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- Pythagorean tuning is a system of musical tuning in which the frequency relationships of all intervals are based on the ratio 3:2. Its name comes from medieval texts which attribute its discovery to Pythagoras, but its use has been documented as long ago as 3500 B.C. in Babylonian texts. It is the oldest way of tuning the 12-note chromatic scale.
- Die pythagoreische Stimmung, auch Quintenreine Stimmung genannt, ist ein Stimmungssystem, das sich dadurch auszeichnet, dass die Abstände der Töne zueinander durch eine Abfolge von reinen Quinten definiert werden. Die erste Erwähnung findet sich bei Pythagoras von Samos (* um 570 v. Chr. , † nach 510 v. Chr.). Im Mittelalter war diese Stimmung die allgemein gültige und verwendete Stimmung. Anfang des 16. Jahrhunderts wurde die pythagoreische Stimmung mehr und mehr durch die Mitteltönige Stimmung abgelöst. In der heutigen Zeit wird die pythagoreische Stimmung wieder im Zusammenhang mit der Wiedergabe vor allem mittelalterlicher Musik, aber auch in einigen Fällen bei moderner Musik verwendet. In der pythagoreischen Stimmung gibt es keine Intervalle, die gezielt verunreinigt werden, es ergeben sich durch den Stimmvorgang aber unreine Intervalle, insbesondere die pythagoreische Terz im Vergleich zur reinen großen Terz. . Im Mittelalter wurden nur die Intervalle Quarte, Quinte und Oktave als konsonant empfunden, alle anderen Intervalle als dissonant, weshalb die unreine pythagoreische Terz nicht als störend empfunden wurde. Über die praktische Anwendung der pythagoreischen Stimmung in der Antike ist nichts bekannt. Im Früh- und Hochmittelalter begnügte man sich oft damit, nur die Töne B — F — C — G — D — A — E — H — Fis in reinen Quintabständen zu stimmen, wobei die Töne B und Fis hauptsächlich dazu dienten, den damals als stark dissonant empfundenen Tritonus F — H durch die reinen Quarten Fis — H oder F — B zu umgehen. Mit der Erweiterung des Tonvorrats auf 12 Töne taucht das Problem des pythagoreischen Kommas auf. Stimmt man zu den bereits vorhandenen Tönen die Töne Cis und Gis, sowie Es und As in reinen Quintabständen, so ergeben Gis und As nicht denselben Ton. Man muss sich für Gis oder As entscheiden. Die hierbei entstehende unreine Quinte zwischen Gis — Es oder Cis — As ist um das pythagoreische Komma zu klein und in den allermeisten Fällen musikalisch unbrauchbar. Für die Musik des Mittelalters ist die Lage der Wolfsquinte zwischen Gis — Es am wenigsten problematisch. So setzt z. B. die Musik aus dem Robertsbridge Codex die Lage der Wolfsquinte bei Gis — Es voraus. Erstmals versuchten die Komponisten der Musik des Trecento in Italien die Terz als konsonantes Intervall zu etablieren, aber erst in der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts, im musikalischen Übergang vom Mittelalter zur Renaissance, setzte ein grundlegender Wandel in den Hörgewohnheiten ein, bei dem die Terz als konsonant und die Quarte dafür als dissonant empfunden wurden. Für diese Art Musik wurde die pythagoreische Stimmung als unzulänglich angesehen. Eine erste Abhilfe bestand darin, die Lage der Wolfsquinte zu verändern. Sie wurde nun zwischen H und Fis gelegt, da auf diese Weise gutklingende, fast reine Terzen (D — Fis, E — Gis, A — Cis und H — Dis) entstanden. Eigentlich handelt es sich dabei um verminderte Quarten (D — Ges, E — As, A — Des und H — Es), die in der Musikpraxis gezielt eingesetzt wurden (z. B. im Buxheimer Orgelbuch, entstanden zwischen 1460 und 1470). Erwähnt wird die Lage der Wolfsquinte zwischen H und Fis z. B. von Ramis de Pareja in seiner Musica practica (Bologna 1482).
