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- A Penrose tiling is a nonperiodic tiling generated by an aperiodic set of prototiles named after Sir Roger Penrose, who investigated these sets in the 1970s. Because all tilings obtained with the Penrose tiles are non-periodic, Penrose tilings are considered aperiodic tilings. Among the infinitely many possible tilings there are two that possess both reflection symmetry and fivefold rotational symmetry, as in the diagram at the right, and the term Penrose tiling usually refers to them. A Penrose tiling has many remarkable properties, most notably: It is nonperiodic, which means that it lacks any translational symmetry. More informally, a shifted copy will never match the original exactly. Any finite region in a tiling appears infinitely many times in that tiling and, in fact, in any other tiling. This property would be trivially true of a tiling with translational symmetry but is non-trivial when applied to the non-periodic Penrose tilings. It is a quasicrystal: implemented as a physical structure a Penrose tiling will produce Bragg diffraction; the diffractogram reveals both the underlying fivefold symmetry and the long range order. This order reflects the fact that the tilings are organized, not through translational symmetry, but rather through a process sometimes called "deflation" or "inflation. " Robert Ammann independently discovered the tiling at approximately the same time as Penrose. Various methods to construct the tilings have been proposed: matching rules, substitutions, cut and project schemes and covering.
- Eine Penrose-Parkettierung ist ein von Roger Penrose und Robert Ammann im Jahr 1973 entdeckte und 1974 publizierte Familie von sogenannten aperiodischen Kachel-Mustern, welche eine Ebene lückenlos parkettieren kann, ohne dass dabei ein Grundschema periodisch wiederholt werden müsste. Es gibt mehrere verschiedene Sätze von Penrose-Kacheln; das Bild rechts zeigt ein häufig gewähltes Beispiel. Es besteht aus zwei Rauten, die die gleichen Seitenlängen, aber unterschiedliche Eckwinkel haben: die erste Kachel, die dicke Raute, hat Eckwinkel von 72° und 108°, die zweite Kachel, die dünne Raute, hat Eckwinkel von 36° und 144°. Alle Winkel sind also Vielfache von 36°. Beide Kacheln stehen in Verbindung zum goldenen Schnitt, bei der dicken Raute hat die lange Diagonale die Länge <math>\tau = 1/2 \cdot \left(1 + \sqrt{5} \right)</math>, die Länge der kurzen Diagonale der dünnen Raute ist <math>1/\tau</math>. Das Flächenverhältnis der beiden Rauten ist ebenfalls <math>\tau</math>, ebenso das Anzahlverhältnis der bei der Parkettierung insgesamt verwendeten Kacheln. Beim Zusammenfügen der Kacheln muss beachtet werden, dass diese nicht beliebig aneinandergefügt werden dürfen. Das Anbringen von Ausbuchtungen und Einkerbungen an den Kacheln (wie bei Puzzleteilen) kann das ausschließlich korrekte Zusammenfügen sicherstellen, alternativ auch Farbmuster, die nur passend zusammengefügt werden dürfen. Aus ästhetischen Gründen wird die Parkettierung meist mit geraden Kanten dargestellt. Die oft fälschlich genannte Parallelogrammregel, die verbietet, dass zwei Kacheln so zusammengesetzt werden, dass sie gemeinsam ein Parallelogramm bilden, ist jedenfalls nicht ausreichend, um eine periodische Parkettierung zu verhindern. Beachtet man diese Regel, so erhält man viele verschiedene Parkettierungen der Ebene, d. h. Überdeckungen „ohne Löcher“, die sich unendlich fortsetzen lassen. Die Bilder zeigen zwei Beispiele, die darüber hinaus eine fünffache Rotationssymmetrie und fünf Spiegelsymmetrien aufweisen. Es gibt in diesen Mustern aber keine Translationssymmetrie, d. h. die Muster sind aperiodisch. Jedoch kann man zeigen, dass jeder endliche Ausschnitt eines solchen Musters sich unendlich oft wiederfindet (und zwar sogar auch in jeder anderen aus den gleichen Kacheln bestehenden Penrose-Parkettierung). Die Tatsache, dass es möglich ist, die Ebene mit einer aperiodischen Parkettierung zu überdecken, wurde zuerst 1966 (o. 1964) von Robert Berger bewiesen, der kurz darauf ein konkretes Beispiel mit 20426 verschiedenen Kacheln angeben konnte. In der Folge wurden immer kleinere Sätze von Kacheln für eine solche aperiodische Parkettierung angegeben, bis Penrose schließlich die Zahl der Kacheln auf zwei reduzieren konnte. Neben den erwähnten rhombischen Kacheln gibt es noch ein weiteres Paar von Kacheln, die eine aperiodische Parkettierung liefern, genannt „Drachen“ und „Pfeil“. Ob eine einzelne Kachelform existiert, mit der sich nur aperiodische Parkettierungen realisieren lassen, ist unbekannt. Aperiodische Parkettierungen wurden zuerst nur als interessante mathematische Struktur betrachtet, aber inzwischen wurden Materialien gefunden, in denen die Atome wie in Penrose-Kacheln angeordnet sind. Diese Materialien können keine periodischen Kristalle bilden, aber Quasikristalle, da sich die Muster „fast“ wiederholen.
