| dbpedia-owl:abstract
|
- Die Menge der reellen Zahlen ist heute der für Anwendungen der Mathematik wichtigste Zahlenbereich: Eine Vielzahl von (berechneten) physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse können mit reellen Zahlen als Maßzahl angegeben werden. Anschaulich entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten bijektiv zugeordnet. Reelle Zahlen sind eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen. Diese Erweiterung ist nötig, weil die rationalen Zahlen für manche Längen keine Maßzahl bereitstellen, zum Beispiel für die Diagonale eines Quadrates mit der Seitenlänge 1 oder für die Teilstrecken in einem Pentagramm mit der Seitenlänge 1. Schon die Pythagoräer erkannten die Notwendigkeit, den Zahlbegriff über die Längenverhältnisse (die durch rationale Zahlen beschrieben werden) hinaus zu erweitern. Erst die moderne Mathematik hat aber den Bereich der reellen Zahlen definiert und damit dem Grenzwertbegriff und der gesamten Analysis ein festes Fundament gegeben. Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol verwendet. Diese werden unterschieden in: Rationale Zahlen - Ganze Zahlen - . Natürliche Zahlen - (ohne 0): oder (mit 0): (auch). Irrationale Zahlen - = die Menge aller Elemente von, die nicht in liegen. Diese lassen sich wiederum unterteilen in: irrationale algebraische Zahlen und transzendente Zahlen. Darstellen lassen sich reelle Zahlen beispielsweise als (unendliche oder abbrechende) Dezimalzahlen.
- En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
- Reaaliluvut voidaan kuvailla havainnollisesti eri tavoin: yksi tapa on sanoa, että niihin luetaan sekä rationaaliluvut (kuten 2 tai 2/3) että irrationaaliluvut (kuten tai neliöjuuri 2). Toinen tapa on taas havainnollistaa reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Matematiikassa tarvitaan kuitenkin täsmällistä määritelmää.
- In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come π = 3,141592... I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi (come 12), i numeri razionali (come -22/7) e i numeri irrazionali algebrici e trascendenti. Un numero reale razionale presenta uno sviluppo decimale finito o periodico; ad esempio, 1/3=0,333333... è razionale. L'insieme dei numeri reali viene generalmente indicato con la lettera R o . I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale. La definizione formale dei numeri reali ha rappresentato uno degli sviluppi più significativi del XIX secolo. Tra le definizioni maggiormente adottate oggi figurano le classi di equivalenza di successioni di Cauchy di numeri razionali, le partizioni di Dedekind, una ridefinizione del termine "rappresentazione decimale" e una definizione assiomatica come unico campo archimedeo completo ordinato. I termini reale e immaginario sono stati introdotti ne La Géometrie di René Descartes, relativamente allo studio delle radici delle equazioni. Per estensione diversi autori hanno cominciato a parlare di numeri reali e numeri immaginari. Nel 1874 appare un articolo fondamentale di Georg Cantor nel quale l'autore prende in considerazione l'insieme dei numeri reali dimostrando che tale insieme non è numerabile.
- 数学における実数（じっすう、real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は（その形式的な定義が19世紀に達成される前から）ものの大きさを表す数の体系として陰に使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表す言葉として導入されたものである。
- De reële getallen zijn de getallen die op eenduidige wijze overeenkomen met punten op een rechte. Deze rechte wordt de getallenas, getallenlijn, getallenrechte of reële rechte genoemd. Zo kunnen we ons intuïtief de verzameling van de reële getallen, die wordt genoteerd als en soms het continuüm wordt genoemd, voorstellen. De verzameling bestaat uit de rationale en de irrationale getallen. Een voorbeeld van een irrationaal getal is het getal (de vierkantswortel van twee). Een ander voorbeeld is het getal π, dat niet alleen irrationaal, maar zelfs een transcendent getal is. Het bewijs dat irrationale getallen bestaan creëerde de noodzaak om de verzameling van de rationale getallen uit te breiden. Rationale getallen kunnen behalve als gewone breuk, ook geschreven worden als decimale breuk, met eindig veel decimalen of met repeterende decimalen. Een irrationaal getal kan vanwege de verderop genoemde eigenschap dat volledig is, willekeurig dicht benaderd worden door een rationaal getal, en dus met iedere graad van nauwkeurigheid benaderend geschreven worden als een decimale breuk. Het is zo mogelijk een (abstracte) voorstelling van de reële getallen te maken als decimale breuken, met in het geval van de irrationale getallen oneindig veel decimalen. Zo weten we precies wat de getallen en π zijn, maar van hun decimale voorstelling kennen we uiteraard maar eindig veel decimalen. De verzameling van de reële getallen kan men voorzien van een optelling en een vermenigvuldiging zodat men een lichaam (Ned. term) of veld (Be. term) verkrijgt. Eenvoudig gezegd betekent dit dat men op de voor de hand liggende manier met de getallen kan rekenen (zoals π+145 = 145 + π). Er zijn veeltermvergelijkingen in één veranderlijke, zoals de vierkantsvergelijking, die geen (reële) oplossingen hebben ofwel irreducibel (niet-reduceerbaar) zijn. Men zegt dat het lichaam niet algebraïsch gesloten is. Er bestaat echter een uitbreiding van, namelijk de complexe getallen, waarin elke algebraïsche vergelijking een oplossing heeft. De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zelf, indien het niet negatief is, of anders zijn tegengestelde . De absolute waarde is een norm op, dus de functie bepaalt een afstandsfunctie of metriek op . Als metrische ruimte is volledig.
