| dbpprop:abstract
|
- Given a simple polygon constructed on a grid of equal-distanced points (i.e. , points with integer coordinates) such that all the polygon's vertices are grid points, Pick's theorem provides a simple formula for calculating the area A of this polygon in terms of the number i of interior points located in the polygon and the number b of boundary points placed on the polygon's perimeter: <math>A = i + \frac{b}{2} - 1. In the example shown, we have i = 39 and b = 14, so the area is A = 39 + 14/2 − 1 = 39 + 7 − 1 = 45 (square units). Note that the theorem as stated above is only valid for simple polygons, i.e. , ones that consist of a single piece and do not contain "holes". For a polygon that has h holes, with a boundary in the form of h + 1 simple closed curves, the slightly more complicated formula i + b/2 + h − 1 gives the area. The result was first described by Georg Alexander Pick in 1899. The Reeve tetrahedron shows that there is no analogue of Pick's theorem in three dimensions that expresses the volume of a polytope by counting its interior and boundary points. However, there is a generalization in higher dimensions via Ehrhart polynomials. The formula also generalizes to surfaces of polyhedra.
- Der Satz von Pick, benannt nach dem österreichischen Mathematiker Georg Alexander Pick, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von einfachen Gitterpolygonen. Dies sind Vielecke, deren sämtliche Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. (Man denke sich ein Vieleck, welches auf Rechenpapier gemalt wird, mit den Eckpunkten nur in den Schnittpunkten des Gitters)
- Pickův vzorec mluví o obsahu mnohoúhelníku daného na mříži. Nese jméno rakouského matematika Georga Alexandera Picka. Obsah: <math>S = i + h/2 - 1</math> i - vnitřní body a h - hranové body (všechny vrcholy)
- El teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un polígono cuyos vértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en su interior y en su borde que tengan también coordenadas enteras. Un punto cuyas coordenadas sean enteras se conoce como punto entero. El teorema de Pick establece: Sea un polígono cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula: {{{1}}} Georg Alexander Pick (1899) El teorema, como se muestra aquí es solo valido para polígonos simples, es decir, polígonos de una sola pieza que no tienen agujeros. Para una versión más general del teorema el "−1" de la fórmula puede ser reemplazado con "<math>-\chi(P)</math>", donde <math>\chi(P)</math> es la Característica de Euler de P.
- Pickin lauseen avulla (tunnetaan myös nimellä Pickin kaava) voidaan laskea annetun monikulmion, jonka kärkipisteet ovat hilapisteissä, pinta-ala A, mikäli tiedetään monikulmion sisustan hilapisteiden lukumäärä i ja reunalla olevien hilapisteiden lukumäärä b. Pickin kaavan mukaan tällöin on voimassa A = i + ½b − 1. Kuvassa olevassa esimerkissä on i = 39 ja b = 14, joten monikulmion ala on A = 39 + ½(14) − 1 = 39 + 7 − 1 = 45. Huomaa, että lause on voimassa vain yhtenäisille monikulmioille, joten monikulmion on koostuttava yhdestä palasta, ja siinä ei saa olla reikiä. Useamman reiän tapauksessa kaavan "−1" on korvattava termillä "−χ(P)", jossa χ(P) on P:n Eulerin karakteristika. Lauseen todisti Georg Alexander Pick vuonna 1899. Lause voidaan yleistää usempaan ulottuvuuteen käyttämällä hyväksi niin sanottuja Ehrhartin polynomeja.
- Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants tel que tous ses sommets soient des points de la grille; le théorème de Pick fournit une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre i de points intérieurs du polygone et du nombre b de points du bord du polygone : <math>A = i + \frac{1}{2}. b - 1\,</math>. Dans l'exemple ci-dessus, nous avons i = 9 et b = 14, ainsi, l'aire est <math>A = 9 + \frac{1}{2}.(14) - 1 = 9 + 7 - 1 = 15\,</math> (unités carrées). Cette formule est si simple qu'elle peut être correctement utilisée par des enfants de l'école élémentaire, en dessinant des figures sur les carrés du sol ou des murs, ou en étirant des élastiques avec des chevilles. Le théorème tel qu'énoncé ci-dessus est seulement valide pour les polygones simples, c'est-à-dire ceux constitués d'une pièce et qui ne contiennent pas de "trous". Pour des polygones plus généraux, le "- 1" de la formule serait remplacé par "<math>- \chi(P)\,</math>", où <math>\chi(P)\,</math> est la caractéristique d'Euler de P. Ce résultat fut énoncé en premier par Georg Alexander Pick en 1899. Il peut être généralisé en trois dimensions et plus par les polynômes d'Ehrhart. La formule se généralise aussi aux surfaces de polyèdres.
- Considerato il piano a coordinate intere (x,y), individuato dall'insieme <math>\mathbb{Z}^{2}</math>, e un poligono i cui vertici appartengono a tale insieme (ovvero i cui vertici siano tutti a coordinate intere), il teorema di Pick fornisce una semplice formula per calcolare l'area di questo poligono. Indicando: con i il numero di punti a coordinate intere interni al poligono; con p il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi); con A l'area del poligono. vale la formula: <math> A = i + \frac {p} 2 -1 </math>. Si noti che il teorema enunciato è valido solo per poligoni semplici, cioè per poligoni che sono formati da un singolo pezzo e non contengono "buchi".
- ピックの定理（-ていり、Pick's theorem）は等間隔に点が存在する平面上にある多角形の面積を求める公式である。この場合の多角形の頂点は全て右図のように格子点（等間隔に配置されている点）上にあり、内部に穴は開いていないものとする。多角形の内部にある格子点の個数を i、辺上にある格子点の個数を b とするとこの種の多角形の面積 S は以下の式で求められる。 S = i + ½b − 1 例えば図の六角形なら内部にある点が i = 39 個、辺上にある点が b = 14 個なので S = 39 + 14/2 − 1 = 45 と簡単に計算できる。 この定理は 1899 年に によって初めて示され、により三次元以上に拡張して一般化することができる。 同公式はまた、多面体上の図形に対して一般化することもできる。 日本ではこの公式は学習しないことが多いが、海外では小中学校などで教えられることもある。 上に述べたこの定理は、単純な多角形、つまり単一の図形であり穴が開いていないものにのみ適用可能であることに注意されたい。 より一般的な多角形に対しては、同公式の − 1 を − χ(P) で置き換える必要がある。 ここに χ(P) は、多角形 P のオイラー標数である。
- De formule van Pick is een elegante uitdrukking voor de oppervlakte van eenvoudige veelhoeken op een regelmatig rooster, d.w.z. van veelhoeken waarvan elk hoekpunt op een roosterpunt ligt. De oppervlakte A kan dan worden uitgedrukt in het aantal inwendige punten i en het aantal punten o op de omtrek. Er geldt: <math>A = i + {o \over 2} - 1</math> In het voorbeeld van de figuur is i = 39 en o = 14. De oppervlakte is dus: A = 39 + 14/2 - 1 = 45 (vierkantjes). De formule werd voor het eerst opgesteld door Georg Alexander Pick in 1899 en kan worden uitgebreid naar veelhoeken met gaten, en naar veelvlakken.
- Wzór Picka – praktyczny wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki znajdują się w punktach regularnej kwadratowej sieci na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: <math>P = W + \frac{1}{2}B - 1</math> gdzie <math>W</math> oznacza liczbę punktów kraty leżących wewnątrz wielokąta, a <math>B</math> oznacza liczbę punktów kraty leżących na brzegu wielokąta. Dla wielokąta na rysunku obok mamy: <math>W=39,\ B=14</math> i ze wzoru Picka <math>P = 39+7-1=45 </math> Należy pamiętać, że powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur). W ogólnym przypadku "-1" we wzorze należy zastąpić przez "−χ(P)", gdzie χ(P) jest charakterystyką Eulera wielokąta P. Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta. Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów.
