| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, given a set S, the power set (or powerset) of S, written <math>\mathcal{P}(S)</math>, P(S), ℘(S) or 2, is the set of all subsets of S. In axiomatic set theory (as developed e.g. in the ZFC axioms), the existence of the power set of any set is postulated by the axiom of power set. Any subset F of <math>\mathcal{P}(S)</math> is called a family of sets over S.
- Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Man notiert die Potenzmenge von <math>X meist als <math>\mathcal P(X). In Formelschreibweise lautet die Definition \mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \} . Dabei ist zu beachten, dass die leere Menge <math>\emptyset Teilmenge einer jeden Menge ist. Gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind: <math>\mathfrak p(X),\ 2^X,\ \mathrm{Pot}(X),\ \Pi(X),\ \wp(X),\ \mathfrak P(X). Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenzoperation anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 nocht nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.
- Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit <math>\mathcal{P}(S)</math>, P(S), ℘(S), o 2, com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa dels subconjunts de S és: { } {a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c} Per tant, el conjunt de les parts de S serà: <math>\mathcal{P}(S) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}</math> Si S és un conjunt finit amb card(S) = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté card(℘)= 2 elements.
- Potenční množina množiny <math>X \,\! </math> (značí se <math> \mathcal{P} \,\! </math> nebo též <math>2^X \,\! </math>) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny <math>X \,\! </math>. Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.
- En matemáticas, dado un conjunto S, el conjunto potencia o conjunto de partes de S, escrito P(S) o 2, es el conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia. Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces la lista completa de subconjuntos de S es como sigue: { }; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}; y por lo tanto el conjunto potencia de S es P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Otro ejemplo más complejo es el siguiente: Sea A = { 2, Ф }, Determinar P (P), es decir, el conjunto potencia del conjunto potencia de A; Ф es el conjunto vacío: Primero hacemos: P(A) = { Ф, {2}, {Ф}, A } y luego hacemos P (P) : P (P) = { Ф, { Ф }, { {2} }, { {Ф} }, { {A} }, { Ф, {2} }, { Ф, {Ф} }, { Ф, {A} }, { {2}, {Ф} }, { {2}, {A} }, { {Ф}, A }, { Ф, {2}, {Ф} }, { Ф, {2}, A }, { Ф, {Ф}, A }, { {2}, {Ф}, A } y P(A) } Cuando S es finito, si n = |S| es el número de elementos de S, en este caso 3, entonces el respectivo conjunto potencia contiene |P(S)| = 2 elementos, en este caso <math> 2^3= 8 </math>. En este caso también se puede establecer una biyección entre los elementos del conjunto potencia con números de n-bits: el n-ésimo bit se refiere a la presencia o ausencia del n-ésimo elemento de S. Hay 2 tales números. Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales: <math>{n \choose 0} + {n\choose 1} + {n\choose 2} + \cdots + {n\choose n} = 2^n </math> La cardinalidad de un conjunto potencia siempre es mayor que la cardinalidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantor demuestra la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el hecho de que n < 2 la prueba para conjuntos finitos. El conjunto potencia de los números naturales, por ejemplo, se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales. Usualmente se establece primero una biyección entre los números reales y el intervalo cerrado [0,1], para luego, usando la expansión diádica de los números reales, identificar cada elemento de [0,1] con la sucesión infinita de ceros y unos dada por los coeficientes. El conjunto potencia de un conjunto S, junto con las operaciones de la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico de álgebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra de Boole finita es isomorfa al álgebra booleana del conjunto potencia de un conjunto finito. Para las álgebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero cada álgebra booleana infinita es subálgebra de una álgebra booleana de partes.
- Potenssijoukko on joukon kaikkien osajoukkojen joukkoperhe. Joukon <math>A</math> potenssijoukkoa merkitään tyypillisesti symboleilla <math>\mathcal{P}(A)</math>, <math>2^A</math> tai <math>\operatorname{pot}A</math>. Muodollinen määritelmä: jos <math>A</math> on mielivaltainen joukko, niin on <math>\mathcal{P}(A) = \{ B \, | \, B \subset A \}</math>. Ominaisuuksia: jos joukko <math>A</math> on äärellinen ja <math>|A|</math> on sen alkioiden lukumäärä, niin <math>|\mathcal{P}(A)| = 2^</math> <math>\mathcal{P}(\varnothing) = \{ \varnothing \}</math>
- En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble.
