In mathematics, a rose or rhodonea curve is a sinusoid plotted in polar coordinates. Up to similarity, these curves can all be expressed by a polar equation of the form \!\,r=\cos(k\theta). If k is an integer, the curve will be rose shaped with 2k petals if k is even, and k petals if k is odd. When k is even, the entire graph of the rose will be traced out exactly once when the value of θ changes from 0 to 2π. When k is odd, this will happen on the interval between 0 and π.

PropertyValue
dbpedia-owl:thumbnail
dbpprop:abstract
  • In mathematics, a rose or rhodonea curve is a sinusoid plotted in polar coordinates. Up to similarity, these curves can all be expressed by a polar equation of the form \!\,r=\cos(k\theta). If k is an integer, the curve will be rose shaped with 2k petals if k is even, and k petals if k is odd. When k is even, the entire graph of the rose will be traced out exactly once when the value of θ changes from 0 to 2π. When k is odd, this will happen on the interval between 0 and π. (More generally, this will happen on any interval of length 2π for k even, and π for k odd. ) If k is rational, then the curve is closed and has finite length. If k is irrational, then it is not closed and has infinite length. Furthermore, the graph of the rose in this case forms a dense set (i.e. , it comes arbitrarily close to every point in the unit disk). Since \sin(k \theta) = \cos\left(k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left(k \left \right) for all <math>\theta, the curves given by the polar equations \,r=\sin(k\theta) and <math>\,r = \cos(k\theta) are identical except for a rotation of π/2k radians. Rhodonea curves were named by the Italian mathematician Guido Grandi between the year 1723 and 1728.
  • En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma \!\,r=\cos(k\theta). Si k és un enter, la corba serà una rosa de 2k pètals si k és parell, i k pètals si k és senar. Quan k és parell, la gràfica complerta de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π. (De forma més general, això pasa en qualsevol interval de longitud 2π per a k parell, i π per a k senar. ) Si k és un nombre racional, llavors la corba és tancada i té longitud finita. Si k és un nombre irracional, llavors no és tancada i té longitud infinita. És més, en aquest últim cas, la gràfica de la rosa esdevé un conjunt dens (és a dir, passa arbitràriament aprop de qualsevol punt del disc de radi unitat). Donat que \sin(k \theta) = \cos\left(k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left(k \left \right) Per a to <math>\theta, les curves donades per les equacions polars \,r=\sin(k\theta) and <math>\,r = \cos(k\theta) Són idèntiques tret d'una rotació de π/2k radians. El nom de les roses els hi va donar el matemàtic italià Guido Grandi entre l'any 1723 i el 1728.
  • In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva il nome della curva (dal greco rhódon, ròsa) La rodonea è chiamata anche rosa di Grandi, da Luigi Guido Grandi, matematico che l'ha battezzata e studiata intorno al 1725. La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.
  • バラ曲線（ばらきょくせん、Rose Curve）は極座標の方程式<math>r=a\sin n\theta</math>または<math>r=a\cos n\theta</math>によって表される曲線である。バラに似た形のため、このように名付けられた。原点と「原点から最も離れた点」の距離はaである。cosのときの形はsinのときの形を回転させた形となる（逆も成り立つ）。 nが偶数のとき2nのループからなる。nが奇数のときnのループからなる。またnが分数の場合も考えることができる。 <math>r=\sin 2\theta</math>のとき、曲線はXに似た形となる。 <math>r=\sin 3\theta</math>のとき、曲線はYに似た形となる。 <math>r=\cos 2\theta</math>のとき、曲線は+に似た形となる。
  • Файл:Rhodonea curve. png Общий вид полярной розы при различных значениях k Ро́за — плоская кривая, напоминающее символическое изображение цветка. Данная кривая описывается уравнением в полярной системе координат в виде <math>\rho = a \sin k\varphi\,. </math> Здесь <math>a</math> и <math>k</math> — постоянные, определяющие размер (a) и количество лепестков (k) данной розы. Вся кривая располагается внутри окружности радиуса <math>a</math> и в случае <math>k>1</math> состоит из одинаковых по форме и размеру лепестков. Количество лепестков в данном случае определяется величиной <math>k</math>. Для целого <math>k</math> число лепестков равно <math>k</math>, если <math>k</math> нечётное и <math>2k</math>, — если чётное. Для дробного <math>k</math> вида <math>k=\frac{m}{n}</math>, где <math>m</math> и <math>n</math> взаимно простые, количество лепестков розы равно <math>m</math>, если оба числа нечётные и <math>2m</math>, если хотя бы одно — чётно. При <math>k</math> иррациональном лепестков бесконечно много. При значениях <math>k>1</math> роза является гипоциклоидой, а при <math>k<1</math> — эпициклоидой.