- Теорема Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел. Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна сумме В + Г/2 − 1, где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г количество целочисленных точек на границе многоугольника. Точка координатной плоскости называется целочисленной если обе её координаты целые. В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрические доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.
- 給定頂點座標均是整點（或正方形格點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關係：A = i + b/2 - 1。
|
| rdfs:comment
|
- Given a simple polygon constructed on a grid of equal-distanced points (i.e. , points with integer coordinates) such that all the polygon's vertices are grid points, Pick's theorem provides a simple formula for calculating the area A of this polygon in terms of the number i of interior points located in the polygon and the number b of boundary points placed on the polygon's perimeter: <math>A = i + \frac{b}{2} - 1.
- Der Satz von Pick, benannt nach dem österreichischen Mathematiker Georg Alexander Pick, beschreibt eine fundamentale Eigenschaft von einfachen Gitterpolygonen. Dies sind Vielecke, deren sämtliche Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. (Man denke sich ein Vieleck, welches auf Rechenpapier gemalt wird, mit den Eckpunkten nur in den Schnittpunkten des Gitters)
- Pickův vzorec mluví o obsahu mnohoúhelníku daného na mříži. Nese jméno rakouského matematika Georga Alexandera Picka. Obsah: <math>S = i + h/2 - 1</math> i - vnitřní body a h - hranové body (všechny vrcholy)
- El teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un polígono cuyos vértices tienen coordenadas enteras con el número de puntos en su interior y en su borde que tengan también coordenadas enteras. Un punto cuyas coordenadas sean enteras se conoce como punto entero. El teorema de Pick establece: Sea un polígono cuyos vértices tienen coordenadas enteras.
- Pickin lauseen avulla (tunnetaan myös nimellä Pickin kaava) voidaan laskea annetun monikulmion, jonka kärkipisteet ovat hilapisteissä, pinta-ala A, mikäli tiedetään monikulmion sisustan hilapisteiden lukumäärä i ja reunalla olevien hilapisteiden lukumäärä b. Pickin kaavan mukaan tällöin on voimassa A = i + ½b − 1. Kuvassa olevassa esimerkissä on i = 39 ja b = 14, joten monikulmion ala on A = 39 + ½(14) − 1 = 39 + 7 − 1 = 45.
- Soit un polygone construit sur une grille de points équidistants tel que tous ses sommets soient des points de la grille; le théorème de Pick fournit une formule simple pour calculer l'aire A de ce polygone en se servant du nombre i de points intérieurs du polygone et du nombre b de points du bord du polygone : <math>A = i + \frac{1}{2}. b - 1\,</math>.
- Considerato il piano a coordinate intere (x,y), individuato dall'insieme <math>\mathbb{Z}^{2}</math>, e un poligono i cui vertici appartengono a tale insieme (ovvero i cui vertici siano tutti a coordinate intere), il teorema di Pick fornisce una semplice formula per calcolare l'area di questo poligono.
- De formule van Pick is een elegante uitdrukking voor de oppervlakte van eenvoudige veelhoeken op een regelmatig rooster, d.w.z. van veelhoeken waarvan elk hoekpunt op een roosterpunt ligt. De oppervlakte A kan dan worden uitgedrukt in het aantal inwendige punten i en het aantal punten o op de omtrek. Er geldt: <math>A = i + {o \over 2} - 1</math> In het voorbeeld van de figuur is i = 39 en o = 14. De oppervlakte is dus: A = 39 + 14/2 - 1 = 45 (vierkantjes).
- Wzór Picka – praktyczny wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki znajdują się w punktach regularnej kwadratowej sieci na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe: <math>P = W + \frac{1}{2}B - 1</math> gdzie <math>W</math> oznacza liczbę punktów kraty leżących wewnątrz wielokąta, a <math>B</math> oznacza liczbę punktów kraty leżących na brzegu wielokąta.
- Теорема Пика — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел.
- 給定頂點座標均是整點（或正方形格點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積A和內部格點數目i、邊上格點數目b的關係：A = i + b/2 - 1。
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