- Fájl:Hasse diagram of powerset of 3. svg Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.
- In matematica, dato un insieme S, l'insieme delle parti di S, scritto <math>\mathcal{P}(S)</math> o 2, è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di S. Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di S o booleano di S. Per esempio, se S è l'insieme <math>\{a, b, c\}</math>, allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta: <math>\varnothing</math> <math>\{a\}</math> <math>\{b\}</math> <math>\{c\}</math> <math>\{a, b\}</math> <math>\{a, c\}</math> <math>\{b, c\}</math> <math>\{a, b, c\}</math> che coincide con l'insieme stesso <math>{S}</math> e quindi l'insieme delle parti di S è <math>\mathcal{P}(S) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, S\}</math>
- 数学における冪集合（べきしゅうごう、power set）は、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字としてしばしば巾集合とも書かれる。 集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。
- De machtsverzameling van een verzameling S, die wordt weergegeven als <math>\mathcal{P}(S)</math> of 2, is de verzameling van alle deelverzamelingen van S. De <math>\mathcal{P}</math> komt hierin van 'power', het Engelse woord voor 'macht'. Voorbeeld: zij S een verzameling {A,B,C}, dan is {A,C} een deelverzameling van S, evenals {A,B} etc. De complete lijst van deelverzamelingen van S is: { } (ook weergegeven als Ø, de lege verzameling) {A} {B} {C} {A, B} {A, C} {B, C} {A, B, C} (S zelf) De machtsverzameling is nu de verzameling van deze verzamelingen, oftewel: <math>\mathcal{P}(S) = \left\{\ \{\}, \{A\}, \{B\}, \{C\}, \{A, B\}, \{A, C\}, \{B, C\}, \{A, B, C\} \right\}\,\!. </math> Zij n = |S|, dus n is het aantal elementen in S, dan geldt voor de machtsverzameling: |<math>\mathcal{P}(S)</math>| = 2. Dit is als volgt in te zien: bij elk element kun je kiezen of je dit element wel of niet opneemt in de deelverzameling; dat geeft 2*2*2*...*2 mogelijkheden in totaal. Zodoende kun je (en computers doen dit) elke deelverzameling als n-bitjes weergeven, de 0 geeft aan dat een element niet in de deelverzameling zit en een 1 dat deze er wel inzit. In bovengenoemd voorbeeld correspondeert '000' (3 elementen, dus 3 bits) met de lege verzameling, en 101 met {A, C} en 111 met {A, B, C}. Er zijn zo uiteraard ook 2 zulke getallen te maken. Het is wiskundig ook mogelijk om de machtsverzameling van een oneindige verzameling te beschouwen. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat de kardinaliteit van de machtsverzameling van een oneindige verzameling altijd strikt groter is dan die van de verzameling zelf (de machtsverzameling is 'oneindiger' dan de oorspronkelijke verzameling). Tussen enerzijds de machtsverzameling van de natuurlijke getallen en anderzijds de reële getallen is een bijectie te vinden (dit kan met behulp van oneindige rijen van nullen en enen). De machtsverzameling van een verzameling S, met daarop de bewerkingen vereniging, doorsnede en complement, vormt het standaardvoorbeeld van een booleaanse algebra. Het is zelfs mogelijk om aan te tonen dat elke eindige booleaanse algebra isomorf is met een booleaanse algebra van een machtsverzameling voor een bepaalde verzameling S. Voor oneindige booleaanse algebra's geldt dit niet, maar wel geldt dat elke oneindige booleaanse algebra een subalgebra van een machtsverzameling van een booleaanse algebra is. Door ieder element van de machtsverzameling te associëren met zijn indicatorfunctie ontstaat een bijectie tussen <math>\mathcal{P}(S)</math> en {0,1}, de verzameling van alle functies van S naar het paar {0,1}. Dit verklaart de notatie 2.
- I matematikk er potensmengden til en mengde M lik mengden av alle delmengder av M og skrives <math>\mathcal{P}(M) eller 2. Hvis, for eksempel M = {1,2,3}, så er 2^M = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}. Hvis M er en endelig mengde som inneholder m elementer, er antall elementer i potensmengden til M lik 2. (Dette forklarer notasjonen 2. ) Man kan vise at kardinaliteten til 2 alltid er større enn kardinaliteten til M, også når M er uendelig: se Cantors teorem.
