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- In mathematical logic, the Peano axioms, also known as the Dedekind–Peano axioms or the Peano postulates, are a set of axioms for the natural numbers presented by the 19th century Italian mathematician Giuseppe Peano. These axioms have been used nearly unchanged in a number of metamathematical investigations, including research into fundamental questions of consistency and completeness of number theory. The need for formalism in arithmetic was not well appreciated until the work of Hermann Grassmann, who showed in the 1860s that many facts in arithmetic could be derived from more basic facts about the successor operation and induction. In 1888, Richard Dedekind proposed a collection of axioms about the numbers, and in 1889 Peano published a more precisely formulated version of them as a collection of axioms in his book, The principles of arithmetic presented by a new method . The Peano axioms contain three types of statements. The first four statements are general statements about equality; in modern treatments these are often considered axioms of pure logic. The next four axioms are first-order statements about natural numbers expressing the fundamental properties of the successor operation. The ninth, final axiom is a second order statement of the principle of mathematical induction over the natural numbers. A weaker first-order system called Peano arithmetic is obtained by replacing this second-order induction axiom with a first-order axiom schema.
- Els axiomes de Peano (o postulats de Peano) són un conjunt d'axiomes de segon ordre que defineixen de manera exacta la teoria dels nombres naturals. Varen ser establerts l'any 1889 per Giuseppe Peano, matemàtic italià,, a l'article Arithmetices principia, nova methodo exposita ("Els principis de l'aritmètica, presentats per un nou mètode"). La teoria de primer ordre que sorgeix d'aquests axiomes s'anomena Aritmètica de Peano (PA). Els axiomes de Peano serveixen per construir molts dels conjunts de sistemes numèrics (nombres enters, racionals, reals, complexes,... ), i les estructures matemàtiques que s'utilitzen avui en dia. L'aritmètica de Peano constitueix el punt fonamental per al formalisme de l'aritmètica.
- V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou <math>\mathbb{N}_0 Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s <math>\mathbb{N}_0 Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.
- Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para los números naturales introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la teoría de números. Los axiomas de Peano no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caracterizen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica. Los cinco axiomas de Peano son los siguientes El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. El 1 no es el sucesor de ningún número natural. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática. Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores El 0 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. El 0 no es el sucesor de ningún número natural. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.
- Peanon aksioomat ovat matematiikassa italialaisen matemaatikko Giuseppe Peanon esittämät yhdeksän aksioomaa, jotka määrittävät luonnolliset luvut. Aksioomat perustuvat funktioon S, jolle S(a)=a+1 (merkitään myös Sa=a+1) kaikilla luonnollisilla luvuilla a. Peanon aksioomat ovat: 0 on luonnollinen luku. Jokainen luonnollinen luku on yhtä suuri itsensä kanssa eli yhtäsuuruusrelaatio on refleksiivinen. Jokaiselle luonnollisille luvuille a ja b a=b, jos ja vain jos b=a (yhtäsuuruusrelaatio on symmetrinen). Luonnollisille luvuille a, b ja c, jos a=b ja b=c, on a=c (yhtäsuuruusrelaatio on transitiivinen). Jos a = b ja b on luonnollinen luku, a on luonnollinen luku. Jos a on luonnollinen luku, on Sa luonnollinen luku. Jos a ja b ovat luonnollisia lukuja, a=b, jos ja vain jos Sa = Sb. Jos a on luonnollinen luku, Sa ≠ 0. Jokaiselle joukolle K, jos 0 kuuluu K:hon ja jokaisen K:ssa olevan alkion a seuraaja Sa kuuluu K:hon, jokainen luonnollinen luku kuuluu K:hon.
- Les axiomes de Peano sont, en mathématiques, un ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique.
- Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente: Esiste un numero naturale, 0 (o 1) Ogni numero naturale ha un numero naturale successore Numeri diversi hanno successori diversi 0 (o 1) non è il successore di alcun numero naturale Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione) Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano sottindende anche gli assiomi logici che gli permettono di operare con la logica simbolica.
