| dbpprop:abstract
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- In mathematics, a Riccati equation is any ordinary differential equation that has the form <math> y' = q_0(x) + q_1(x) \, y + q_2(x) \, y^2 </math> It is named after Count Jacopo Francesco Riccati (1676-1754).
- Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form <math>\ y'(x) = f(x)y^2(x)+ g(x)y(x) + h(x)</math>. Sie ist nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, einem italienischen Grafen (1676–1754), der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Reduzierung der Ordnung von Gleichungen entwickelte. Eine allgemeine Integration der Riccati-Differentialgleichung ist mit den üblichen Methoden nicht möglich. Denselben Namen riccatische Differentialgleichung tragen noch zwei andere Gleichungstypen, die für verschiedene Themen von angewandter Mathematik bis zur Finanzwissenschaft von Bedeutung sind.
- En matemàtiques, una equació de Ricatti és qualsevol equació diferencial de la forma: <math> y' = q_0(x) + q_1(x) \, y + q_2(x) \, y^2 </math> on q0, q1 i q2 són funcions reals, sovint escollides de forma que siguin contínues en un mateix intèrval. L'equació rep el nom el matemàtic italià Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), qui el 1720 la presentà, en una forma lleugerament diferent, al seu amic Giovanni Rizzetti. L'equació de Riccati no es pot tractar per les tècniques elementals de solució d'equacions diferencials. El procediment de solució és el següent. Si es pot trobar una solució particular y1, la solució general serà <math> y = y_1 + u \,</math> I ara, substituint <math> y_1 + u \,</math> a l'equació de Riccati s'obté: <math> y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2 </math> i com <math> y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2 </math> <math> u' = q_1 \, u + 2 \, q_2 \, y_1 \, u + q_2 \, u^2 </math> o <math> u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2, </math> que és una equació diferencial de Bernoulli. Malauradament, y1 s'ha de trobar fent alguna suposició. La substitució necessària per solucionar aquesta equació de Bernoulli és <math> z = u^{1-2} = \frac{1}{u} </math> I substituint <math> y = y_1 + \frac{1}{z} </math> directament a l'equació de Ricati, obtenim l'equació lineal: <math> z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, z = -q_2 </math> Llavors la solució general de l'equació de Riccati es pot escriure com <math> y = y_1 + \frac{1}{z} </math> on z és la solució general de l'equació lineal anterior.
- La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. Corresponde a una ecuación de la forma: <math>\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x)</math> Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos <math> y_1(x)\,\!</math>. Conocida dicha solución, se hace el cambio: <math> y(x)= z(x) + y_1(x)\,\!</math> y reemplazando, se obtiene: <math>\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2 +f(x)=\frac{dz(x)}{dx}+ \frac{dy_1}{dx}</math> es decir: <math> -p(x)y -q(x)y^2+ f(x)=\frac{dz}{dx} -p(x)y_1(x) - q(x)y_1(x)^2 +f(x)</math> <math>\Rightarrow \frac{dz}{dx} = p(x) (y_1-y)+ q(x)(y_1^2-y^2)</math> lo que equivale a: <math>\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x) (z^2+2zy_1)</math> <math>\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p +2qy_1)z -q(x)z^2</math> que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli. Obsérvese que si se hace el cambio <math> y(x)=y_1(x) + \frac{1}{z(x)}</math>, esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.
- En mathématiques, une équation de Riccati est une équation différentielle ordinaire de la forme y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2\,</math>. Où <math>q_0\,</math>, <math>q_1\,</math> et <math>q_2\,</math> sont trois fonctions, souvent choisies continues à valeurs réelles sur un intervalle commun mais on les rencontre parfois à valeurs complexes. Elle porte ce nom en l'honneur de Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) et de son fils Vincenzo Riccati (1707-1775). Il n'existe pas, en général, de résolution par quadrature à une telle équation mais, il existe une méthode de résolution dès que l'on en connaît une solution particulière.
- elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük. Ha <math>r(x)\equiv0\, </math>, akkor lineáris, ha <math>h(x)\equiv0\, </math>, akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk. Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet általában integrálással nem oldható meg, de ha ismeretes az (1) egyenlet egyetlen :<math>y = y_{1}(x)\, </math> partikuláris megoldása, akkor az :<math>y = z(x)+y_{1}(x)\, </math> új ismeretlen függvény bevezetésével már az általános megoldás is előállítható. Mi csak ezzel az esettel foglalkozunk. Legyen az (1) egyenlet egy partikuláris megoldása :<math>y = y_{1}(x)\, </math>, akkor fennáll az :<math>y_{1}'+p(x)y_{1} = r(x)y_{1}^2+h(x)\, </math> (2) azonosság. Vonjuk ki (1)-ből (2) megfelelő oldalát: :<math>y'-y_{1}'+p(x)(y-y_{1}) = r(x)(y^2-y_{1}^2)\, </math>, és vezessük be az :<math>y = z(x)+y_{1}(x)\, </math> új ismeretlen függvényt, akkor a :<math>z'+p(x)z = r(x)z(z+2y_{1})\, </math> alak áll elő. Rendezve :<math>z'+(p-2ry_{1})z = r(x)z^2\, </math> (3) egyenletre jutunk, amely az új z(x) függvényre Bernoulli-féle differenciálegyenlet. Ennek megoldását az előző pontban ismertetett módon kapjuk, az :<math>\frac{1}z = u(x)\, </math> új ismeretlen függvény bevezetésével ui. lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható.
