In mathematics, one can define a product of group subsets in a natural way. If S and T are subsets of a group G then their product is the subset of G defined by <math>ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\}</math> Note that S and T need not be subgroups. The associativity of this product follows from that of the group product. The product of group subsets therefore defines a natural monoid structure on the power set of G.

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  • In mathematics, one can define a product of group subsets in a natural way. If S and T are subsets of a group G then their product is the subset of G defined by <math>ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\}</math> Note that S and T need not be subgroups. The associativity of this product follows from that of the group product. The product of group subsets therefore defines a natural monoid structure on the power set of G. If S and T are subgroups of G their product need not be a subgroup. It will be a subgroup if and only if ST = TS and the two subgroups are said to permute. In this case ST is the group generated by S and T, i.e. ST = TS = <S ∪ T>. If either S or T is normal then this condition is satisfied and ST is a subgroup. Suppose S is normal. Then according to the second isomorphism theorem S ∩ T is normal in T and ST/S ≅ T/(S ∩ T). If G is a finite group and S and T and subgroups of G then the order of ST is given by the product formula: <math>|ST| = \frac</math> Note that this applies even if neither S nor T is normal. In particular, if S and T intersect only in the identity, then every element of ST has a unique expression as a product st with s in S and t in T. If S and T also permute, then ST is a group, and is called a Zappa-Szep product. Even further, if S or T is normal in ST, then ST is called a semidirect product. Finally, if both S and T are normal in ST, then ST is called a direct product.
  • Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie kommen verschiedene Produkte von Gruppen vor: Das direkte Produkt ist durch das kartesische Produkt der Trägermengen zusammen mit der komponentenweisen Verknüpfung gegeben. Das semidirekte Produkt ist eine Verallgemeinerung des direkten Produkts, wobei die eine Gruppe auf der zweiten operiert. Es kann auch als inneres semidirektes Produkt zwischen einem Normalteiler und einer Untergruppe einer gegebenen Gruppe realisiert sein. Das Kranzprodukt ist ein spezielles semidirektes Produkt. Das Komplexprodukt zweier Untergruppen einer gegebenen Gruppe ist durch paarweise Verknüpfung der Untergruppenelemente gegeben. Dieses Produkt ist allgemeiner auch für zwei beliebige Teilmengen der Gruppe sinnvoll. Das freie Produkt stellt das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Gruppen dar. Das amalgamierte Produkt ist eine Verallgemeinerung des freien Produkts, bei dem die Elemente einer gemeinsamen Untergruppe miteinander verschmolzen („amalgamiert“) werden.
  • Iloczyn kompleksowy – działanie dwuargumentowe określone na podzbiorach pewnej grupy.
  • 在數學，若S和T為群G的子集，則其乘積為G的子集，其定義為 <math>ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\}</math> 其中，S和T不必然需要是子群。其乘積的結合律源自群的結合律。因此，群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然么半群結構。 即使S和T為G的子群，其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若ST = TS。在這一情形之下，ST會是個由S和T生成出的群，即ST = TS = <S ∪ T>。若S或T有一是G的正規子群，上述情形便會滿足，ST會是個子群。設S是正規子群，則根據第二同構定理，S ∩ T是T的正規子群且ST/S 同構于 T/(S ∩ T)。 若G為一有限群，且S和T為G的子群，則ST的元素個數可由乘積公式給定： <math>|ST| = \frac</math> 即使S和T都不是正規子群，上述公式也一樣適用。 特别地，如果S和T的交集仅为单位元，那么ST的每一个元素都可以唯一地表示为乘积st，其中s位于S内，t位于T内。如果 S和T还是可交换的，那么ST就是一个群，称为扎帕-塞普乘积。更进一步，如果S或T在ST中正规，那么ST便称为半直积。最后，如果S和T都在ST中正规，那么ST便称为直积。
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  • In mathematics, one can define a product of group subsets in a natural way. If S and T are subsets of a group G then their product is the subset of G defined by <math>ST = \{st : s \in S \mbox{ and } t\in T\}</math> Note that S and T need not be subgroups. The associativity of this product follows from that of the group product. The product of group subsets therefore defines a natural monoid structure on the power set of G.
  • Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie kommen verschiedene Produkte von Gruppen vor: Das direkte Produkt ist durch das kartesische Produkt der Trägermengen zusammen mit der komponentenweisen Verknüpfung gegeben. Das semidirekte Produkt ist eine Verallgemeinerung des direkten Produkts, wobei die eine Gruppe auf der zweiten operiert. Es kann auch als inneres semidirektes Produkt zwischen einem Normalteiler und einer Untergruppe einer gegebenen Gruppe realisiert sein.
  • Iloczyn kompleksowy – działanie dwuargumentowe określone na podzbiorach pewnej grupy.
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  • Product of group subsets
  • Produkt von Gruppen
  • Iloczyn kompleksowy
  • 群子集的乘積
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