- In mathematics, a real number is a value that represents a quantity along a continuum, such as -5, 4/3 (a rational number that is not an integer), 8.6 (a rational number given by a finite decimal representation), √2 and π. Real numbers can be thought of as points on an infinitely long line called the number line or real line, where the points corresponding to integers are equally spaced. Any real number can be determined by a possibly infinite decimal representation (such as that of π above), where the consecutive digits indicate into which tenth of an interval given by the previous digits the real number belongs to. The real line can be thought of as a part of the complex plane, and correspondingly, complex numbers include real numbers as a special case. These descriptions of the real numbers are not sufficiently rigorous by the modern standards of pure mathematics. The discovery of a suitably rigorous definition of the real numbers — indeed, the realization that a better definition was needed — was one of the most important developments of 19th century mathematics. The currently standard axiomatic definition is that real numbers form the unique complete totally ordered field (R,+,·,<), up to isomorphism, whereas popular constructive definitions of real numbers include declaring them as equivalence classes of Cauchy sequences of rational numbers, Dedekind cuts, or certain infinite "decimal representations", together with precise interpretations for the arithmetic operations and the order relation. These definitions are equivalent in the realm of classical mathematics.
- Reelle tall betegnes i matematikken R eller, og er mengden av de tall som tilsvarer alle punkter på en uendelig lang tallinje. De reelle tallene inkluderer alle rasjonale tall og alle irrasjonale tall. Se også: Irrasjonale tall Imaginære tall
- Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m. in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych. Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych. Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych.
- O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de fracções associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito. Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!
- De reella talen är de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen eller . De reella talen skrivs ofta som avkortade decimalutvecklingar, det vill säga som approximationer, till exempel 3,3333... , 1,4142... där "... " indikerar att flera siffror följer för en mera precis bestämning av talet. De naturliga talen (icke-negativa heltal, mängden) är en delmängd av de reella talen där decimaldelen är noll. De rationella talen (bråktalen, mängden) är en delmängd av de reella talen, där decimalföljden har ett periodiskt mönster. Till exempel är 1/3 = 0,333... , 1/11 = 0,09090909... , 2/7 = 0,285714285714... . De kan skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. Reella tal som inte är rationella kallas irrationella tal. Exempel på reella tal är 0, 1 (naturliga), 1/2 (rationellt), √2 (irrationellt), e, π.
- Веще́ственное, или действи́тельное число — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел. Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии — чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого понятия . Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере была создана строгая теория вещественных чисел. С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле. Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R («полужирное R»), или (англ. blackboard bold «R») от лат. realis — действительный.
