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- Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen bezeichnet. Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Die genaue mathematische Definition beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen. Die rationalen Zahlen werden - insbesondere in der Schulmathematik - auch als Bruchzahlen bezeichnet, während der Ausdruck Bruch (Dezimalbruch, Binärbruch, gewöhnlicher Bruch, gemischter Bruch ... ) für bestimmte Schreibweisen einer rationalen Zahl verwendet wird.
- En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la [fracción irreducible]. Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3). El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a y b son números enteros (con «a» distinto de cero). El conjunto de los números racionales se denota por, que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios. Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales.
- Rationaalilukujen joukko on reaalilukujen joukon osajoukko, jonka jäsenet voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna muotoa . Tässä lukua m kutsutaan osoittajaksi ja lukua n nimittäjäksi (n≠0). Murtoluku on siis kaikille rationaaliluvuille yhteinen esitysmuoto. Samaa rationaalilukua voi esittää useilla erilaisilla murtoluvuilla; yhtäsuuruuden k/l = m/n välttämättömänä ja riittävänä ehtona on yhtälö kn = lm edellyttäen ettei ln ole 0 (ristiin kertominen). Kaikki kokonaisluvut kuuluvat rationaalilukujen joukkoon, sillä kun n=1, niin m/n=m. Rationaalilukujen joukkoa merkitään merkilllä . Se on lukukunta eli reaalilukujen ja samalla myös kompleksilukujen kunnan ℂ sellainen osajoukko, joka sisältää kaikkien alkioidensa käänteisalkiot ja on suljettu yhteen- ja kertolaskun suhteen. on kaikkein suppein lukukunta. Reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, sanotaan irrationaaliluvuiksi. Jos murtoluvun nimittäjällä on vähintään kaksi erisuurta positiivista alkutekijää, niin murtoluku voidaan hajottaa osamurtoluvuiksi, joiden nimittäjät ovat yksinkertaisempia. Esimerkiksi: . Nollan ja yhden välillä oleva rationaaliluku voidaan hajottaa myös niin sanotuiksi egyptiläisiksi murtoluvuiksi. Rationaalilukuja on numeroituvasti ääretön määrä.
- In matematica, un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione a/b, di cui a è detto il numeratore e b il denominatore. Sono ad esempio numeri razionali i seguenti: I numeri razionali formano un campo, indicato con Q oppure . In gran parte dell'analisi matematica i numeri razionali sono visti come particolari numeri reali, nel senso che esiste un isomorfismo tra i numeri reali dotati di parte decimale finita o periodica e i numeri razionali, il quale preserva la struttura di come (sotto)-campo di; i numeri reali che non sono razionali sono detti irrazionali. Ad esempio, sono irrazionali i seguenti: Nessuno di questi numeri può infatti essere descritto come rapporto di due numeri interi. I numeri e indicano rispettivamente la costante di Nepero e pi greco. Mentre oggi spesso l'insieme dei numeri razionali è visto come sottoinsieme di quello dei numeri reali, storicamente e naturalmente i razionali sono stati introdotti prima dei reali, per permettere l'operazione di divisione fra numeri interi. I numeri reali si possono introdurre, quando si sanno trattare i numeri razionali servendosi dei numeri razionali in vari modi: mediante le sezioni di Dedekind, con una costruzione tramite successioni di Cauchy, con serie convergenti di numeri razionali. In fisica, il risultato di una misurazione è solitamente esprimibile come numero razionale, dipendente dalla precisione dello strumento.
- 有理数（ゆうりすう、rational number）とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a / b という分数で表せる数のことをいう。原義は λογος （ratio = 比）の有る数という意味であり、a / b は b に対して a の示す比の値（a が b に占める割合）を意味する。したがって、「有比数」と訳した方がよかったという意見もある。 分数 a/b と (a×m)/(b×m) は同一の有理数を指す。このように一つの有理数に対して複数の表記があるが、通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。有理数集合は商集合の最も典型的で身近な例となっている。 有理数全体のつくる集合はしばしば、商を意味する quotient の頭文字をとり、太字の Q で表す。手書きするときなどには中抜きの太字にするため、書籍等で黒板太字と言われる書体で を使うこともある。 であって、Z は整数の全体をあらわす集合であり、また、 は「a と b は共通因数を持たない」という条件を表す。もしくは整数集合の直積の商集合として定義することもできる
- Een rationaal getal is in de wiskunde het quotiënt van twee gehele getallen waarvan het tweede niet nul is. De verzameling van rationale getallen wordt meestal genoteerd als . De rationale getallen maken deel uit van de reële getallen, en omvatten de gehele getallen . Elk geheel getal is dus ook een rationaal getal, en elk rationaal getal is ook een reëel getal. Voorbeelden van rationale getallen zijn: 1/2, 2/7, 9/4, -2/5, -5/2. Ook elk geheel getal is rationaal, bijvoorbeeld: 1 = 1/1 = 3/3, 14 = 14/1 = 56/4, etc. Elk decimaal getal met eindig veel decimalen is een rationaal getal: Niet elk rationaal getal is echter te schrijven als decimaal getal met eindig veel decimalen. Zo is bijvoorbeeld: 1/3 = 0,3333... en 15/7 = 2,142857 142857 142857 142857... , beide decimale getallen met oneindig veel decimalen, echter wel met een zich herhalend patroon. Men spreekt van repeterende (decimale) breuk. Het kan bewezen worden dat elk rationaal getal in het decimale stelsel "achter de komma" een eindig aantal cijfers heeft of een oneindig aantal cijfers achter de komma waarin zich een patroon herhaalt. De verzameling van de rationale getallen is niet eindig, maar wel aftelbaar. De rationale getallen liggen dicht op de reële rechte, wat betekent dat elk punt op die rechte willekeurig dicht benaderd kan worden door een rationaal getal, maar er zijn ook oneindig veel 'gaten', want tussen elk tweetal rationale getallen ligt een irrationaal getal. Getallen als de wortel uit 2, π en e maken geen deel uit van de verzameling rationale getallen, omdat ze niet als een breuk van twee gehele getallen geschreven kunnen worden. Deze getallen zijn irrationale getallen.
