| dbpprop:abstract
|
- Reduced mass is the "effective" inertial mass appearing in the two-body problem of Newtonian mechanics. This is a quantity with the unit of mass, which allows the two-body problem to be solved as if it were a one-body problem. Note however that the mass determining the gravitational force is not reduced. In the computation one mass can be replaced by the reduced mass, if this is compensated by replacing the other mass by the sum of both masses. Given two bodies, one with mass <math>m_{1}\!\,</math> and the other with mass <math>m_{2}\!\,</math>, they will orbit the barycenter of the two bodies. The equivalent one-body problem, with the position of one body with respect to the other as the unknown, is that of a single body of mass <math>m_\text{red} = \mu = \cfrac{1}{\cfrac{1}{m_1}+\cfrac{1}{m_2}} = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2},\!\,</math> where the force on this mass is given by the gravitational force between the two bodies. This is just half the harmonic mean of the two masses. This can be proven easily. Use Newton's second law, the force exerted by body 2 on body 1 is <math>F_{12} = m_1 a_1. \!\,</math> The force exerted by body 1 on body 2 is <math>F_{21} = m_2 a_2. \!\,</math> According to Newton's third law, for every action there is an equal and opposite reaction: <math>F_{12} = - F_{21}. \!\,</math> Therefore, <math>m_1 a_1 = - m_2 a_2. \!\,</math> and <math>a_2=-{m_1 \over m_2} a_1. \!\,</math> The relative acceleration between the two bodies is given by <math>a= a_1-a_2 = \left({1+{m_1 \over m_2}}\right) a_1 = {{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}} m_1 a_1 = {F_{12} \over m_\text{red}}. </math> So we conclude that body 1 moves with respect to the position of body 2 as a body of mass equal to the reduced mass. The reduced mass is frequently denoted by the Greek letter <math>\mu. \!\,</math> Applying the gravitational formula we get that the position of the first body with respect to the second is governed by the same differential equation as the position of a very small body orbiting a body with a mass equal to the sum of the two masses, because <math>{m_1 m_2 \over m_\text{red}} = m_1+m_2. \!\,</math> The reduced mass is always less than or equal to the mass of each body. "Reduced mass" may also refer more generally to an algebraic term of the form <math>x_\text{red} = {1 \over {1 \over x_1} + {1 \over x_2}} = {x_1 x_2 \over x_1 + x_2}\!\,</math> that simplifies an equation of the form <math>\ {1\over x_\text{eq}} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}. \!\,</math> The reduced mass is typically used as a relationship between two system elements in parallel, such as resistors; whether these be in the electrical, thermal, hydraulic, or mechanical domains. This relationship is determined by the physical properties of the elements as well as the continuity equation linking them.
- Wenn sich zwei Körper mit Massen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> unter dem Einfluss einer verschwindenden Gesamtkraft bewegen, so lassen sich die Bewegungsgleichungen in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung aufspalten. Dabei bewegt sich der relative Abstand wie ein Teilchen, das die reduzierte Masse <math>m</math> hat, <math>m=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\,\quad{1 \over m}= {1 \over m_1} + {1 \over m_2}\ . </math> Je nach Masse <math>m_1\ge m_2</math> des schwereren Körpers hat die reduzierte Masse Werte zwischen <math>m_2/2</math> und <math>m_2</math>. In wichtigen Fällen (Planetenbewegung, Bewegung eines Elektrons im Coulomb-Feld des Atomkerns) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers um mehrere Größenordnungen. Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens, <math> m=\frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 (1- \frac{m_2}{m_1})\approx m_\mathrm 2\ . </math> In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben µ abgekürzt.
- Redukovaná hmotnost je efektivní hmotnost objevující se v problému dvou těles v Newtonově mechanice. Zavedení redukované hmotnosti umožňuje řešit problém dvou těles jako pohyb jednoho tělesa.
- La masa reducida es un concepto que permite resolver el problema de dos cuerpos de la mecánica como si fuese un problema de un cuerpo. Dados dos cuerpos, uno con masa <math>m_1</math> y el otro con masa <math>m_2</math>, orbitarán el baricentro. El equivalente al problema de un cuerpo, teniendo la posición de un cuerpo respecto al otro como incógnita es la de un cuerpo único con masa inercial <math>m_{red} \equiv \mu \equiv {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}</math> con la fuerza el uno. Aplicando la fórmula de la gravedad se obtiene la posición de los cuerpos como si sólo existiese un único cuerpo en el baricentro de masa <math>{{m_1 m_2} \over {m_{red}}}=m_1+m_2</math> y la masa de los dos cuerpos no afectase. La masa reducida es siempre menor que la masa de cada cuerpo.