- Una Teselación de Penrose o suelo de baldosas de Penrose es una teselación no periódica generada por un conjunto aperiódico de baldosas prototipo nombradas después por Roger Penrose, quien investigó esos conjuntos en la década de los 70s Debido a que todas las teselaciones obtenidas con las baldosas de Penrose no eran periódicas, las teselaciones de Penrose han sido consideradas como teselaciones aperiódicas Entre el infinito número de posibles teselaciones hay dos que poseen eje de simetría y una simetría rotacional de orden cinco, como en el diagrama mostrado a la derecha, y el término de Teselación de Penrose usualmente se refiere a esos Un teselación de Penrose tiene varias propiedades remarcables, la mayoría son notables: Es no periódica, lo cual significa que carece de simetría translacional alguna Para mayor información, una copia desplazada nunca concordará con el original de forma exacta Cualquier región finita en una teselación aparece un número infinito de veces en esa teselación y de hecho, en cualquier otra teselación Esta propiedad podría ser trivialmente verdadera en una teselación con simetría translacional, pero es no trivial cuando se aplica en las teselaciones no periódicas de Penrose Es un quasicristal: implementadolo como una estructura física una teselación de Penrose producirá una difracción de Braga, el difragtograma revela la simetría subyacente de orden cinco y el orden en un margen amplio Este orden refleja el factor por el cual la teselación está organizada, no a través de simetría rotacional, pero si a través de un proceso algunas veces llamado “deflación” o “inflación” Robert Ammann descubrió de forma independiente la teselación al mismo tiempo que Penrose Varios métodos para construir las teselaciones han sido propuestos, reglas para acomodo, sustitución, corte, esquemas de proyecto y conversión
- Les pavages de Penrose sont des pavages du plan découverts par le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose dans les années 70. Ce sont des pavages non périodiques caractérisables par des règles locales : s'ils ne sont historiquement pas les premiers à vérifier cette propriété, ils sont parmi les plus simples, et à ce titre largement étudiés (le premier tel pavage, construit par Robert Berger en 1966, comportait 20426 tuiles). Les 17 pavages périodiques du plan étaient connus de longue date quand Roger Penrose s'est intéressé aux pavages non périodiques. Son intention n'était pas d'ouvrir un nouveau champ des mathématiques et de la physique mais seulement de créer un divertissement mathématique. En 1974 il publia un article présentant un pavage du plan à l'aide de pentagones, de losanges, de pentagrammes et de portions de pentagrammes. Les pavages de Penrose présentent une symétrie d'ordre 5 (invariance par rotation d'angle 2π/5 radian, soit 72 degrés). Ils ne sont pas périodiques, c'est-à-dire qu'on ne peut les décrire comme un motif répété sur une grille régulière. Ils sont cependant quasi-périodiques, c'est-à-dire que tout motif apparaissant dans le pavage réapparaît régulièrement. Les pavages de Penrose ne seraient restés qu'un joli divertissement mathématique si n'avaient été découverts, en 1984, des matériaux présentant une structure fortement ordonnée comme celle des cristaux mais non périodique : les quasi-cristaux. Les pavages non périodiques, en particulier ceux de Penrose, s'avèrèrent alors un modèle plausible de ces étranges matériaux. Il existe trois types de pavages de Penrose, chacun comportant une infinité de variantes: Le