- L'escala pitagòrica va ser construïda pels pitagòrics quan van descobrir la consonància i la relació matemàtica senzilla entre la quinta i l'octava. L'escala pitagòrica de set notes té les freqüències següents: Si es fa la freqüència del so de Do igual a 1, s'obté: Les notes de l'escala pitagòrica tenen freqüències de la forma: <math>\frac{(\frac{3}{2})^n}{2^m}</math>, on n i m son nombres enters. L'escala pitagòrica té alguns problemes. Per començar alguns intervals no són consonants. Per exemple entre el Do i el Mi no hi ha una tercera major: (5/4). En segon lloc no hi ha cap parell de nombres enters n, i m, pels que: <math>\frac{3^n}{2^n} = 2^m</math>, per la qual cosa un Do no té mai el doble exacte de la freqüència del do anterior. En ocasions les notes són molt properes al múltiples simples de les notes més baixes. Per exemple, cada 12 notes, un Si# <math>(\frac{3}{2})^{12} = 129,75</math>, és molt semblant a <math>2^7 = 128</math>, per la qual cosa entre el Si# i el Do només hi ha una coma pitagòrica, és a dir: <math>\frac{(\frac{3}{2})^{12}}{2^7} = \frac{3^{12}}{2^{19}} = 1,0136</math> Els problemes de l'escala pitagòrica, de l'escala justa, i d'altres creades en el segles XVII, i el XVIII no son greus si s'utilitzen per a executar les obres de cada època amb els temperaments propis de l'època. Quan la musica s'anirà fent més complexa, a nivell harmònic i tonal, aquests sistemes ja no podran satisfer les exigències d'afinació i poc a poc s'anirà imposant el temperament igual, també conegut com l'escala temperada.
- Pythagorejské ladění je v hudbě způsob ladění, odvozený od intervalu čisté kvinty s poměrem frekvencí 3:2.
- Afinación pitagórica, sistema de construcción de la escala musical que se fundamenta en la quinta perfecta de razón 3/2 o quinta justa; esta afinación era la usada durante la Edad Media. Se obtenía mediante la división geométrica de una cuerda de un instrumento musical en dos, tres y cuatro partes iguales. Su éxito radicaba en las características monofónicas del canto gregoriano (monódico y diatónico), y en ser la única que exponía con todo detalle el latino Boecio. El sistema de Pitágoras parte del axioma que obliga a cualquier intervalo a expresarse como una combinación de un número mayor o menor de quintas perfectas. Partiendo de una nota base se obtienen las demás notas de una escala diatónica mayor encadenando hasta seis quintas consecutivas por encima y una por debajo, lo que da lugar a las siete notas de la escala. Por ejemplo, si partimos de la nota Do, obtenemos: Fa <math>\leftarrow</math> Do <math>\rightarrow</math> Sol <math>\rightarrow</math> Re <math>\rightarrow</math> La <math>\rightarrow</math> Mi <math>\rightarrow</math> Si Cuando se continúa el enlace de quintas hasta encontrar las doce notas de la escala cromática, la quinta número doce llega a una nota que no es igual a la nota que se tomó como base en un principio. Al reducir las doce quintas en siete octavas, el intervalo que se obtiene no es el unísono, sino una pequeña fracción del tono llamada comma (o coma) pitagórica. Esto no es una anomalía del cálculo aunque pueda parecerlo si uno intenta afinar las doce notas de la escala cromática, mediante el encadenamiento de quintas perfectas. Simplemente la quinta es incompatible con la octava (o el unísono) y esta diferencia puede resolverse de muchas maneras que dan lugar a distintos sistemas de afinación derivados del sistema de Pitágoras. La forma más simple es dejar la última quinta con el valor "residual" que le corresponda después de encadenar las otras once. Esta quinta será una coma pitagórica más pequeña que la quinta perfecta, y se conoce como quinta del lobo. Se forma entonces un círculo de quintas que no llega a cerrarse; el círculo de quintas no cerrado es en realidad una porción de la espiral que se obtendría al continuar encadenando quintas. La limitación de los sonidos a doce es determinante para la construcción de instrumentos de teclado e instrumentos de cuerda con trastes. Mi<math>\flat</math> <math>\leftarrow</math> Si<math>\flat</math> <math>\leftarrow</math> Fa <math>\leftarrow</math> Do <math>\rightarrow</math> Sol <math>\rightarrow</math> Re <math>\rightarrow</math> La <math>\rightarrow</math> Mi <math>\rightarrow</math> Si <math>\rightarrow</math> Fa<math>\sharp</math> <math>\rightarrow</math> Do<math>\sharp</math> <math>\rightarrow</math> Sol<math>\sharp</math> Aquí, la sexta disminuida que se forma al presentar los extremos del círculo entre Sol<math>\sharp</math> y Mi<math>\flat</math> es la quinta del lobo.