- Redusoitu massa on efektiivinen inertiamassa Newtonin kahden kappaleen mekaniikassa. Newtonin II lain mukaan kahden kappaleen suhteellinen liike voidaan kuvata vain yhden massan, redusoidun massan, avulla. Oletetaan kaksi kappaletta, toinen massaltaan <math>m_{1}\!\,</math> ja toinen <math>m_{2}\!\,</math>, jotka kiertävät kappaleiden massakeskipistettä. Vastaava yksiosaisen kappaleen ongelma, jossa kappaleen sijainti toiseen osaan nähden on tuntematon, vastaa yhden kappaleen massaa <math>m_\text{red} = \mu = \cfrac{1}{\cfrac{1}{m_1}+\cfrac{1}{m_2}} = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2},\!\,</math> missä tämä massan voima on annettu kahden kappaleen välisenä vetovoimana. Tämä on vain puolet kahden massan harmonisesta keskiarvosta. Tämä voidaan todistaa helposti. Käytetään Newtonin II lakia. Voima F, jonka kappale 2 aiheuttaa kappaleeseen 1, on <math>F_{12} = m_1 a_1. \!\,</math> Voima, jonka kappale 1 aiheuttaa kappaleeseen 2, on <math>F_{21} = m_2 a_2. \!\,</math> Newtonin III lain mukaan: <math>F_{12} = - F_{21}. \!\,</math> Siksi, <math>m_1 a_1 = - m_2 a_2. \!\,</math> ja <math>a_2=-{m_1 \over m_2} a_1. \!\,</math> Kahden kappaleen välinen suhteellinen kiihtyvyys on annettu <math>a= a_1-a_2 = \left({1+{m_1 \over m_2}}\right) a_1 = {{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}} m_1 a_1 = {F_{12} \over m_\text{red}}. </math> Tästä voidaan päätellä, että kappale 1 liikkuu suhteessa kappaleen 2 paikkaan kuin yhden kappaleen massa suhteessa redusoituun massaan. Redusoitua massaa yleisesti merkitään kreikkalaisella kirjaimella <math>\mu. \!\,</math> Redusoitu massa on aina vähemmän tai yhtä paljon kuin jokaisen kappaleen massa.
- La masse réduite est un concept physique dans le problème à deux corps : deux particules <math>M_1</math> et <math>M_2</math> de masses respectives <math>m_1</math> et <math>m_2</math> en interaction, isolées du reste de l'univers, peuvent être réduites à un point fictif <math>M</math> de masse (réduite) <math>\mu = {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\,</math> Pour plus de détails, consulter le problème à deux corps. Avec n corps, la formule est : <math>\mu = (\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{m_i})^{-1} </math>
- La massa ridotta è un parametro comunemente utilizzato nei problemi a due corpi. Dette M1 ed M2 le masse dei due oggetti in questione, si definisce massa ridotta il rapporto: \mu = \frac{M_1M_2}{M_1+M_2}
- 換算質量（かんさんしつりょう）とは、ニュートン力学の二体問題において用いられる有効な慣性質量のことである。質量の次元を持つ量であり、二体問題を一体問題であるかのように扱うことを可能にする。換算質量はよくギリシャ文字<math>\mu\!\,</math>を使って示される。 換算質量は2つの質量の調和平均の半分であり、常に2物体それぞれの質量以下となる。ただし、重力の大きさを決める重力質量自体が減っているとみなせるわけではない。一方の質量を換算質量で置き換えた場合、他方を2物体の質量の和に置き換えれば、計算上は重力を正しく表せる。
- Masa zredukowana – wielkość służąca do opisu układu oddziałujących ze sobą ciał. W przypadku np. dwóch mas oddziałujących ze sobą grawitacyjnie przyjmuje ona postać: <math> \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}</math> gdzie μ – masa zredukowana, m1, m2 – masy składników. Masa zredukowana pozwala na zapisanie np. energii kinetycznej dwóch ciał w formie <math> E = \frac{1}{2} \mu v^2 </math> czyli tak, jak dla pojedynczego ciała. Układ odniesienia, w którym nowy obiekt – masa zredukowana, porusza się, związany jest z jednym z rzeczywistych ciał. Innymi słowy: środek układu współrzędnych jest zaczepiony w punkcie, w którym znajduje się jedno z ciał. Zatem z punktu widzenia tego właśnie ciała, to druga masa porusza się i to z jej ruchem związana jest prędkość w powyższym wzorze. Z punktu widzenia unieruchomionego w początku układu współrzędnych ciała, drugie ciało porusza się tak jakby jego masą była masa zredukowana.
- Приведённой массой называют эффективную массу возникающую в проблеме двух тел в небесной механике. Она появляется в этой проблеме, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле, движущимся независимо друг от друга. Рассмотрим два тела, одно с массой <math>m_{1}</math> и другое с массой <math>m_{2}</math>. Они будут двигаться по кругу, центр которого находится в центре масс этих двух тел. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой равной: <math>\mu = {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\,</math> где сила действующая на эту массу дается гравитационной силой действующей между этими двумя телами.