premier type qu'on appelle P1, utilise comme pièces de base des pentagones, des losanges, des pentagrammes et des portions de pentagramme. Le second type ou P2 a pour pièces de base deux quadrilatères, l'un convexe, l'autre concave, connus comme "cerfs-volants" et fléchettes". Le troisième type, P3, a pour pièces de base deux sortes de losanges, "fins" et "gros". On s'est aperçu que fléchettes, cerf volants et losanges peuvent tous être construits à partir d'un paire de triangles d'or. Les pièces de P2, "cerfs-volants" et "fléchettes", sont obtenues respectivement par le collage de deux triangles d'or aigus de côtés proportionnels à [1;φ;φ] et par le collage de deux triangles d'or obtus de côtés proportionnels à [1;1;φ]. Celles de P3, les losanges fins et gros, par le collage de deux triangles d'or aigus de côtés proportionnels à [1;φ;φ] et par le collage de deux triangles d'or obtus de côtés proportionnels à [φ;φ;φ²]. Cette série de simplifications permet de considérer les triangles d'or comme prototypes des autres pièces et de dire qu'un type 'zéro' précède les autres.
- Penrose hatszöges csempéi A Penrose-féle csempézés az aperiodikus csempehalmazok (illetve az azokkal való csempézések) egy olyan csoportja, amit Roger Penrose (és tőle függetlenül Robert Ammann) fedezett fel. Penrose először 1973-ban talált egy 6 csempéből álló aperiodikus csempehalmazt. Ez akkoriban nagy előlrelépés volt, hiszen az első csempehalmazt, ami bizonyítottan aperiodikus volt, Berger 1966-ban találta, és 20426 csempéből állt. Ezek a csempék négyszögek voltak, melyeknek az oldalait úgy változtatták meg, hogy a periodicitást elkerüljék. Később sikerült lecsökkentenie a csempék számát 104-re, majd 92-re. Raphael M. Robinson 1971-ben egy 6 csempéből álló halmazt talált. Ez is hat módosított négyzetet tartalmazott. Penrose 6 csempéje szabályos hatszögekből állt, és csillag-szerű alakzatokból, ezzel megtörte a négyzetek egyeduralmát és azt a sejtést is megdöntötte, miszerint csak módosított négyzetekkel lehet nemperiodikusan lefedni a síkot.
- In geometria, una tassellatura di Penrose è uno schema di figure geometriche basate sulla sezione aurea, che permette di ottenere una tassellatura di superfici infinite in modo aperiodico. È stata scoperta da Roger Penrose e Robert Ammann nel 1974. Esistono più insiemi possibili di tasselli di Penrose. Uno dei più utilizzati è composto da due tasselli, ognuno ha quattro lati di lunghezza unitaria. Entrambi sono legati alla sezione aurea. Un tassello ha due angoli di 72° e due di 108°. L'altro tassello ha due angoli di 36° e due di 144°. In altre parole gli angoli sono tutti multipli di un decimo di angolo giro (360°), secondo i rapporti {2,2,3,3} e {1,1,4,4}. La coppia di tasselli può essere costruita a partire da un rombo avente angoli acuti di 72° ed angoli ottusi di 108°, si riporta uno dei lati sulla diagonale maggiore ed in questo modo si ottengono due segmenti che stanno tra loro in rapporto aureo. Unendo questo punto sulla diagonale con i vertici degli angoli ottusi, si ottengono i due tasselli voluti, chiamati dardo ed aquilone. I tasselli devono essere uniti rispettando un'unica regola: nessuna coppia di tasselli dev'essere unita in modo che formi un singolo parallelogramma. I tasselli possono essere modificati con rientranze e denti in modo da forzare l'applicazione della regola ma la tassellatura ha un aspetto migliore se i tasselli hanno i lati lisci. Data questa regola esiste una quantità non numerabile di modi per tassellare un piano infinito senza lasciare