- 实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。實數包括所有的有理數和無理數，比如0、 -4.8、、 等。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1cm的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為： 任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。 正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念，這裡的數是指自然數（1, 2, 3 ... ），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在「縫隙」這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊；見第一次數學危機。 從古希臘一直到十七世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虚数概念的引入，為加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，儘管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數進行了嚴格處理。
- En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques. L'ensemble des nombres réels, noté R, est l'union de l'ensemble des nombres rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction) et de l'ensemble des nombres dont le développement décimal est infini non périodique, tels la racine carrée de 2 et π. Ces derniers sont appelés nombres irrationnels. Parmi les nombres réels on distingue également les nombres algébriques et les nombres transcendants. Le terme de nombre réel apparaît chez Georg Cantor en 1883 dans ses publications sur les fondements de la théorie des ensembles. C'est un rétronyme, donné en réponse à la découverte des nombres imaginaires. Cependant, il est déjà présent dans un livre de Prestet et Malebranche en 1689 et peu après, en 1697, dans un livre de Thomas Fantet de Lagny. Selon le site Earliest Known Uses of some of the words in mathematics, l'adjectif réel fut utilisé pour la première fois en 1637 par René Descartes, en opposition à racines imaginaires. D'autres sens apparaissent également dans des traités de théologie/philosophie à la même époque. Les nombres réels sont au centre de la discipline mathématique de l'analyse réelle, à laquelle ils doivent une grande part de leur histoire. La notation originale de l'ensemble des nombres réels est . Les lettres grasses étant difficiles à écrire sur un tableau ou une feuille, on utilise la notation, et en écriture manuscrite on ne double généralement que la barre verticale du R.
|
| rdfs:comment
|
- Reaaliluvut voidaan kuvailla havainnollisesti eri tavoin: yksi tapa on sanoa, että niihin luetaan sekä rationaaliluvut (kuten 2 tai 2/3) että irrationaaliluvut (kuten tai neliöjuuri 2). Toinen tapa on taas havainnollistaa reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Matematiikassa tarvitaan kuitenkin täsmällistä määritelmää.
- 数学における実数（じっすう、real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は（その形式的な定義が19世紀に達成される前から）ものの大きさを表す数の体系として陰に使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表す言葉として導入されたものである。
- Reelle tall betegnes i matematikken R eller, og er mengden av de tall som tilsvarer alle punkter på en uendelig lang tallinje. De reelle tallene inkluderer alle rasjonale tall og alle irrasjonale tall. Se også: Irrasjonale tall Imaginære tall
- Die Menge der reellen Zahlen ist heute der für Anwendungen der Mathematik wichtigste Zahlenbereich: Eine Vielzahl von (berechneten) physikalischen Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur und Masse können mit reellen Zahlen als Maßzahl angegeben werden. Anschaulich entspricht die Menge der reellen Zahlen der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Man sagt: Die reellen Zahlen sind diesen Punkten bijektiv zugeordnet. Reelle Zahlen sind eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen.
- En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
- In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come π = 3,141592... I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi (come 12), i numeri razionali (come -22/7) e i numeri irrazionali algebrici e trascendenti. Un numero reale razionale presenta uno sviluppo decimale finito o periodico; ad esempio, 1/3=0,333333...
- De reële getallen zijn de getallen die op eenduidige wijze overeenkomen met punten op een rechte. Deze rechte wordt de getallenas, getallenlijn, getallenrechte of reële rechte genoemd. Zo kunnen we ons intuïtief de verzameling van de reële getallen, die wordt genoteerd als en soms het continuüm wordt genoemd, voorstellen. De verzameling bestaat uit de rationale en de irrationale getallen. Een voorbeeld van een irrationaal getal is het getal (de vierkantswortel van twee).
- Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m. in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych. Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych.
- O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.
- In mathematics, a real number is a value that represents a quantity along a continuum, such as -5, 4/3 (a rational number that is not an integer), 8.6 (a rational number given by a finite decimal representation), √2 and π. Real numbers can be thought of as points on an infinitely long line called the number line or real line, where the points corresponding to integers are equally spaced.
- Веще́ственное, или действи́тельное число — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин.
- De reella talen är de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen eller . De reella talen skrivs ofta som avkortade decimalutvecklingar, det vill säga som approximationer, till exempel 3,3333... , 1,4142... där "... " indikerar att flera siffror följer för en mera precis bestämning av talet.
- 实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。實數包括所有的有理數和無理數，比如0、 -4.8、、 等。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。 根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1cm的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為： 任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。 正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念，這裡的數是指自然數（1, 2, 3 ...
- En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques. L'ensemble des nombres réels, noté R, est l'union de l'ensemble des nombres rationnels (qui peuvent s'écrire sous forme de fraction) et de l'ensemble des nombres dont le développement décimal est infini non périodique, tels la racine carrée de 2 et π. Ces derniers sont appelés nombres irrationnels.
|