  • Matematikte gül veya rodonea (Yunanca gül anlamına gelen rodon kelimesinden), kutupsal koordinat sisteminde çizilmiş bir sinüs ya da kosinüs eğrisine denir. Gül eğrisi, aşağıdaki kutupsal denklemle ifade edilir: <math>\, r = a\cos(k\theta). Bu denklemde kosinüs yerine sinüs de yazılabilir, ortaya çıkacak eğri kosinüs eğrisinin π/2k radyan kadar döndürülmüş bir kopyası olacaktır. Bunun sebebi de sinüs ve kosinüs arasındaki şu ilişkidir: <math>\sin(k \theta) = \cos\left(k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left(k \left \right). Gül eğrisi aynı zamanda, orijinden çıkan ve sabit açısal hızla dönmekte olan bir doğrunun üzerinde sinüs/kosinüs dalgası şeklinde ileri geri hareket eden bir noktanın izleyeceği eğridir. Denklemdeki a değeri gülün şeklini değil, bir bütün olarak büyüklüğünü (yani yaprakların uzunluğunu) etkiler. Eğer k bir tek sayı ise, gül şeklinin tamamen çizilmesi için θ'nın π uzunluğunda bir interval boyunca ilerlemesi yeterlidir, ve ortaya çıkacak gül k yapraklı olacaktır. Yok eğer k bir çift sayı ise, şeklin tamamen çizilmesi için θ'nın 2π uzunluğunda bir intervalde ilerlemesi gerekir, ve ortaya çıkacak gül 2k yapraklı olacaktır. Burada ilginç bir nokta şudur: Herhangi bir tek sayının iki katı kadar (2, 6, 10, 14, 18, vs. ) yaprağı olan bir gül çizilemez. Elbette k bir tam sayı olmak zorunda değildir, rasyonel ya da irrasyonel de olabilir. Eğer k bir rasyonel sayı ise, ortaya çıkan eğri topolojik anlamda kapalı ve sonlu uzunlukta olacaktır. k irrasyonel ise, eğri kapalı olmayacak, ve uzunluğu sonsuz olacaktır. Bu eğrilere gül ismini veren, 18. yüzyıl İtalyan matematikçisi Guido Grandi'dir.
  • 玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线，可以用以下的方程来表示： \!\,r=\cos(k\theta). 如果k是偶数，玫瑰线就有2k个瓣，如果k是奇数，则有k个瓣。 如果k是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度有限。如果k是无理数，则曲线不是封闭的，长度为无穷大。在这种情况下，玫瑰线的图形便形成了一个稠密集。 由于对于所有的<math>\theta，都有： \sin(k \theta) = \cos\left(k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left(k \left \right) 因此由以下方程所确定的玫瑰线 \,r=\sin(k\theta)和<math>\,r = \cos(k\theta) 除了角度的不同以外，是全等的。
dbpprop:class
  • Curves
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:id
  • Rhodonea
dbpprop:reference
dbpprop:title
  • Rhodonea
  • Rose
dbpprop:urlname
  • Rose
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdfs:comment
  • In mathematics, a rose or rhodonea curve is a sinusoid plotted in polar coordinates. Up to similarity, these curves can all be expressed by a polar equation of the form \!\,r=\cos(k\theta). If k is an integer, the curve will be rose shaped with 2k petals if k is even, and k petals if k is odd. When k is even, the entire graph of the rose will be traced out exactly once when the value of θ changes from 0 to 2π. When k is odd, this will happen on the interval between 0 and π.
  • En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma \!\,r=\cos(k\theta). Si k és un enter, la corba serà una rosa de 2k pètals si k és parell, i k pètals si k és senar. Quan k és parell, la gràfica complerta de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π.
  • In geometria è detta rodonea la curva algebrica o trascendente il cui grafico è caratterizzato da una serie di avvolgimenti attorno ad un punto centrale. Nei casi più noti tali avvolgimenti producono figure a forma di rosone, da cui deriva il nome della curva (dal greco rhódon, ròsa) La rodonea è chiamata anche rosa di Grandi, da Luigi Guido Grandi, matematico che l'ha battezzata e studiata intorno al 1725. La rodonea si può considerare un caso particolare di ipocicloide.
  • Файл:Rhodonea curve. png Общий вид полярной розы при различных значениях k Ро́за — плоская кривая, напоминающее символическое изображение цветка. Данная кривая описывается уравнением в полярной системе координат в виде <math>\rho = a \sin k\varphi\,.
  • Matematikte gül veya rodonea (Yunanca gül anlamına gelen rodon kelimesinden), kutupsal koordinat sisteminde çizilmiş bir sinüs ya da kosinüs eğrisine denir. Gül eğrisi, aşağıdaki kutupsal denklemle ifade edilir: <math>\, r = a\cos(k\theta). Bu denklemde kosinüs yerine sinüs de yazılabilir, ortaya çıkacak eğri kosinüs eğrisinin π/2k radyan kadar döndürülmüş bir kopyası olacaktır.
  • 玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线，可以用以下的方程来表示： \!\,r=\cos(k\theta).
rdfs:label
  • Rose (mathematics)
  • Rosa (matemàtiques)
  • Rodonea
  • バラ曲線
  • Роза (плоская кривая)
  • Gül (matematik)
  • 玫瑰线
owl:sameAs
skos:subject
foaf:depiction
foaf:page
is dbpprop:disambiguates of
is dbpprop:redirect of