- Afinación pitagórica, sistema de construcción de la escala musical, que se fundamenta en la quinta perfecta de razón 3/2. El sistema de Pitágoras parte del axioma que obliga a cualquier intervalo a expresarse como una combinación de un número mayor o menor de quintas perfectas. Partiendo de una nota base se obtienen las demás notas de una escala diatónica mayor encadenando hasta seis quintas consecutivas por encima y una por debajo, lo que da lugar a las siete notas de la escala. Por ejemplo, si partimos de la nota Do, obtenemos: Fa <math>\leftarrow</math> Do <math>\rightarrow</math> Sol <math>\rightarrow</math> Re <math>\rightarrow</math> La <math>\rightarrow</math> Mi <math>\rightarrow</math> Si Al continuar el encadenamiento de quintas más allá de estos límites, encontramos el resto de las doce notas de la escala cromática, formando un círculo de quintas que no llega a cerrarse: Mi<math>\flat</math> <math>\leftarrow</math> Si<math>\flat</math> <math>\leftarrow</math> Fa <math>\leftarrow</math> Do <math>\rightarrow</math> Sol <math>\rightarrow</math> Re <math>\rightarrow</math> La <math>\rightarrow</math> Mi <math>\rightarrow</math> Si <math>\rightarrow</math> Fa<math>\sharp</math> <math>\rightarrow</math> Do<math>\sharp</math> <math>\rightarrow</math> Sol<math>\sharp</math>
- Une gamme pythagoricienne est une gamme musicale construite exclusivement sur des intervalles de quintes pures. L'intervalle de quinte pure était l'intervalle considéré dans l'Antiquité comme le plus consonant après l'octave de par son rapport numérique simple (3/2) sur le monocorde. La méthode de superposition des quintes permet de construire une gamme chromatique, c'est ainsi la plus ancienne manière d'accorder les instruments à sons fixes; elle a été en usage jusqu'à la fin du Moyen Âge. Cette gamme tient son nom du grec Pythagore, à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation de gammes musicales similaires remonte aux babyloniens vers le IV millénaire av. J. -C..
- A püthagoraszi hangolás következetesen kvintekből, a kvintkör szerint felépülő temperálás, amelyben a püthagoraszi kommát egyetlen nem tiszta kvint küszöböli ki, a szintonikus komma pedig a tercek nagy részénél teljesen megmarad. Előnye a tiszta hangoláshoz képest az, hogy több hangnemben is lehet elfogadhatóan játszani, a kiegyenlített hangolástól eltérően pedig tartalmaz tiszta hangközöket, így például a Gisz-Esz kvintet szűkítő változatban az alaphangnemen belül tiszta a nagyszekund, a kvart, a kvint, a kisszeptim és az oktáv. A középhangú temperálás elterjedéséig egyeduralkodó volt e hangolás az európai zenében, csak a terc konszonánssá válása és az ennek nyomán jelentkező új igények tudták a reneszánsz idején visszaszorítani más temperálásokhoz képest.
- La scala pitagorica (a volte impropriamente chiamata temperamento pitagorico) è il sistema musicale usato nella musica antica per la costruzione della scala. Nata in Cina ed in seguito utilizzata dai teorici giapponesi, la scala pitagorica fu usata (con autonoma invenzione) anche nell'antica Grecia, e dai trattatisti europei medievali fu attribuita a Pitagora. Essa si fonda sulla progressione degli intervalli di quinta, con trasposizione dei suoni acuti all'ottava di partenza. Per esempio, cominciando dal Do2 si costruisce la progressione delle quinte (Sol2, Re3, La3, Mi4, Si4) e si dividono per un'ottava le note che si trovano ad ottave superiori a quella di partenza (Re3 diventa Re2, La3 diventa La2, ecc.). Per ottenere il Fa si scende invece di una quinta (Fa1) e si moltiplica per un'ottava in modo da ricondursi all'ottava di partenza (Fa1 diventa Fa2). La scala maggiore pitagorica