- Зведена маса - міра інерційності відносного руху матеріальних точок. Зазвичай позначається літерою μ і має розмірність маси. Зведена маса двох тіл із масами <math> m_1 \, </math> та <math> m_2 \, </math> дорівнює <math> \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}</math>. Зведена маса менша за масу обох тіл.
- 在牛頓力學裏，約化質量 是出現於二體問題的 "有效"慣性質量 。這是一個因次為質量的物理量，使二體問題能夠被變換為一體問題。 假設有兩個物體，質量分別為 <math>m_{1}\!\,</math> 與 <math>m_{2}\!\,</math> ，環繞著兩個物體的質心 運行於各自的軌道。那麼，等價的一體問題中，物體的質量就是約化質量 <math>\mu\!\,</math> ，計算的方程式為 <math>\mu = \cfrac{1}{\cfrac{1}{m_1}+\cfrac{1}{m_2}} = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\!\,</math> 。 這結果可以很容易地證明出來．用牛頓第二定律，物體 2 施於物體 1 的作用力， <math>F_{12} = m_1 a_1 \!\,</math> 。 物體 1 施於物體 2 的作用力， <math>F_{21} = m_2 a_2 \!\,</math> 。 依據牛頓第三定律，作用力與反作用力，大小相等，方向相反： <math>F_{12} = - F_{21}\!\,</math> 。 所以， <math>m_1 a_1 = - m_2 a_2 \!\,</math> 。 兩個物體的相對加速度為 <math>a=a_1 - a_2=({1+{m_1\over m_2}})a_1 =({{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}})m_1 a_1=\cfrac{F_{12}}{\mu}\!\,</math> 。 所以，我們總結，物體 1 的運動，相對於物體 2 ，就好似一個 質量為約化質量 的物體的運動。 約化質量通常用希臘字母 <math>\mu\!\,</math> 來標記。 這兩個物體中，任何一個物體的質量，都小於約化質量。 假若物體 1 的質量超大於物體 2 的質量， <math>m_{1}>>m_2\!\,</math> ，則可以取物體 2 的質量為約化質量的近似值：<math>m_{2}\approx \mu\!\,</math> ；也可以視物體 1 為固定的，只有物體 2 在移動。
|
| rdfs:comment
|
- Reduced mass is the "effective" inertial mass appearing in the two-body problem of Newtonian mechanics. This is a quantity with the unit of mass, which allows the two-body problem to be solved as if it were a one-body problem. Note however that the mass determining the gravitational force is not reduced. In the computation one mass can be replaced by the reduced mass, if this is compensated by replacing the other mass by the sum of both masses.
- Wenn sich zwei Körper mit Massen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> unter dem Einfluss einer verschwindenden Gesamtkraft bewegen, so lassen sich die Bewegungsgleichungen in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung aufspalten.
- Redukovaná hmotnost je efektivní hmotnost objevující se v problému dvou těles v Newtonově mechanice. Zavedení redukované hmotnosti umožňuje řešit problém dvou těles jako pohyb jednoho tělesa.
- La masa reducida es un concepto que permite resolver el problema de dos cuerpos de la mecánica como si fuese un problema de un cuerpo. Dados dos cuerpos, uno con masa <math>m_1</math> y el otro con masa <math>m_2</math>, orbitarán el baricentro.
- Redusoitu massa on efektiivinen inertiamassa Newtonin kahden kappaleen mekaniikassa. Newtonin II lain mukaan kahden kappaleen suhteellinen liike voidaan kuvata vain yhden massan, redusoidun massan, avulla. Oletetaan kaksi kappaletta, toinen massaltaan <math>m_{1}\!\,</math> ja toinen <math>m_{2}\!\,</math>, jotka kiertävät kappaleiden massakeskipistettä.
- La massa ridotta è un parametro comunemente utilizzato nei problemi a due corpi. Dette M1 ed M2 le masse dei due oggetti in questione, si definisce massa ridotta il rapporto: \mu = \frac{M_1M_2}{M_1+M_2}
- Masa zredukowana – wielkość służąca do opisu układu oddziałujących ze sobą ciał. W przypadku np. dwóch mas oddziałujących ze sobą grawitacyjnie przyjmuje ona postać: <math> \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}</math> gdzie μ – masa zredukowana, m1, m2 – masy składników. Masa zredukowana pozwala na zapisanie np. energii kinetycznej dwóch ciał w formie <math> E = \frac{1}{2} \mu v^2 </math> czyli tak, jak dla pojedynczego ciała.
- Приведённой массой называют эффективную массу возникающую в проблеме двух тел в небесной механике. Она появляется в этой проблеме, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле, движущимся независимо друг от друга.
- Зведена маса - міра інерційності відносного руху матеріальних точок. Зазвичай позначається літерою μ і має розмірність маси. Зведена маса двох тіл із масами <math> m_1 \, </math> та <math> m_2 \, </math> дорівнює <math> \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}</math>.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
