| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, the rank–nullity theorem of linear algebra, in its simplest form, states that the rank and the nullity of a matrix add up to the number of columns of the matrix. Specifically, if A is an m-by-n matrix over the field F, then rank A + nullity A = n. This applies to linear maps as well. Let V and W be vector spaces over the field F and let T : V → W be a linear map. Then the rank of T is the dimension of the image of T, the nullity the dimension of the kernel of T, and we have dim (im T) + dim (ker T) = dim V or, equivalently, rank T + nullity T = dim V. This is in fact more general than the matrix statement above, because here V and W may even be infinite-dimensional. One can refine this statement (via the splitting lemma or the below proof) to be a statement about an isomorphism of spaces, not just dimensions: in addition to: <math>\dim \operatorname{im}\,T + \dim \ker T = \dim V</math> one in fact also has: <math>\operatorname{im}\,T \oplus \ker T \simeq V. </math> More generally, one can consider the image, kernel, coimage, and cokernel, which are related by the fundamental theorem of linear algebra.
- Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen der Dimension des Bildes <math>\mathrm{im}(f)</math> und der des Kerns <math>\mathrm{ker}(f)</math> einer linearen Abbildung <math>f</math> von einem Vektorraum <math>V</math> in einen Vektorraum <math>W</math>: <math>\dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f)</math> Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension. Er ist aber vor allem für endlich-dimensionale Vektorräume von Bedeutung, da man in diesem Fall etwa die Dimension des Bildraums als <math>\dim \mathrm{im}(f) =\dim V - \dim \mathrm{ker}(f) </math> berechnen kann. Genauer gilt im endlichdimensionalen Fall: Ist <math>\{b_1,\ldots,b_k\}</math> eine Basis von <math>\mathrm{ker}(f)</math>, die durch <math>\{a_1,\ldots,a_d\}</math> zu einer Basis von <math>V</math> ergänzt wird, dann ist <math>\{f(a_1),\ldots,f(a_d)\}</math> eine Basis von <math>\mathrm{im}(f)</math>. Verwendet man die Bezeichnungen Defekt (<math>\mathrm{def}</math>) für die Dimension des Kerns und Rang (<math>\mathrm{rg}</math>) für die Dimension des Bildes, lautet der Satz: <math>\dim V = \mathrm{def}(f) + \mathrm{rg}(f)</math> Eine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage, dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines Kettenkomplexes gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist. Siehe dazu Kettenkomplex.
- En mathématiques, le théorème du rang de l'algèbre linéaire, lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie. Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces vectoriels sur un corps <math>K</math>. On suppose <math>E</math> de dimension finie. Soit <math>f\in\mathcal{L}(E,F)</math> une application linéaire. Alors l'image de <math>f</math> est de dimension finie et <math>{\rm rg } f+{\rm dim Ker }f={\rm dim }E\,</math>, où <math>{\rm rg }f</math> désigne la dimension de l'image de <math>f</math>. Pour démontrer le théorème, on peut partir d'une base du noyau de <math>f</math>, et la compléter en une base de <math>E</math>. Il n'est alors pas difficile de montrer que <math>f</math> envoie bijectivement cette famille de vecteurs « nouvellement » ajoutés sur une base de l'image de <math>f</math>.
- A dimenziótétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá. Ha φ lineáris leképezés egy n dimenziós térből valamely másikba hat, Ker φ = { v | φv = 0 } a φ magtere és Im φ a leképezés értékkészlete, mint altér, akkor dim Ker φ + dim Im φ = n Ugyanazon terek között ható két leképezés közül, amelyik megtérdimenziója nagyobb, annak a képtérdimenziója kisebb. A tétel a dimenziók szerepeltetése nélkül tovább általánosítható nem feltétlenül véges dimenziós V1 térre is, a következő formában: Ker φ ⊕ Im φ ≅ V1 A tétel kapcsotban van az első izomorfizmustétellel és az Abel-csoportok közötti morfizmusok dekompozíciós tételével.
- In matematica, il teorema del rango (detto anche teorema di nullità più rango) dell'algebra lineare, nella sua forma più semplice, mette in relazione il rango e la nullità di una matrice con il numero di colonne della matrice. Nello specifico, se <math>A</math> è una matrice <math>m\times n</math> allora <math>\operatorname {rk}(A) + \operatorname{null}(A) = n. \,\!</math> Nella sua forma più generale, il teorema vale nel contesto delle trasformazioni lineari fra spazi vettoriali. Data una applicazione lineare <math>f:V\to W\,\!</math> fra spazi vettoriali, vale la relazione <math>\dim \operatorname{Im}(f) + \dim \operatorname{Ker}(f) = n </math> dove <math>\textrm{Im}(f)</math> e <math>\textrm{Ker}(f)</math> sono rispettivamente l'immagine e il nucleo di <math>f</math> e <math>n</math> è la dimensione di <math>V</math>. Il teorema del rango è a volte chiamato teorema della dimensione ed è un risultato fondamentale in algebra lineare.
- 在线性代数中，秩-零化度定理给出了一个线性变换或一个矩阵的秩(rank)和零化度 (nullity) 之间的关系。对一个元素在域 F 中的<math>m \cdot n</math>矩阵，有： rank A + nullity A = n 同样的，对于一个从 F 线性空间 V 射到 F 线性空间 W 的线性变换 T ：T : V → W ， T 的秩是它的象的维度，T 的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有： dim (im T) + dim (ker T) = dim V 也就是： rank T + nullity T = dim V 实际上定理在更广的范围内也成立，因为V 和 F 可以是无限维的。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, the rank–nullity theorem of linear algebra, in its simplest form, states that the rank and the nullity of a matrix add up to the number of columns of the matrix. Specifically, if A is an m-by-n matrix over the field F, then rank A + nullity A = n. This applies to linear maps as well. Let V and W be vector spaces over the field F and let T : V → W be a linear map.
- Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra.
- En mathématiques, le théorème du rang de l'algèbre linéaire, lie le rang et la dimension du noyau d'une application linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie. Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces vectoriels sur un corps <math>K</math>. On suppose <math>E</math> de dimension finie. Soit <math>f\in\mathcal{L}(E,F)</math> une application linéaire.
- A dimenziótétel a lineáris algebrában alapvetően a véges dimenziós terek között ható leképezések magterének és képterének komplementer jellegére mutat rá.
- In matematica, il teorema del rango (detto anche teorema di nullità più rango) dell'algebra lineare, nella sua forma più semplice, mette in relazione il rango e la nullità di una matrice con il numero di colonne della matrice. Nello specifico, se <math>A</math> è una matrice <math>m\times n</math> allora <math>\operatorname {rk}(A) + \operatorname{null}(A) = n.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
