In number theory, the prime number theorem (PNT) describes the asymptotic distribution of the prime numbers among the positive integers. It formalizes the intuitive idea that primes become less common as they become larger by precisely quantifying the rate at which this occurs. The theorem was proved independently by Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée-Poussin in 1896 using ideas introduced by Bernhard Riemann (in particular, the Riemann zeta function).

Property Value
dbo:abstract
  • In number theory, the prime number theorem (PNT) describes the asymptotic distribution of the prime numbers among the positive integers. It formalizes the intuitive idea that primes become less common as they become larger by precisely quantifying the rate at which this occurs. The theorem was proved independently by Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée-Poussin in 1896 using ideas introduced by Bernhard Riemann (in particular, the Riemann zeta function). The first such distribution found is π(N) ~ N / log(N), where π(N) is the prime-counting function and log(N) is the natural logarithm of N. This means that for large enough N, the probability that a random integer not greater than N is prime is very close to 1 / log(N). Consequently, a random integer with at most 2n digits (for large enough n) is about half as likely to be prime as a random integer with at most n digits. For example, among the positive integers of at most 1000 digits, about one in 2300 is prime (log(101000) ≈ 2302.6), whereas among positive integers of at most 2000 digits, about one in 4600 is prime (log(102000) ≈ 4605.2). In other words, the average gap between consecutive prime numbers among the first N integers is roughly log(N). (en)
  • في نظرية الأعداد, مبرهنة الأعداد الأولية هي نتيجة تهم كثافة توزيع الأعداد الأولية. (ar)
  • Der Primzahlsatz erlaubt eine Abschätzung der Verteilung der Primzahlen mittels Logarithmen. Der Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen wurde bereits von dem 15-jährigen Carl Friedrich Gauß 1793 und unabhängig von ihm durch Adrien-Marie Legendre 1798 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen. (de)
  • En teoría de números el teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los números primos. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son menos comunes cuanto más grandes son. Es uno de los teoremas más importantes de la historia de las matemáticas, no solo por su belleza sino por su influencia en el desarrollo posterior de la investigación de los números primos. El teorema también es conocido como teorema del número primo o teorema del número de primos. (es)
  • En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers. (fr)
  • In teoria dei numeri, il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione asintotica dei numeri primi, dando una descrizione approssimativa di come i numeri primi sono distribuiti. (it)
  • 素数定理(そすうていり、英: Prime number theorem、独: Primzahlsatz)とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。整数論において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。 (ja)
  • In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft de priemgetalstelling de asymptotische verdeling van de priemgetallen. De priemgetalstelling geeft een ruwe beschrijving hoe ver grote priemgetallen gemiddeld uit elkaar liggen. Ruwweg gesproken stelt de priemgetalstelling dat als men een willekeurig getal uitkiest in de buurt van enig groot getal N, dat dan de kans, dat dit getal een priemgetal is, ongeveer gelijk is aan 1 / ln(N), waarbij ln(N) voor de natuurlijke logaritme van N staat. In de buurt van N = 10.000 is de kans bijvoorbeeld ongeveer één op de 9, terwijl dit in de buurt van N = 1.000.000.000 circa één op de 21 is. (nl)
  • Em matemática, sobretudo na teoria dos números, o teorema do número primo é um importante resultado sobre a distribuição dos números primos, que afirma que o número de primos menores ou iguais a n é aproximadamente n / ln n. Este resultado foi primeiramente demonstrado independentemente por dois matemáticos franceses, Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin, através do estudo da função zeta de Riemann. Uma demonstração elementar, sem apelo à teoria analítica dos números, foi dada posteriormente por Atle Selberg e Paul Erdös. (pt)
  • 素数定理描述素数的大致分佈情況。 素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,素数的個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為素数计数函数,亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 其中ln x為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞,π(x)與x/ln x的比值趨近1。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計: ,當x 趨近∞。 其中 (对数积分),而關係式右邊第二項是誤差估計,詳見大O符號。 下表比較了π(x),x/ln x和Li(x): 素数定理可以給出第n個素数p(n)的漸近估計: 它也給出從整數中抽到素数的概率。從不大於n的自然數隨機選一個,它是素数的概率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德拉瓦莱普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函數。 因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切,關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項的估計可改進為 至於大O項的常數則還未知道。 (zh)
  • Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел (количество простых чисел на отрезке ) растёт с ростом как , то есть: когда Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до шанс оказаться простым примерно равен . Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения -го простого числа : она утверждает, что (здесь и далее запись означает, что когда аргумент функций стремится к бесконечности). Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно (ru)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 23692 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 745135862 (xsd:integer)
dbp:id
  • 199 (xsd:integer)
  • p/d033530
dbp:title
  • Distribution of prime numbers
  • Prime number theorem
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • في نظرية الأعداد, مبرهنة الأعداد الأولية هي نتيجة تهم كثافة توزيع الأعداد الأولية. (ar)
  • Der Primzahlsatz erlaubt eine Abschätzung der Verteilung der Primzahlen mittels Logarithmen. Der Zusammenhang zwischen Primzahlen und Logarithmen wurde bereits von dem 15-jährigen Carl Friedrich Gauß 1793 und unabhängig von ihm durch Adrien-Marie Legendre 1798 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Jacques Salomon Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen. (de)
  • En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, le théorème des nombres premiers, démontré indépendamment par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896, est un résultat concernant la distribution asymptotique des nombres premiers. (fr)
  • In teoria dei numeri, il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione asintotica dei numeri primi, dando una descrizione approssimativa di come i numeri primi sono distribuiti. (it)
  • 素数定理(そすうていり、英: Prime number theorem、独: Primzahlsatz)とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。整数論において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。 (ja)
  • In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft de priemgetalstelling de asymptotische verdeling van de priemgetallen. De priemgetalstelling geeft een ruwe beschrijving hoe ver grote priemgetallen gemiddeld uit elkaar liggen. Ruwweg gesproken stelt de priemgetalstelling dat als men een willekeurig getal uitkiest in de buurt van enig groot getal N, dat dan de kans, dat dit getal een priemgetal is, ongeveer gelijk is aan 1 / ln(N), waarbij ln(N) voor de natuurlijke logaritme van N staat. In de buurt van N = 10.000 is de kans bijvoorbeeld ongeveer één op de 9, terwijl dit in de buurt van N = 1.000.000.000 circa één op de 21 is. (nl)
  • Em matemática, sobretudo na teoria dos números, o teorema do número primo é um importante resultado sobre a distribuição dos números primos, que afirma que o número de primos menores ou iguais a n é aproximadamente n / ln n. Este resultado foi primeiramente demonstrado independentemente por dois matemáticos franceses, Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin, através do estudo da função zeta de Riemann. Uma demonstração elementar, sem apelo à teoria analítica dos números, foi dada posteriormente por Atle Selberg e Paul Erdös. (pt)
  • 素数定理描述素数的大致分佈情況。 素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,素数的個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為素数计数函数,亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 其中ln x為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞,π(x)與x/ln x的比值趨近1。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計: ,當x 趨近∞。 其中 (对数积分),而關係式右邊第二項是誤差估計,詳見大O符號。 下表比較了π(x),x/ln x和Li(x): 素数定理可以給出第n個素数p(n)的漸近估計: 它也給出從整數中抽到素数的概率。從不大於n的自然數隨機選一個,它是素数的概率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德拉瓦莱普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函數。 因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切,關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項的估計可改進為 至於大O項的常數則還未知道。 (zh)
  • In number theory, the prime number theorem (PNT) describes the asymptotic distribution of the prime numbers among the positive integers. It formalizes the intuitive idea that primes become less common as they become larger by precisely quantifying the rate at which this occurs. The theorem was proved independently by Jacques Hadamard and Charles Jean de la Vallée-Poussin in 1896 using ideas introduced by Bernhard Riemann (in particular, the Riemann zeta function). (en)
  • En teoría de números el teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los números primos. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son menos comunes cuanto más grandes son. Es uno de los teoremas más importantes de la historia de las matemáticas, no solo por su belleza sino por su influencia en el desarrollo posterior de la investigación de los números primos. (es)
  • Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел (количество простых чисел на отрезке ) растёт с ростом как , то есть: когда Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до шанс оказаться простым примерно равен . Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения -го простого числа : она утверждает, что (здесь и далее запись означает, что когда аргумент функций стремится к бесконечности). (ru)
rdfs:label
  • Prime number theorem (en)
  • مبرهنة الأعداد الأولية (ar)
  • Primzahlsatz (de)
  • Teorema de los números primos (es)
  • Théorème des nombres premiers (fr)
  • Teorema dei numeri primi (it)
  • 素数定理 (ja)
  • Priemgetalstelling (nl)
  • Teorema do número primo (pt)
  • Теорема о распределении простых чисел (ru)
  • 質數定理 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:knownFor of
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is rdfs:seeAlso of
is foaf:primaryTopic of