- In mathematics, a rational number is any number that can be expressed as the quotient or fraction a/b of two integers, with the denominator b not equal to zero. Since b may be equal to 1, every integer is a rational number. The set of all rational numbers is usually denoted by a boldface Q, which stands for quotient. The decimal expansion of a rational number always either terminates after finitely many digits or begins to repeat the same finite sequence of digits over and over. Moreover, any repeating or terminating decimal represents a rational number. These statements hold true not just for base 10, but also for binary, hexadecimal, or any other integer base. A real number that is not rational is called irrational. Irrational numbers include √2, π, and e. The decimal expansion of an irrational number continues forever without repeating. Since the set of rational numbers is countable, and the set of real numbers is uncountable, almost every real number is irrational. The rational numbers can be formally defined as the equivalence classes of the quotient set Z × Z - {0} / ~, where the cartesian product Z × Z - {0} is the set of all ordered pairs (m,n) where m and n are integers, n is not zero (n ≠ 0), and "~" is the equivalence relation defined by (m1,n1) ~ (m2,n2) if, and only if, {{{1}}} In abstract algebra, the rational numbers together with certain operations of addition and multiplication form a field. This is the archetypical field of characteristic zero, and is the field of fractions for the ring of integers. Finite extensions of Q are called algebraic number fields, and the algebraic closure of Q is the field of algebraic numbers. In mathematical analysis, the rational numbers form a dense subset of the real numbers. The real numbers can be constructed from the rational numbers by completion, using either Cauchy sequences, Dedekind cuts, or infinite decimals. Zero divided by any other integer equals zero, therefore zero is a rational number (but division by zero is undefined).
- Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som en brøk hvor telleren og nevneren er heltall. Mengden av rasjonale tall noteres i matematikken som Q eller . Disse tallene har en endelig eller periodisk desimalutvikling, f. eks: Mengden av rasjonale tall er tellbar uendelig, slik som mengden heltall er. Se også Irrasjonale tall Imaginære tall
- Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem . Wobec tego: . Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m. in. liczby całkowite i liczby naturalne. Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób: Niech w zbiorze par liczb całkowitych, których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy . W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania, . Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka, bądź jeśli, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą .
- Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros. O conjunto dos números racionais (representado por, o uso da letra é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0) é definido por: Lê-se Q igual a "a" sobre (ou dividido por) "b", tal que "a" pertence ao conjunto dos números inteiros e "b" pertence ao conjunto dos numeros inteiros não nulos. Onde é o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números inteiros excluindo o 0. Exemplos de números racionais:;;;;; . Os números racionais opõem-se aos números irracionais . Para representar o conjunto dos racionais positivos podemos usar Q + e para representar o conjunto dos números racionais negativos podemos utilizar Q-. O número zero também faz parte do conjunto dos racionais. Há quatro formas de se apresentarem os números racionais: Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos: Fração:; Número misto: 5; Números decimais de escrita finita: 8,35; Dízimas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965); nesta notação os números entre parênteses repetem-se ao infinito.
- Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое несократимой обыкновенной дробью, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления на, даже если нацело разделить не удаётся. В реальной жизни рациональные числа используются для счёта частей некоторых целых, но делимых объектов, например, тортов или других продуктов, разрезаемых на несколько частей, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.
- Rationella tal, är i matematiken tal som kan skrivas som en kvot av två heltal: I vardagligt språk kallas ett sådant tal för bråktal och heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare. Tillsammans utgör de rationella talen en mängd som vanligtvis betecknas med bokstaven Q eller . Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar till ekvationer, där är ett heltal och är ett heltal som inte är lika med talet noll.
