| dbpprop:abstract
|
- In crystallography, the reciprocal lattice of a Bravais lattice is the set of all vectors K such that e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1 for all lattice point position vectors R. This reciprocal lattice is itself a Bravais lattice, and the reciprocal of the reciprocal lattice is the original lattice. For an infinite three dimensional lattice, defined by its primitive vectors (\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}}), its reciprocal lattice can be determined by generating its three reciprocal primitive vectors, through the formulae \mathbf{b_{1}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})} \mathbf{b_{2}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}}}{\mathbf{a_{2}} \cdot (\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}})} \mathbf{b_{3}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}}}{\mathbf{a_{3}} \cdot (\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}})}. Using column vector representation of (reciprocal) primitive vectors, the formulae above can be rewritten using matrix inversion \left[\mathbf{b_{1}}\mathbf{b_{2}}\mathbf{b_{3}}\right]^T = 2\pi\left[\mathbf{a_{1}}\mathbf{a_{2}}\mathbf{a_{3}}\right]^{-1}. This method appeals to the definition, and allows generalization to arbitrary dimensions. Curiously, the cross product formula dominates introductory materials on crystallography. The above definition is called the "physics" definition, as the factor of 2 \pi comes naturally from the study of periodic structures. An equivalent definition, the "crystallographer's" definition, comes from defining the reciprocal lattice to be e^{2 \pi i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1 which changes the definitions of the reciprocal lattice vectors to be \mathbf{b_{1}}=\frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})} and so on for the other vectors. The crystallographer's definition has the advantage that the definition of \mathbf{b_{1}} is just the reciprocal magnitude of \mathbf{a_{1}} in the direction of \mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}, dropping the factor of 2 \pi. This can simplify certain mathematical manipulations, and expresses reciprocal lattice dimensions in units of spatial frequency. It is a matter of taste which definition of the lattice is used, as long as the two are not mixed. Each point (hkl) in the reciprocal lattice corresponds to a set of lattice planes (hkl) in the real space lattice. The direction of the reciprocal lattice vector corresponds to the normal to the real space planes, and the magnitude of the reciprocal lattice vector is equal to the reciprocal of the interplanar spacing of the real space planes. The reciprocal lattice plays a fundamental role in most analytic studies of periodic structures, particularly in the theory of diffraction. For Bragg reflections in neutron and X-ray diffraction, the momentum difference between incoming and diffracted X-rays of a crystal is a reciprocal lattice vector. The diffraction pattern of a crystal can be used to determine the reciprocal vectors of the lattice. Using this process, one can infer the atomic arrangement of a crystal. The Brillouin zone is a primitive unit cell of the reciprocal lattice.
- Das reziproke Gitter eines Bravais-Gitters bezeichnet in der Festkörperphysik und der Festkörperchemie den Satz aller Vektoren K, für die gilt <math>e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1</math> bzw. <math>\mathbf{K}\cdot\mathbf{R} = 2 \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}</math> für alle Gittervektoren R des Bravais-Gitters. Das reziproke Gitter ist wiederum ein Bravais-Gitter und das reziproke Gitter des reziproken Gitters ergibt wieder das ursprüngliche Gitter. Aus den Basisvektoren der Elementarzelle des Gitters, den sogenannten primitiven Vektoren, <math>\mathbf{a}_1</math>, <math>\mathbf{a}_2</math> und <math>\mathbf{a}_3</math> erhält man die, das zugehörige reziproke Gitter aufspannenden, primitiven Vektoren <math>\mathbf{b}_1</math>, <math>\mathbf{b}_2</math> und <math>\mathbf{b}_3</math>: <math>\mathbf{b}_1=\frac{2\pi}{V_E} \, \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3</math> <math>\mathbf{b}_2=\frac{2\pi}{V_E} \, \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1</math> <math>\mathbf{b}_3=\frac{2\pi}{V_E} \, \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2</math> mit <math> V_E</math> als dem Volumen der Elementarzelle: <math>V_E=\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)</math> Das reziproke Gitter existiert im reziproken Raum/k-Raum, die Vektoren des reziproken Gitters haben also die Einheit einer inversen Länge. Das Skalarprodukt zwischen primitiven Vektoren aus dem Ortsraum und dem k-Raum ergibt: <math>\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2 \pi\, \delta_{ij}</math> Die Gittervektoren des Orts- und des k-Raums sind jeweils ganzzahlige Linearkombinationen ihrer primitiven Vektoren (Basisvektoren): <math>\mathbf{R}=\sum_{i=1}^{3}n_{i}\mathbf{a}_{i}</math> und <math>\mathbf{K}=\sum_{j=1}^{3}m_{j}\mathbf{b}_{j}</math> mit <math>n_{i},m_{j}\in\mathbb{Z}</math> Somit ist obige Bedingung erfüllt: <math>\mathbf{R}\cdot\mathbf{K}=\sum_{i,j=1}^{3}n_{i}m_{j}\,\mathbf{a}_{i}\cdot\mathbf{b}_{j}=2\pi\sum_{i=1}^{3}n_{i}m_{i}</math>, da <math>\sum_{i=1}^{3}n_{i}m_{i} \in \mathbb{Z}</math> Die Regelmäßigkeit des Kristallgitters führt zu der Regelmäßigkeit des reziproken Gitters. So ist das reziproke Gitter eines primitiv-kubischen Gitters auch ein primitiv-kubisches Gitter. Jedoch ist das reziproke Gitter eines kubisch-flächenzentrierten Gitters ein kubisch-raumzentriertes Gitter und umgekehrt. Dem reziproken Gitter kommt eine wichtige Bedeutung bei Beugungsexperimenten mit Kristallgittern zu. Dabei werden das reziproke Gitter und die Ewaldkugel zur Erklärung des Beugungsbilds herangezogen. Die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters heißt erste Brillouin-Zone.
- Les points ayant des coordonnées entières dans le repère <math>(O, \vec{e^*_1}, \vec{e^*_2},\vec{e^*_3})</math> forment un réseau appelé réseau réciproque.
- 逆格子ベクトル （ぎゃくこうしべくとる Reciprocal lattice vector） とは、物性物理における問題の数学的表記、特に結晶構造の解析やバンド計算等に用いる数学的な概念の一つで、波数の概念の一般化である。逆格子ベクトル[1]の定義は以下の通りである。 構造を調べたい結晶の実空間における基本並進ベクトル（基本単位ベクトル）を{a1,a2,a3}とする。 このとき、この結晶の逆格子空間での基本並進ベクトル（基本単位ベクトル、基本逆格子ベクトル、単に基本ベクトルとも言う）{b1,b2,b3}は、以下のように定義される。 <math> \mathbf{b}_1 = 2 \pi { \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3 \over { \mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3) } } </math> <math> \mathbf{b}_2 = 2 \pi { \mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1 \over { \mathbf{a}_2 \cdot (\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1) } } </math> <math> \mathbf{b}_3 = 2 \pi { \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 \over { \mathbf{a}_3 \cdot (\mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2) } } </math> ここで、・は内積、×は外積である。以上において、a, bには、 <math> \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j = 2 \pi \delta_{ij} </math> という関係がある。{b1,b2,b3}と任意の整数の組m = (m1, m2, m3)によって構成されるベクトルGmが逆格子ベクトルである。 <math> \mathbf{G}_m = m_1 \mathbf{b}_1 + m_2 \mathbf{b}_2 + m_3 \mathbf{b}_3 </math> 逆格子ベクトルGmで表現されるベクトルの終点（(m1, m2, m3)で表される）の集まりが逆格子、そしてそのそれぞれの終点が逆格子点である。 ここで、任意の実格子ベクトルRnと逆格子ベクトルGmには、 <math> \mathbf{G}_m \cdot \mathbf{R}_n = 2 \pi N_{mn} </math> という関係がある。Nmnは適当な整数。 尚、基本並進ベクトルがつくる平行六面体（＝単位胞）の体積は、 <math> \Omega = \mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3) </math> <math> \Omega_G = \mathbf{b}_1 \cdot (\mathbf{b}_2 \times \mathbf{b}_3) = {(2 \pi)^3 \over {\Omega} } </math> となる。Ω：実空間での単位胞の体積。ΩG：逆格子空間での単位胞の体積。
- Обратная решётка — точечная трехмерная решётка в абстрактном обратном пространстве, где расстояния имеют размерность обратной длины. Понятие обратной решётки удобно для описания дифракции рентгеновских лучей, нейтронов и электронов на кристалле. Обратная решётка (обратное пространство, импульсное пространство) является Фурье-образом прямой кристаллической решётки (прямого пространства). Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: кристаллическая решётка и обратная решётка. Можно определить векторы прямой <math>\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}} и обратной <math>\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}} решёток. Дифракционная картина представляет собой карту обратной решётки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. Векторы кристаллической решётки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решётки [длина]<math>^{-1}. Кристаллическая решётка — это решётка в обычном, реальном пространстве; обратная решётка — решётка в пространстве Фурье. В кристаллографии обратная решётка состоит из множества векторов K, таких, что e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1 для всех векторов R, указывающих на положение узлов кристаллический решётки. Для бесконечной трёхмерной решётки, характеризующейся базисными векторами <math> (\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}}), её обратная решётка задаётся тройкой базисных векторов обратной решётки <math> (\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}}), связанных с базисными векторами прямой решетки соотношением <math> \mathbf{a_{j}} \cdot \mathbf{b_{k}}=\mathbf{b_{k}} \cdot \mathbf{a_{j}}=2 \pi \delta_{jk}=\left\{\begin{matrix} 2 \pi, & j=k \\ 0, & j \ne k \end{matrix}\right. и вычисленных по формулам \mathbf{b_{1}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})} \mathbf{b_{2}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}}}{\mathbf{a_{2}} \cdot (\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}})} \mathbf{b_{3}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}}}{\mathbf{a_{3}} \cdot (\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}})} Вышеупомянутое определение называют физическим определением, так как множитель 2π возникает естественно из исследования периодических структур. Эквивалентное кристаллографическое определение возникает, если вектора обраной решётки подчиняются следующему соотношению <math>e^{2 \pi i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1, которое изменяет формулы для нахождения векторов обратной решётки: \mathbf{b_{1}}=\frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})} и аналогично для других векторов. Кристаллографическое определение выгодно тем, что определяет <math>\mathbf{b_{1}} как обратную величину <math>\mathbf{a_{1}} в направлении <math>\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}, без множителя 2π. Это может упростить определенные математические манипуляции и выражает взаимные измерения решетки в единицах пространственной частоты. Это вопрос удобства, какое определение векторов обратной решётки используется, конечно не смешивая их. Обратная решётка используется для определения индексов плоскости. Любой кристаллографической плоскости отвечает набор векторов обратной решетки, при этом коэффициенты разложения кратчайшего вектора по единичным векторам обратной решетки являются индексами плоскости.
- Обернена ґратка - періодична побудова в просторі хвильових векторів, комплементарна до кристалічної ґратки твердого тіла.
- 在結晶學中，布拉菲晶格中的倒晶格，其繞射向量K 與 晶格點位置向量R關係如下。 e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1 布拉菲晶格的倒晶格仍然是一種布拉菲晶格，而倒晶格的倒晶格則就會變回原始晶格。 對三維晶格而言，我們定義基本晶胞 <math> (\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}}) ，可以用下列公式決定倒晶格的晶軸向量<math> (\mathbf{b_{1}}, \mathbf{b_{2}}, \mathbf{b_{3}}) \mathbf{b_{1}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})} \mathbf{b_{2}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}}}{\mathbf{a_{2}} \cdot (\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}})} \mathbf{b_{3}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}}}{\mathbf{a_{3}} \cdot (\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}})} <math>\mathbf{b_{1}}的方向與<math>\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}相同，而量則是<math>\mathbf{b_{1}}的倒數乘以<math>2 \pi。 若利用行向量來表示倒晶格的基本晶胞，上述的公式可以用逆矩陣重新描述 \left[\mathbf{b_{1}}\mathbf{b_{2}}\mathbf{b_{3}}\right]^T = 2\pi\left[\mathbf{a_{1}}\mathbf{a_{2}}\mathbf{a_{3}}\right]^{-1} 上面所描述的定義是"物理"定義，因為週期性的結構，所以係數加上<math>2 \pi。而在晶體學中的定義，倒晶格是依照這個公式<math>e^{2 \pi i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1，使倒晶格向量改變成 \mathbf{b_{1}}=\frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})} 其他二晶軸向量依此類推。此定義的優點是不需要考慮<math>2 \pi這個係數，這可以簡化其在數學上的運用。 每一個在倒晶格中的點(hkl)代表的是在實空間晶格的(hkl)面，而倒晶格中的方向則是實空間方向的垂直向量，而倒晶格向量的長度則是真實空間中平面間距離的倒數。 在動態繞射理論中，倒晶格是一種可以用來分析週期性結構的重要方法。在核繞射與X射線繞射中，因為符合布拉格定律，此倒晶格向量是入射向量與繞射向量的差，繞射圖形上可以決定倒晶格的向量。運用這個程序，可以得之一個晶體的原子排列順序。 布里淵區 是倒晶格的基本單位晶胞。
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