intervalli o buchi. Le immagini mostrano tassellature che rivelano una simmetria rotazionale a cinque movimenti, e cinque simmetrie assiali rispetto a cinque assi passanti per il centro. Però non esiste simmetria traslazionale: questo significa che le tassellature sono aperiodiche, lo schema non si ripete mai nello stesso modo. Comunque, data una regione di schema, per quanto sia grande, questa sarà ripetuta un numero infinito di volte nella tassellatura (e, in realtà, in ogni tassellatura di Penrose). Il fatto che sia possibile coprire il piano in modo non periodico da una tassellatura fu dimostrato, come proposizione generale, nel 1966 da Robert Berger, che poco dopo fornì il primo insieme di tasselli, formato da 20426 elementi distinti. Il numero di elementi di un insieme di tasselli che consentono una tassellatura aperiodica del piano fu poi ridotto da altri, raggiungendo il minimo di due, i tasselli di Penrose. Non si sa se esista un'unica forma in grado di tassellare il piano in modo non periodico ma non in grado di tassellarlo in modo periodico. Delle interessanti tassellature "alla Penrose" con più di due tasselli si possono facilmente generare usando tasselli con modulo angolare più piccolo, ad esempio 360/14° per figure con simmetria eptagonale (3 tasselli rombici secondo i rapporti {1,1,6,6}, {2,2,5,5} e {3,3,4,4}) oppure 360/18° per figure con simmetria ennagonale (4 tasselli rombici secondo i rapporti {1,1,8,8}, {2,2,7,7}, {3,3,6,6} e {4,4,5,5}), e così via, con evidente legge di generazione induttiva al crescere del modulo di simmetria. Il numero di tassellature diverse ottenibili cresce grandemente: infatti ciascun modo di copertura del piano si può generare a partire da un "seme" costituito dai tasselli in grado di coprire 360°, ovvero i cui moduli angolari concorrenti nello stesso punto abbiano per somma rispettivamente 10 (Penrose, es. 10x1, 2x5, 4+4+2, 3+3+3+1,... ), oppure 14 (14x1, 7x2, 5+5+4, 6+6+2, 4x3+2,... ) oppure 18, ecc. Le tassellature non periodiche vennero considerate, inizialmente, soltanto come strutture matematiche interessanti, ma si è scoperto in seguito che la disposizione degli atomi in alcuni materiali segue lo stesso schema di una tassellatura di Penrose. Questo schema non è periodico (non si ripete esattamente) ma è quasiperiodico, per questo motivo i materiali con questa caratteristica sono stati denominati quasicristalli. Recentemente è stato dimostrato che una tassellatura di Penrose è colorabile con tre colori.
- ペンローズ・タイルとは、イギリスの物理学者ロジャー・ペンローズが考案した平面充填形で二種類の菱形によるものである。正多角形を利用した充填の場合、周期的なパターンが現れるが、ペンローズ・タイルは、他の平面充填とは違い周期的なパターンがない、非周期的平面充填の一種であり、二種類のみを使う唯一のものである。使用する菱形の形は鋭角72°、鈍角108°のものと鋭角36°、鈍角144°のものを使う。また、これは等面菱形多面体による空間充填形の二次元の投影図にもなっている。 このペンローズ・タイルは無断でトイレットペーパーの図柄に使われ裁判沙汰になり、判決では不遜として使用禁止となった。特許となったペンローズ・タイルは、ペンタプレックス社がパズルとして商品化している。また近年、電気剃刀用の網刃として実用化されている。 長い間どうやって作られたのかわかっていなかったギリーと呼ばれる中世イスラム建築の幾何学模様が、ペンローズ・タイルになっていることを解明した論文が科学専門誌「サイエンス」（2007年2月）に掲載された
- Een Penrose-betegeling is een niet-periodieke betegeling, gegenereerd door een aperiodieke verzameling van "proto-tegels" en vernoemd naar Roger Penrose die deze verzamelingen in de jaren zeventig onderzocht. Aangezien alle betegelingen verkregen met de Penrose tegels niet-periodiek zijn, worden Penrose-betegelingen vaak, hoewel niet helemaal correct, aperiodieke betegelingen genoemd. Van de oneindig vele mogelijke betegelingen zijn er twee die zowel spiegelsymmetrie als vijfvoudige rotatiesymmetrie bezitten. De term Penrose-betegelingen refereert aan deze twee betegelingen.
