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- Reverse mathematics is a program in mathematical logic that seeks to determine which axioms are required to prove theorems of mathematics. The method can briefly be described as "going backwards from the theorems to the axioms. " This contrasts with the ordinary mathematical practice of deriving theorems from axioms. This program was foreshadowed by results in set theory such as the classical theorem that the axiom of choice and Zorn's lemma are equivalent over ZF set theory. The goal of reverse mathematics, however, is to study ordinary theorems of mathematics rather than possible axioms for set theory. The method was anticipated by the logician Charles Sanders Peirce (1839-1914) who defined "retroduction" as reasoning from consequent to antecedent (Collected Papers. 6.469). Reverse mathematics is carried out using subsystems of second-order arithmetic. Many of its definitions and methods were inspired by work in constructive analysis. The use of second-order arithmetic also allows many techniques from recursion theory to be employed; many results in reverse mathematics have corresponding results in computable analysis. The program was founded by Harvey Friedman in his article "Some systems of second order arithmetic and their use" and abstracts "Systems of second order arithmetic with restricted induction" (I and II). The program was pursued by many researchers in mathematical logic. The primary reference for the subject is by Simpson [1999].
- Die reverse Mathematik, ein Teilgebiet der mathematischen Logik, versucht zu bestimmen, welche Axiome notwendig sind, um bestimmte Theoreme zu beweisen. Reverse Mathematik ist damit gewissermaßen die Umkehrung der gewöhnlichen Mathematik, die versucht, Theoreme aus Axiomen herzuleiten. Die Reverse Mathematik wurde 1974 von Harvey Friedman als mathematisches Projekt aufgebracht. Die Idee dazu entstand aus Ergebnissen der Mengenlehre, unter anderem dem klassischen Theorem, dass das Auswahlaxiom und das Lemma von Zorn über der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre äquivalent sind.
- Les mathématiques à rebours sont une branche des mathématiques qui pourrait être définie simplement par l'idée de “remonter aux axiomes à partir des théorèmes”, contrairement au sens habituel (des axiomes vers les théorèmes). Un peu plus précisément, il s'agit d'évaluer la robustesse logique d'un ensemble de résultats mathématiques usuels en déterminant exactement quels axiomes sont nécessaires et suffisants pour les prouver. Le domaine a été créé par Harvey Friedman dans son article “Some systems of second order arithmetic and their use” (Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, pp. 235–242. Canad. Math. Congress, Montreal, Que. , 1975). Le sujet fut poursuivi entre autres par Stephen G. Simpson et ses étudiants. Simpson a écrit l'ouvrage de référence sur le sujet, Subsystems of Second Order Arithmetic (Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag, Berlin, 1999, ISBN 3-540-64882-8); dont l'introduction a très fortement inspiré cet article.
- La Matematica Inversa è un ramo della matematica che si occupa di determinare quali sono gli assiomi minimi necessari per dimostrare un particolare teorema e più in generale cerca di determinare la teoria base che costituisce la matematica nel suo complesso. Partendo da una base di assiomi debole, si può scoprire che molte proposizioni matematiche sono equivalenti all'assioma aggiunto ad essa per dimostrarlo, come ad esempio il lemma di Zorn rispetto all'assioma della scelta. La maggior parte della matematica può essere formalizzata usando l'aritmetica del second'ordine e nei famosi teoremi dimostrati in ACA0, che è definita nell'aritmetica di Peano anche se questa è sovrabbondante come assiomi necessari per le dimostrazioni. Insiemi più ampi dei numeri reali, compresi tutti gli insiemi di Borel, possono essere codificati per mezzo di numeri reali con le relazioni di appartenenza esprimibili con l'aritmetica del secondo ordine. La differenza primaria fra la matematica classica nella teoria degli insiemi e nell'aritmetica del second'ordine è che in quest'ultima si usano codici degli insiemi invece che gli insiemi stessi (tranne che per gli insiemi di numeri interi). Con una formalizzazione corretta, la maggior parte dei teoremi generali sono effettivamente equivalenti all'assioma canonico minimo richiesto per la loro dimostrazione. La maggior parte dei risultati di base nell'analisi e nell'algebra sono provabili in WKL0, la cui consistenza logica equivale a quella dell'aritmetica ricorsiva primitiva e in cui il repertorio di funzioni dimostrabilmente ricorsive consiste delle funzioni ricorsive primitive. I teoremi aritmetici di base possono essere dimostrati nell'aritmetica di funzione esponenziale (EFA), che oltre agli assiomi di base per somma, moltiplicazione e l'elevamento a potenza, include l'assioma di induzione per le formule limitate da quantificatori. EFA basta, tra l'altro, per dimostrare che la teoria dei campi reali chiusi, e quindi anche la geometria classica, è completa.