- ピタゴラス音律（- おんりつ）は、純正5度を積み重ねることだけを利用した音律である。純正5度は周波数比2:3を意味する。この音程12個ぶんの積み重ねは、オクターブ（周波数比1:2）7個ぶんの積み重ねと僅差である。 (3/2) ≒ (2/1) 仮にCを出発点として下方に3音を、上方に8音を積み重ねるとつぎの音列を得る。 Eb - Bb - F - C - G - D - A - E - B - F# - C# - G# (-D#) このとき上方の9音めのD#が下方のEbと (3/2) をなし、これがほぼ7オクターブに達する。上の音列を1オクターブに収めれば、ピタゴラス音律による半音階が得られたことになる。 C - C# - D -Eb - E - F - F# - G - G# - A - Bb - B (- C) この半音階はピュタゴラス音律によって規定されており、これをピタゴラス音階と呼ぶことがある。また積み重ねを途中で止め、いわゆる長音階として得られたものもピタゴラス音階と呼ばれる。 C - D - E - F - G - A - B (- C) 純正5度の積み重ねによって12個の音を得るというアイデアは、比較的単純である。このため西洋以外の文化圏でも同様のアイデアにもとづく音列が見られる。これを西洋の理論の立場から、音律や音階に相当するものと看做すことができる。古代中国で生まれた三分損益法はその一例である。 ピタゴラス音律では、5度が純正になり美しく響き、旋律（メロディー）を美しく表現できるとされている。しかし、5度を4回積み重ねて得られる長3度の音程は、純正な響き（音程比4:5）に対して1/5半音ほど広くなり、濁った響きとなる（シントニックコンマ）。 また、5度の積み重ね12個分とオクターブの7個分の積み重ねの差（半音の1/4程度）による誤差（ピタゴラスコンマ）が以下のような結果をもたらす。 Aを出発点として上方に積み重ねるとつぎの音列を得る。 A - E - B - F# - C# - G# - D#(Eb) - Bb - F - C - G - D すると、最後のDと最初のAでは、前述の誤差により純正5度よりも狭い間隔になっている。しかし、狭い5度D-Aを挟んだF-A、C-E、G-B、等の長三度は、他の長3度よりも1/4半音ほど狭くなり、ハ長調の主要3和音の長3度は純正にな響きに対する誤差が僅か 1/50半音となる。また、これらの主要3和音の5度F-C、C-G、G-Dは純正なので、これらの主要3和音 F-A-C、C-E-G、G-B-Dは美しく響くことができる。
- De stemming van Pythagoras is een stemming waarin zo veel mogelijk reine kwarten en kwinten aanwezig zijn.
- Sistemul lui Pitagora este o scară sonoră care are cvinte (prin urmare şi cvarte) pure. A fost scara sonoră preferată in muzica instrumentală a Evului Mediu. Un ton (T) in sistemul Pitagora este egal prin definitie cu o crestere a frecvenţei de 9/8=1.125, sau 203.9 de sutimi. O octavă este egala cu cinci tonuri (T) plus doua semitonuri diatonice. Prin urmare, un semiton diatonic (prescurtat aici sd) (sau diesis, sau limma, sau semitonul mic) este egal cu <math>(1200-5\times 203.9)/2=90.2</math> de sutimi. Semitonul diatonic nu este egal cu jumatate de ton. Semitonul cromatic (prescurtat sc) (sau apotome, sau semitonul mare) este egal cu diferenţa dintre un ton şi semitonul diatonic, sau 113.7 de sutimi.
- Пифагорейский строй (по др. традиции — Пифагоров строй) — способ построения звукоряда для настройки музыкальных инструментов, предложенный Пифагором Самосским и его последователями около 550 год до н. э.. Звукоряд строился путём наложения чистых квинт на эталонный звук.
- Pythagoreisk stämning är en stämning av skalans toner —ett tonsystem— baserat på rena kvinter. Den grekiske filosofen och matematikern Pythagoras har bland annat tillerkänts upptäckten av att musikaliska intervall som upplevs som harmoniska förhåller sig till varandra som små heltal i den harmoniska deltonserien. Han skapade ett tonsystem baserat på rena kvinter, det mest konsonanta intervallet efter prim och oktav .
- Піфагорійський стрій — спосіб побудови звукоряду для настройки музичних інструментів, запропонований Піфагором Самоським близько 550 до н. е.. Звукоряд будувався шляхом накладання чистих квінт на еталонний звук.
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- Pythagorean tuning is a system of musical tuning in which the frequency relationships of all intervals are based on the ratio 3:2. Its name comes from medieval texts which attribute its discovery to Pythagoras, but its use has been documented as long ago as 3500 B.C. in Babylonian texts. It is the oldest way of tuning the 12-note chromatic scale.