- Parkietaż Penrose'a to sposób pokrycia płaszczyzny za pomocą dwóch rodzajów figur ("kafelków") tak aby wzór nie powtarzał się okresowo po przesunięciu. Odkryty w 1973 r. przez angielskiego fizyka i matematyka Rogera Penrose'a. Jest kilka rodzajów takiego parkietażu. Przedstawiony tutaj, jeden z częściej spotykanych, składa się z dwóch rodzajów rombów ("kafelków") o boku długości 1 każdy, zwanych popularnie "latawce i strzałki" (kites and darts). Jeden romb ("latawiec") ma kąty 72 i 108 stopni, drugi ma kąty 36 i 144 stopnie (nazwa "strzałka" stąd, że dwa takie romby złożone obok siebie tworzą charakterystyczną figurę). Parkietaż jest układany za pomocą następującej jedynej reguły: żadne dwa stykające się kafelki nie mogą tworzyć równoległoboku (romby można nieco zmodyfikować dodając "zęby" na obwodzie aby wymusić tę regułę automatycznie, ale parkietaż najlepiej wygląda w wersji "gładkiej"). Istnieje wiele (nieprzeliczalnie wiele) sposobów na ułożenie parkietażu bez dziur za pomocą tej reguły. Wszystkie jednak będą aperiodyczne (nieokresowe) ze względu na przesunięcia: po dowolnie wybranym przesunięciu wzór nigdy nie nałoży się na siebie. Tym niemniej, jeśli wybrać dowolny obszar ograniczony, wzór z tego obszaru będzie odtworzony nieskończenie wiele razy w całym (nieograniczonym) parkietażu (a także w każdym innym parkietażu ułożonym za pomocą tej reguły). Fakt, że można pokryć płaszczyznę w sposób nieokresowy był udowodniony w 1966 r. przez Roberta Bergera oraz Macieja Mende, którzy wkrótce potem podali konkretny sposób takiego pokrycia. Ich parkietaż zawierał 20 426 kafelków różnych kształtów. Inni stopniowo redukowali liczbę potrzebnych kafelków aż do osiągnięcia prostego parkietażu Penrose'a, który wymaga tylko dwóch kształtów. Parkietaż nieokresowy był początkowo uważany za interesującą strukturę matematyczną (abstrakcyjną), lecz później odkryto materiały w których atomy są ułożone tak jak w parkietażu Penrose'a. Wzór nie jest periodyczny na przesunięcia, ale quasi-periodyczny (prawie powtarzający się). Stąd też nazwa tych materiałów - "kwazikryształy".
- Penrosetesselation är en aperiodisk tessellation med aperiodiska plattor uppkallad efter den engelske matematikern Roger Penrose som undersökte dem under 1970-talet. Penrose arbetade också mycket med matematikern John Conway när det gällde Penrosetessellationerna. En annan matematiker som arbetat mycket med Penrosetessellationer är Robert Ammann som helt oberoende av Penrose upptäckte Penroses tredje set. Att Penrosetessellationen är aperiodisk innebär att om man fyller ett euklidiskt plan med plattor som inte överlappar varandra så kan man inte hitta exakt samma mönster igen om man förflyttar plattläggningen. Att plattorna är aperiodiska betyder att de endast kan användas till att bilda en aperiodisk tessellation. Penrosetessellation har dessutom fler egenskaper. En är att om man skulle lägga ut en Penrosetessellation på ett oändligt stort plan och sedan välja ett ändligt område så kan man återfinna detta område ett oändligt antal gånger på denna tessellation och alla andra tessellationer med samma plattor.
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