- 数学上，有理数是一个整数a和一個非零整數b的比（ratio），通常写作a/b，故又稱作分數。希臘文稱為λογος，原意為「成比例的數」（rational number），但中文翻譯不恰當，逐漸變成「有道理的數」。不是有理數的實數遂稱為無理數。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。
- Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers sont souvent notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On appelle a le numérateur et b le dénominateur. Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2=2/4=3/6=etc. Mais il existe une forme privilégiée, quand a et b n'ont pas de diviseurs communs autre que 1. Tout nombre rationnel non nul possède exactement une seule forme de ce type avec un dénominateur positif. On parle alors de fraction irréductible. Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Cela est vrai dans n'importe quelle base. Réciproquement, si un nombre possède un développement décimal périodique dans au moins une base, alors c'est un nombre rationnel. Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres rationnels est un corps commutatif, noté, que l'on peut noter formellement: où est l'anneau des entiers.
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- 有理数（ゆうりすう、rational number）とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a / b という分数で表せる数のことをいう。原義は λογος （ratio = 比）の有る数という意味であり、a / b は b に対して a の示す比の値（a が b に占める割合）を意味する。したがって、「有比数」と訳した方がよかったという意見もある。 分数 a/b と (a×m)/(b×m) は同一の有理数を指す。このように一つの有理数に対して複数の表記があるが、通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。有理数集合は商集合の最も典型的で身近な例となっている。 有理数全体のつくる集合はしばしば、商を意味する quotient の頭文字をとり、太字の Q で表す。手書きするときなどには中抜きの太字にするため、書籍等で黒板太字と言われる書体で を使うこともある。 であって、Z は整数の全体をあらわす集合であり、また、 は「a と b は共通因数を持たない」という条件を表す。もしくは整数集合の直積の商集合として定義することもできる
- Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som en brøk hvor telleren og nevneren er heltall. Mengden av rasjonale tall noteres i matematikken som Q eller . Disse tallene har en endelig eller periodisk desimalutvikling, f. eks: Mengden av rasjonale tall er tellbar uendelig, slik som mengden heltall er. Se også Irrasjonale tall Imaginære tall
- Rationella tal, är i matematiken tal som kan skrivas som en kvot av två heltal: I vardagligt språk kallas ett sådant tal för bråktal och heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare. Tillsammans utgör de rationella talen en mängd som vanligtvis betecknas med bokstaven Q eller . Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden bestående av alla lösningar till ekvationer, där är ett heltal och är ett heltal som inte är lika med talet noll.
- 数学上，有理数是一个整数a和一個非零整數b的比（ratio），通常写作a/b，故又稱作分數。希臘文稱為λογος，原意為「成比例的數」（rational number），但中文翻譯不恰當，逐漸變成「有道理的數」。不是有理數的實數遂稱為無理數。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。
- Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis (lateinisch ratio) zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen bezeichnet. Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält. Die genaue mathematische Definition beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen.
- En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional. En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la [fracción irreducible].
- Rationaalilukujen joukko on reaalilukujen joukon osajoukko, jonka jäsenet voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä eli murtolukuna muotoa . Tässä lukua m kutsutaan osoittajaksi ja lukua n nimittäjäksi (n≠0). Murtoluku on siis kaikille rationaaliluvuille yhteinen esitysmuoto. Samaa rationaalilukua voi esittää useilla erilaisilla murtoluvuilla; yhtäsuuruuden k/l = m/n välttämättömänä ja riittävänä ehtona on yhtälö kn = lm edellyttäen ettei ln ole 0 (ristiin kertominen).
- In matematica, un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione a/b, di cui a è detto il numeratore e b il denominatore. Sono ad esempio numeri razionali i seguenti: I numeri razionali formano un campo, indicato con Q oppure .
- Een rationaal getal is in de wiskunde het quotiënt van twee gehele getallen waarvan het tweede niet nul is. De verzameling van rationale getallen wordt meestal genoteerd als . De rationale getallen maken deel uit van de reële getallen, en omvatten de gehele getallen . Elk geheel getal is dus ook een rationaal getal, en elk rationaal getal is ook een reëel getal. Voorbeelden van rationale getallen zijn: 1/2, 2/7, 9/4, -2/5, -5/2.
- Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem . Wobec tego: . Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m. in. liczby całkowite i liczby naturalne.
- Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros.
- In mathematics, a rational number is any number that can be expressed as the quotient or fraction a/b of two integers, with the denominator b not equal to zero. Since b may be equal to 1, every integer is a rational number. The set of all rational numbers is usually denoted by a boldface Q, which stands for quotient. The decimal expansion of a rational number always either terminates after finitely many digits or begins to repeat the same finite sequence of digits over and over.
- Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое несократимой обыкновенной дробью, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления на, даже если нацело разделить не удаётся.
- Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers sont souvent notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On appelle a le numérateur et b le dénominateur. Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2=2/4=3/6=etc. Mais il existe une forme privilégiée, quand a et b n'ont pas de diviseurs communs autre que 1.
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