- ペアノの公理（ペアノのこうり、Peano axioms） とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された為、現在の名にいたる。
- In de wiskundige logica zijn de axioma's van Peano (ook bekend als de axioma's van Dedekind-Peano of de postulaten van Peano) een verzameling van axioma's voor de natuurlijke getallen door de 19e-eeuwse Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano. Deze axioma's zijn in vrijwel onveranderde vorm in een aantal metawiskundige onderzoekingen gebruikt, waaronder fundamenteel onderzoek naar de consistentie en volledigheid van de getaltheorie. De behoefte aan formalisme in de rekenkunde werd niet op waarde geschat tot het werk van Hermann Grassmann, die in de jaren 1860 liet zien dat vele feiten in de rekenkunde kunnen worden afgeleid uit fundamentele feiten over de opvolgeroperatie en inductie. In 1888 stelde Richard Dedekind een collectie van axioma's over de getallen voor en in 1889 publiceerde Peano een meer precies geformuleerde versie van hen als een collectie van axioma's in zijn boek, De beginselen van de rekenkunde op een nieuwe methode gepresenteerd . De axioma's van Peano bevatten drie typen ven uitspraken. De eerste vier uitspraken zijn algemene uitspraken over gelijkheid; in moderne behandelingen worden deze uitspraken vaak gezien als axioma's van pure logica. De volgende vier axioma's zijn eerste-orde uitspraken over de natuurlijke getallen, die de fundamentele eigenschappen van de opvolgeroperatie uitdrukken. Het negende en laatste axioma is een tweede orde uitspraak over het beginsel van de wiskundige inductie over de natuurlijke getallen. Een zwakker eerste-orde systeem, dat Peano-rekenkunde wordt genoemd, wordt verkregen door dit tweede-orde inductie-axioma te vervangen door een eerste-orde axiomaschema.
- Em seu livro "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" de 1889 Peano estabelece nove axiomas para a aritmética. Quatro destes são verdades acerca da igualdade, mas os outros cinco são os postulados especiais seguintes: 1. Existe um número natural 0; 2. Todo número n tem um sucessor n' no conjunto dos números naturais (<math>\mathbb{N}</math>) 3. Não existe nenhum número natural que tenha como sucessor o número 0; 4. Se n≠m então n'≠m'; 5. Se 0 tem uma propriedade e esta propriedade também é possuida pelo sucessor de todos os números naturais que a possuem, então ela é possuída por todos os números naturais (Este axioma permite a técnica de demonstração conhecida com indução matemática). Observe-se que o que é chamado de "0" aqui não é necessariamente o que normalmente consideramos o número zero. Um modelo para os axiomas de Peano é o que conhecemos por conjunto dos números naturais ({0,1,2,3,4,5,... }) com a operação de sucessão definida como n' = n + 1, mas a definição acima é genérica e pode ser aplicada a outros conjuntos (por exemplo, o conjunto das potências de 10 {1, 10, 100, ... } com "0" = 1 e o sucessor n' = 10 n) Sistema axiomático Número natural Teoria dos números
- Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.
- 皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
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- In mathematical logic, the Peano axioms, also known as the Dedekind–Peano axioms or the Peano postulates, are a set of axioms for the natural numbers presented by the 19th century Italian mathematician Giuseppe Peano. These axioms have been used nearly unchanged in a number of metamathematical investigations, including research into fundamental questions of consistency and completeness of number theory.
- Els axiomes de Peano (o postulats de Peano) són un conjunt d'axiomes de segon ordre que defineixen de manera exacta la teoria dels nombres naturals. Varen ser establerts l'any 1889 per Giuseppe Peano, matemàtic italià,, a l'article Arithmetices principia, nova methodo exposita ("Els principis de l'aritmètica, presentats per un nou mètode"). La teoria de primer ordre que sorgeix d'aquests axiomes s'anomena Aritmètica de Peano (PA).
- V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou <math>\mathbb{N}_0 Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika.
- Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para los números naturales introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud en la teoría de números.
- Peanon aksioomat ovat matematiikassa italialaisen matemaatikko Giuseppe Peanon esittämät yhdeksän aksioomaa, jotka määrittävät luonnolliset luvut. Aksioomat perustuvat funktioon S, jolle S(a)=a+1 (merkitään myös Sa=a+1) kaikilla luonnollisilla luvuilla a. Peanon aksioomat ovat: 0 on luonnollinen luku. Jokainen luonnollinen luku on yhtä suuri itsensä kanssa eli yhtäsuuruusrelaatio on refleksiivinen.
- Les axiomes de Peano sont, en mathématiques, un ensemble d'axiomes de second ordre proposés par Giuseppe Peano pour définir l'arithmétique.
- Gli Assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali.
- ペアノの公理（ペアノのこうり、Peano axioms） とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された為、現在の名にいたる。
- In de wiskundige logica zijn de axioma's van Peano (ook bekend als de axioma's van Dedekind-Peano of de postulaten van Peano) een verzameling van axioma's voor de natuurlijke getallen door de 19e-eeuwse Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano. Deze axioma's zijn in vrijwel onveranderde vorm in een aantal metawiskundige onderzoekingen gebruikt, waaronder fundamenteel onderzoek naar de consistentie en volledigheid van de getaltheorie.
- Em seu livro "Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita" de 1889 Peano estabelece nove axiomas para a aritmética. Quatro destes são verdades acerca da igualdade, mas os outros cinco são os postulados especiais seguintes: 1. Existe um número natural 0; 2. Todo número n tem um sucessor n' no conjunto dos números naturais (<math>\mathbb{N}</math>) 3. Não existe nenhum número natural que tenha como sucessor o número 0; 4. Se n≠m então n'≠m'; 5.
- Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику.
- 皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
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