- Tersine matematik, belirli bir teoremi ispatlamak için gerekli olan en az sayıdaki aksiyomların belirlenmesiyle ilgili matematik dalıdır. Çoğunlukla taban (kurucu) aksiyomları zayıf olan matematiksel kuramlarda ortaya atılan birçok teoremin teoremi tanıtlamak için gerekli olan (ve taban aksiyomlara eklenen) ek aksiyoma denk olduğu ortaya çıkmaktadır. Tersine matematik teoremleri, modern matematiğin mantıksal yapısının dayandığı ikinci dereceden aritmetiğin (Z2) alt dallarına göre sınıflandırarak hangi teoremin hangi Z2 alt dalında tanıtlanabileceğini inceler. Konusu nedeniyle tersine matematik matematiğin temelleri ve matematiğin felsefesi dallarıyla yakından ilgilidir. Bu dalın başlıca kurucuları arasında Harvey Friedman ve Stephen G. Simpson sayılır.
- 逆数学（Reverse mathematics）是数学的一个分支，大致可以看成是“从定理导向公理”而不是通常的方向(从公理到定理)。更精确一点，它试图通过找出证明所需的充分和必要的公理来评价一批常用数学结果的逻辑有效性。 该领域由Harvey Friedman在其文章“二阶算术系统及其应用（Some systems of second order arithmetic and their use）”中创立。它被Stephen G. Simpson和他的学生以及其他一些人所追随。Simpson写了关于该主题的参考教科书二阶算数的子系统(Subsystems of Second Order Arithmetic);本条目大部分内容取自该书的简介性质的第一章。其他参考读物的细节参看参考。
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- Reverse mathematics is a program in mathematical logic that seeks to determine which axioms are required to prove theorems of mathematics. The method can briefly be described as "going backwards from the theorems to the axioms. " This contrasts with the ordinary mathematical practice of deriving theorems from axioms. This program was foreshadowed by results in set theory such as the classical theorem that the axiom of choice and Zorn's lemma are equivalent over ZF set theory.
- Die reverse Mathematik, ein Teilgebiet der mathematischen Logik, versucht zu bestimmen, welche Axiome notwendig sind, um bestimmte Theoreme zu beweisen. Reverse Mathematik ist damit gewissermaßen die Umkehrung der gewöhnlichen Mathematik, die versucht, Theoreme aus Axiomen herzuleiten. Die Reverse Mathematik wurde 1974 von Harvey Friedman als mathematisches Projekt aufgebracht.
- Les mathématiques à rebours sont une branche des mathématiques qui pourrait être définie simplement par l'idée de “remonter aux axiomes à partir des théorèmes”, contrairement au sens habituel (des axiomes vers les théorèmes). Un peu plus précisément, il s'agit d'évaluer la robustesse logique d'un ensemble de résultats mathématiques usuels en déterminant exactement quels axiomes sont nécessaires et suffisants pour les prouver.
- La Matematica Inversa è un ramo della matematica che si occupa di determinare quali sono gli assiomi minimi necessari per dimostrare un particolare teorema e più in generale cerca di determinare la teoria base che costituisce la matematica nel suo complesso. Partendo da una base di assiomi debole, si può scoprire che molte proposizioni matematiche sono equivalenti all'assioma aggiunto ad essa per dimostrarlo, come ad esempio il lemma di Zorn rispetto all'assioma della scelta.
- Tersine matematik, belirli bir teoremi ispatlamak için gerekli olan en az sayıdaki aksiyomların belirlenmesiyle ilgili matematik dalıdır. Çoğunlukla taban (kurucu) aksiyomları zayıf olan matematiksel kuramlarda ortaya atılan birçok teoremin teoremi tanıtlamak için gerekli olan (ve taban aksiyomlara eklenen) ek aksiyoma denk olduğu ortaya çıkmaktadır.
- 逆数学（Reverse mathematics）是数学的一个分支，大致可以看成是“从定理导向公理”而不是通常的方向(从公理到定理)。更精确一点，它试图通过找出证明所需的充分和必要的公理来评价一批常用数学结果的逻辑有效性。 该领域由Harvey Friedman在其文章“二阶算术系统及其应用（Some systems of second order arithmetic and their use）”中创立。它被Stephen G.
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