die spezielle orthogonale Gruppe SO(3) oder <math>\mathrm{SO}(3,\mathbb R)</math> aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Ihre Elemente sind die Drehmatrizen, also orthogonale Matrizen <math>A</math> mit <math>A^{-1} = A^T</math> und Determinante Eins. Die Drehgruppe ist eine Lie-Gruppe. Eine Topologie bekommt die SO(3) in kanonischer Weise als Matrixgruppe und dadurch ist auch ihre Liegruppenstruktur definiert.
- In de mechanica en de meetkunde is de rotatiegroep de groep van alle rotaties romdom de oorsprong van drie-dimensionale Euclidische ruimte R onder de operatie van samenstelling. Per definitie is een rotatie rondom de oorsprong een lineaire transformatie die de lengte van vectoren bewaart (het is een isometrie) en bewaart deze rotatie de orientatie (dat wil zeggen handedness) van de ruimte. Een lengte-bewarende transformatie die de orientatie omkeert wordt een oneigenlijke rotatie genoemd.
- Element grupy SO(3), <math>R</math> można parametryzować w sposób ciągły przez trzy parametry wektor <math>\alpha</math>, oś obrotu <math>\omega</math> i kąt obrotu ψ (przy czym <math>\alpha^i=\omega^i \psi </math>, <math>\omega^1=\sin \sin</math>, <math>\omega^2=\sin \cos</math>, <math>\omega^3=\cos</math>). <math>R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}</math>.
- Em mecânica e geometria, o grupo de rotação ou SO(3) é o grupo de todas as rotações sobre a origem de um espaço euclidiano tridimensional R sob a operação de composição. Por definição, uma rotação sobre a origem é uma transformação linear que preserva comprimento dos vetores e preserva a orientação (i.e. o sentido) do espaço. Uma transformação preservante de comprimento a qual preserva a orientação é chamada uma rotação imprópria.
- В механике и геометрии группа вращения является набором всех вращений вокруг начала координат в 3-мерном Евклидовом пространстве, <math>\R^3</math>.
|
| rdfs:label
|
- Rotation group
- Drehgruppe
- Rotatiegroep
- Grupa obrotów
- Grupo de rotação
- Группа вращений
- 旋轉群
|
| owl:sameAs
| |
| skos:subject
| |
| foaf:page
| |
| is dbpprop:disambiguates
of | |
| is dbpprop:redirect
of | |
| is owl:sameAs
of | |
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