- Zbiór potęgowy – dla danego zbioru <math>S</math> zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami <math>\mathcal P(S)</math> lub <math>2^S</math>. W aksjomatycznej teorii zbiorów istnienie zbioru potęgowego zapewnia aksjomat zbioru potęgowego. Dowolny podzbiór <math>R</math> zbioru <math>\mathcal P(S)</math> nazywa się rodziną zbiorów względem <math>S</math>.
- O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado <math>A</math> é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência) de <math>A</math>, denotado por <math>P(A)</math> ou <math>2^A</math>.
- Пусть <math>A</math> — множество. Множество всех подмножеств множества <math>A</math> называется булеаном <math>A</math> (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается <math>\mathcal P(A)</math> или <math>2^A</math>. Ясно, что <math>\varnothing \in \mathcal P(A)</math> и <math>A\in \mathcal P(A)</math>. Справедливо следующее утверждение: Число подмножеств конечного множества, состоящего из <math>n</math> элементов равно <math>2^n</math>. Доказательство проведем методом математической индукции. База. Если <math>n=0</math>, т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно <math>2^0=1</math>. Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть <math>M</math> — множество с кардинальным числом <math>n+1</math>. Зафиксировав некоторый элемент <math>a_0\in M</math>, разделим подмножества множества <math>M</math> на два: <math>M_1</math> содержащее <math>a_0</math>, <math>M_2</math> не содержащее <math>a_0</math>, то есть являющиеся подмножествами множества <math>M-\left\{a_0\right\}</math>. Подмножеств типа (2) по предположению индукции <math>2^n</math>. Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента <math>a_0</math> и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1). Следовательно имеем <math>2^M = M_1 \bigcup M_2</math> и <math>M_1 \bigcap M_2 = \varnothing</math>. По индукционному предположению <math>\left| M_1 \right| = 2^n </math> и <math>\left| M_2 \right| = 2^n </math>. Получаем <math>\left| 2^M \right| = \left| M_1 \right| + \left| M_2 \right| = 2^n + 2^n = 2^{n+1} = 2^\left| M \right|</math>.
- Potensmängden (power set på engelska) till en mängd M är mängden av delmängder till M. Potensmängden till M skrivs ofta P(M). Att P(M) är en mängd närhelst M är en mängd, är innebörden i potensmängdsaxiomet. Exempel 1: Antag att M = {1, 2}. M har alltså 2 element. De delmängder vi kan bilda till M är {1}, {2}, {1, 2} och ø. Dvs P(M) = {{1}, {2}, {1, 2}, ø}. Exempel 2: Antag att M = {1, 2, 3}. P(M) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3},ø}. Antalet delmängder, |P(M)|, är i detta fall 8. Allmänt så är antalet element (delmängder av den ursprungliga mängden) i en potensmängd 2^|M|. I exemplet ovan startade vi med en mängd med 2 element och såg att potensmängden innehöll fler element, nämligen 4 stycken. Detta är inget unikt för denna mängd. Alla mängder, ändliga såväl som oändliga, har fler delmängder än de har element. Om vi alltså startar med en oändlig mängd och bildar potensmängden av den så får vi en ännu större mängd, dvs en ännu större oändlighet! Sedan kan vi fortsätta och bilda potensmängden av potensmängden osv och hela tiden få allt större oändligheter. Det finns alltså obegränsat många storlekar på oändligheter. Se artiklarna kardinaltal och Cantors sats för vidare beskrivning av detta.
- БУЛЕАН - в теорії множин — множина всіх підмножин даної множини. Булеан множини A позначається як B(A) або 2. Очевидно, що ∅ ∈ 2 та A ∈ 2. Для скінченної множини A з n елементів, кількість його підмножин дорівнює 2, тобто |2| = 2
- 數學上，給定集合<math>S</math>，其冪集<math>\mathcal{P}(S)</math>（或作<math>2^S</math>）是以<math>S</math>的全部子集為元素的集合。以符號表示即為 <math>\mathcal{P}(S) := \{U | U \subseteq S\}</math>。 在公理集合論（例如ZFC公理系統建立的理論）中，冪集公理假定了任何集合的冪集均存在。 <math>\mathcal{P}(S)</math>的任何子集<math>F</math>稱為<math>S</math>上的集族。
|
| rdfs:comment
|
- In mathematics, given a set S, the power set (or powerset) of S, written <math>\mathcal{P}(S)</math>, P(S), ℘(S) or 2, is the set of all subsets of S. In axiomatic set theory (as developed e.g. in the ZFC axioms), the existence of the power set of any set is postulated by the axiom of power set. Any subset F of <math>\mathcal{P}(S)</math> is called a family of sets over S.
- Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Man notiert die Potenzmenge von <math>X meist als <math>\mathcal P(X). In Formelschreibweise lautet die Definition \mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \} . Dabei ist zu beachten, dass die leere Menge <math>\emptyset Teilmenge einer jeden Menge ist.
- Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit <math>\mathcal{P}(S)</math>, P(S), ℘(S), o 2, com el conjunt de tots els subconjunts de S.
- Potenční množina množiny <math>X \,\! </math> (značí se <math> \mathcal{P} \,\! </math> nebo též <math>2^X \,\! </math>) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny <math>X \,\! </math>. Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.
- En matemáticas, dado un conjunto S, el conjunto potencia o conjunto de partes de S, escrito P(S) o 2, es el conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia.
- Potenssijoukko on joukon kaikkien osajoukkojen joukkoperhe. Joukon <math>A</math> potenssijoukkoa merkitään tyypillisesti symboleilla <math>\mathcal{P}(A)</math>, <math>2^A</math> tai <math>\operatorname{pot}A</math>. Muodollinen määritelmä: jos <math>A</math> on mielivaltainen joukko, niin on <math>\mathcal{P}(A) = \{ B \, | \, B \subset A \}</math>.
- En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble.
- Fájl:Hasse diagram of powerset of 3. svg Az {x, y, z} halmaz hatványhalmazának az elemei Hasse-diagrammal ábrázolva A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.
- In matematica, dato un insieme S, l'insieme delle parti di S, scritto <math>\mathcal{P}(S)</math> o 2, è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di S. Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di S o booleano di S.
- De machtsverzameling van een verzameling S, die wordt weergegeven als <math>\mathcal{P}(S)</math> of 2, is de verzameling van alle deelverzamelingen van S. De <math>\mathcal{P}</math> komt hierin van 'power', het Engelse woord voor 'macht'. Voorbeeld: zij S een verzameling {A,B,C}, dan is {A,C} een deelverzameling van S, evenals {A,B} etc.
- I matematikk er potensmengden til en mengde M lik mengden av alle delmengder av M og skrives <math>\mathcal{P}(M) eller 2. Hvis, for eksempel M = {1,2,3}, så er 2^M = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}. Hvis M er en endelig mengde som inneholder m elementer, er antall elementer i potensmengden til M lik 2. (Dette forklarer notasjonen 2.
- Zbiór potęgowy – dla danego zbioru <math>S</math> zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami <math>\mathcal P(S)</math> lub <math>2^S</math>. W aksjomatycznej teorii zbiorów istnienie zbioru potęgowego zapewnia aksjomat zbioru potęgowego. Dowolny podzbiór <math>R</math> zbioru <math>\mathcal P(S)</math> nazywa się rodziną zbiorów względem <math>S</math>.
- O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado <math>A</math> é chamado de conjunto de partes (ou conjunto potência) de <math>A</math>, denotado por <math>P(A)</math> ou <math>2^A</math>.
- Пусть <math>A</math> — множество. Множество всех подмножеств множества <math>A</math> называется булеаном <math>A</math> (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается <math>\mathcal P(A)</math> или <math>2^A</math>.
- Potensmängden (power set på engelska) till en mängd M är mängden av delmängder till M. Potensmängden till M skrivs ofta P(M). Att P(M) är en mängd närhelst M är en mängd, är innebörden i potensmängdsaxiomet. Exempel 1: Antag att M = {1, 2}. M har alltså 2 element. De delmängder vi kan bilda till M är {1}, {2}, {1, 2} och ø. Dvs P(M) = {{1}, {2}, {1, 2}, ø}. Exempel 2: Antag att M = {1, 2, 3}. P(M) = {{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2,3}, {1, 2, 3},ø}.
- БУЛЕАН - в теорії множин — множина всіх підмножин даної множини. Булеан множини A позначається як B(A) або 2. Очевидно, що ∅ ∈ 2 та A ∈ 2. Для скінченної множини A з n елементів, кількість його підмножин дорівнює 2, тобто |2| = 2
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