- Die pythagoreische Stimmung, auch Quintenreine Stimmung genannt, ist ein Stimmungssystem, das sich dadurch auszeichnet, dass die Abstände der Töne zueinander durch eine Abfolge von reinen Quinten definiert werden. Die erste Erwähnung findet sich bei Pythagoras von Samos (* um 570 v. Chr. , † nach 510 v. Chr.). Im Mittelalter war diese Stimmung die allgemein gültige und verwendete Stimmung. Anfang des 16.
- L'escala pitagòrica va ser construïda pels pitagòrics quan van descobrir la consonància i la relació matemàtica senzilla entre la quinta i l'octava. L'escala pitagòrica de set notes té les freqüències següents: Si es fa la freqüència del so de Do igual a 1, s'obté: Les notes de l'escala pitagòrica tenen freqüències de la forma: <math>\frac{(\frac{3}{2})^n}{2^m}</math>, on n i m son nombres enters. L'escala pitagòrica té alguns problemes.
- Pythagorejské ladění je v hudbě způsob ladění, odvozený od intervalu čisté kvinty s poměrem frekvencí 3:2.
- Afinación pitagórica, sistema de construcción de la escala musical que se fundamenta en la quinta perfecta de razón 3/2 o quinta justa; esta afinación era la usada durante la Edad Media. Se obtenía mediante la división geométrica de una cuerda de un instrumento musical en dos, tres y cuatro partes iguales. Su éxito radicaba en las características monofónicas del canto gregoriano (monódico y diatónico), y en ser la única que exponía con todo detalle el latino Boecio.
- Afinación pitagórica, sistema de construcción de la escala musical, que se fundamenta en la quinta perfecta de razón 3/2. El sistema de Pitágoras parte del axioma que obliga a cualquier intervalo a expresarse como una combinación de un número mayor o menor de quintas perfectas. Partiendo de una nota base se obtienen las demás notas de una escala diatónica mayor encadenando hasta seis quintas consecutivas por encima y una por debajo, lo que da lugar a las siete notas de la escala.
- Une gamme pythagoricienne est une gamme musicale construite exclusivement sur des intervalles de quintes pures. L'intervalle de quinte pure était l'intervalle considéré dans l'Antiquité comme le plus consonant après l'octave de par son rapport numérique simple (3/2) sur le monocorde.
- A püthagoraszi hangolás következetesen kvintekből, a kvintkör szerint felépülő temperálás, amelyben a püthagoraszi kommát egyetlen nem tiszta kvint küszöböli ki, a szintonikus komma pedig a tercek nagy részénél teljesen megmarad.
- La scala pitagorica (a volte impropriamente chiamata temperamento pitagorico) è il sistema musicale usato nella musica antica per la costruzione della scala. Nata in Cina ed in seguito utilizzata dai teorici giapponesi, la scala pitagorica fu usata (con autonoma invenzione) anche nell'antica Grecia, e dai trattatisti europei medievali fu attribuita a Pitagora. Essa si fonda sulla progressione degli intervalli di quinta, con trasposizione dei suoni acuti all'ottava di partenza.
- De stemming van Pythagoras is een stemming waarin zo veel mogelijk reine kwarten en kwinten aanwezig zijn.
- Sistemul lui Pitagora este o scară sonoră care are cvinte (prin urmare şi cvarte) pure. A fost scara sonoră preferată in muzica instrumentală a Evului Mediu. Un ton (T) in sistemul Pitagora este egal prin definitie cu o crestere a frecvenţei de 9/8=1.125, sau 203.9 de sutimi. O octavă este egala cu cinci tonuri (T) plus doua semitonuri diatonice.
- Пифагорейский строй (по др. традиции — Пифагоров строй) — способ построения звукоряда для настройки музыкальных инструментов, предложенный Пифагором Самосским и его последователями около 550 год до н. э.. Звукоряд строился путём наложения чистых квинт на эталонный звук.
- Pythagoreisk stämning är en stämning av skalans toner —ett tonsystem— baserat på rena kvinter. Den grekiske filosofen och matematikern Pythagoras har bland annat tillerkänts upptäckten av att musikaliska intervall som upplevs som harmoniska förhåller sig till varandra som små heltal i den harmoniska deltonserien. Han skapade ett tonsystem baserat på rena kvinter, det mest konsonanta intervallet efter prim och oktav .
- Піфагорійський стрій — спосіб побудови звукоряду для настройки музичних інструментів, запропонований Піфагором Самоським близько 550 до н. е.. Звукоряд будувався шляхом накладання чистих квінт на еталонний звук.
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