- Almeno tre tipi di equazioni differenziali sono noti come equazione di Riccati, ed hanno le seguenti forme: <math> 1 \, \, \, u' = P(z) + Q(z)u +R(z)u^2 </math> <math> 2) \, \, \, u' = az^n+bu^2</math> <math> 3) \, \, \, z^2 u + [z^2 - n(n+1)] u = 0</math> Le equazioni prendono il nome dai matematici Jacopo Riccati e suo figlio Vincenzo. La generalizzazione delle equazioni di Riccati al caso matriciale ha importanti applicazioni nella teoria del controllo ottimo.
- De Riccativergelijking is een niet-lineaire differentiaalvergelijking van de 1ste orde van de vorm: <math>y'= P(x)y^2 + Q(x)y + R(x),\,</math> waarin P, Q en R continue functies zijn, gedefiniëerd op hetzelfde interval De Riccatie-vergelijking kan in het algemeen niet geïntegreerd worden, nochtans kan men de vergelijking integreren, zodra men over een particuliere oplossing beschikt.
- Równanie różniczkowe Riccatiego – typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego. Równanie postaci: <math>\frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x)</math>, gdzie <math>p, q, r</math> są funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale <math>(a, b)</math>, nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego. Przypadki szczególne: dla <math>r(x)\equiv 0</math>, równanie sprowadza się ono do równania różniczkowego Bernoulliego, dla <math>p(x)\equiv 0</math>, równanie sprowadza się ono do równania liniowego. Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru <math>(a, b)\times \mathbb{R}</math> przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do kwadratur. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne <math>y_1</math> równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie <math>y=y_1+\tfrac{1}{z}</math> do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymujemy <math>y_1^\prime-\tfrac{z^\prime}{z^2}=p(x)y_1+q(x)+r(x)+\tfrac{2p(x)y_1}{z}+\tfrac{p(x)}{z^2}+\tfrac{q(x)}{z}</math> skąd wobec równości <math>y_1^\prime=p(x)y_1^2+q(x)y_1+r(x)</math> otrzymuje się równanie różniczkowe liniowe <math>z^\prime+(2py_1+q)z=-p(x)</math>.
- A Equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma: em que <math>a_{0}(x) \,</math>, <math>a_{1}(x) \,</math> e <math>a_{2}(x) \,</math> são funções contínuas num intervalo <math>I \,</math> e <math>a_{2}(x) \ne 0</math> em <math>I \,</math>.
- Riccati方程是形式如<math>y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2</math> 的常微分方程。
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| rdfs:comment
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- In mathematics, a Riccati equation is any ordinary differential equation that has the form <math> y' = q_0(x) + q_1(x) \, y + q_2(x) \, y^2 </math> It is named after Count Jacopo Francesco Riccati (1676-1754).
- Die riccatische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form <math>\ y'(x) = f(x)y^2(x)+ g(x)y(x) + h(x)</math>. Sie ist nach dem Mathematiker Jacopo Francesco Riccati benannt, einem italienischen Grafen (1676–1754), der sich intensiv mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste und Methoden zur Reduzierung der Ordnung von Gleichungen entwickelte.
- En matemàtiques, una equació de Ricatti és qualsevol equació diferencial de la forma: <math> y' = q_0(x) + q_1(x) \, y + q_2(x) \, y^2 </math> on q0, q1 i q2 són funcions reals, sovint escollides de forma que siguin contínues en un mateix intèrval. L'equació rep el nom el matemàtic italià Jacopo Francesco Riccati (1676-1754), qui el 1720 la presentà, en una forma lleugerament diferent, al seu amic Giovanni Rizzetti.
- La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica. Corresponde a una ecuación de la forma: <math>\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x)</math> Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos <math> y_1(x)\,\!</math>.
- En mathématiques, une équation de Riccati est une équation différentielle ordinaire de la forme y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2\,</math>. Où <math>q_0\,</math>, <math>q_1\,</math> et <math>q_2\,</math> sont trois fonctions, souvent choisies continues à valeurs réelles sur un intervalle commun mais on les rencontre parfois à valeurs complexes.
- elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük. Ha <math>r(x)\equiv0\, </math>, akkor lineáris, ha <math>h(x)\equiv0\, </math>, akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk.
- Almeno tre tipi di equazioni differenziali sono noti come equazione di Riccati, ed hanno le seguenti forme: <math> 1 \, \, \, u' = P(z) + Q(z)u +R(z)u^2 </math> <math> 2) \, \, \, u' = az^n+bu^2</math> <math> 3) \, \, \, z^2 u + [z^2 - n(n+1)] u = 0</math> Le equazioni prendono il nome dai matematici Jacopo Riccati e suo figlio Vincenzo.
- De Riccativergelijking is een niet-lineaire differentiaalvergelijking van de 1ste orde van de vorm: <math>y'= P(x)y^2 + Q(x)y + R(x),\,</math> waarin P, Q en R continue functies zijn, gedefiniëerd op hetzelfde interval De Riccatie-vergelijking kan in het algemeen niet geïntegreerd worden, nochtans kan men de vergelijking integreren, zodra men over een particuliere oplossing beschikt.
- Równanie różniczkowe Riccatiego – typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego. Równanie postaci: <math>\frac{dy}{dx}=p(x)y^2+q(x)y+r(x)</math>, gdzie <math>p, q, r</math> są funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale <math>(a, b)</math>, nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego.
- A Equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma: em que <math>a_{0}(x) \,</math>, <math>a_{1}(x) \,</math> e <math>a_{2}(x) \,</math> são funções contínuas num intervalo <math>I \,</math> e <math>a_{2}(x) \ne 0</math> em <math>I \,</math>.
- Riccati方程是形式如<math>y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2</math> 的常微分方程。
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