In mathematics, Painlevé transcendents are solutions to certain nonlinear second-order ordinary differential equations in the complex plane with the Painlevé property (the only movable singularities are poles), but which are not generally solvable in terms of elementary functions. They are named for the French mathematician (and prime minister) Paul Painlevé who found them around 1900.
| Property | Value |
|---|
| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, Painlevé transcendents are solutions to certain nonlinear second-order ordinary differential equations in the complex plane with the Painlevé property (the only movable singularities are poles), but which are not generally solvable in terms of elementary functions. They are named for the French mathematician (and prime minister) Paul Painlevé who found them around 1900.
- Painlevén yhtälöt ovat kuudesta toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä muodostuva joukko. Ne kuvasi ensimmäisenä ranskalainen matemaatikko Paul Painlevé vuosina 1893–1902. Painlevé luokitteli toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä löytääkseen niiden ratkaisuna esiintyviä uusia erikoisfunktioita. Luokittelussaan hän päätyi tulokseen, että kaikki polynomikertoimiset toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan sopivin muunnoksin jakaa viiteenkymmeneen kanoniseen muotoon. Edelleen kävi ilmi, että 44 näistä kanonisista muodoista "redusoituu" siten, että ne voitiin ratkaista käyttämällä silloin tunnettuja erikoisfunktioita. Kuusi yhtälöä jäi siis vaille tunnettua ratkaisua. Niiden ratkaisut tunnetaan nykyisin Painlevén transkendentteinä. Nämä yhtälöt ovat I: <math>\frac{d^2y}{dt^2} = 6 y^2 + \lambda t </math> II: <math>\frac{d^2y}{dt^2} = 2 y^3 + ty + \mu </math> III: <math>ty\frac{d^2y}{dt^2} = t \left(\frac{dy}{dt} \right)^2 -y\frac{dy}{dt} + at + by + cy^3 + dty^4 </math> IV: <math>y\frac{d^2y}{dt^2}= \frac{1}{2} \left(\frac{dy}{dt} \right)^2 -\frac{1}{2}a^2+2(t^2-b)y^2+4ty^3+\frac{3}{2}y^4</math> V: <math>t^2(y-y^2)\frac{d^2y}{dt^2}= \frac{1}{2}t^2(1-3y) \left(\frac{dy}{dt} \right)^2 -t y (1-y) \frac{dy}{dt} +a y^2 (1-y)^3 + b (1-y)^3 + c ty (1-y) + e t^2 y^2(1+y)</math> VI: <math>\frac{d^2y}{dt^2}= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-t}\right)\left(\frac{dy}{dt} \right)^2 -\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t-1}+\frac{1}{y-t}\right)\frac{dy}{dt} + \frac{y(y-1)(y-t)}{t^2(t-1)^2} \left(\alpha+\beta\frac{t}{y^2}+\gamma\frac{t-1}{^2}+\delta\frac{t}{^2}\right) </math> Yhtälöt I–III julkaisi Painlevé, IV–V hänen oppilaansa B. Gambier ja viimeisen yhtälön Richard Fuchs. Yhtälöistä kolmella ensimmäisella kaikki singulariteetit ovat liikkuvia, kun kolmella jälkimmäisellä on myös kiinteitä singulariteettejä.
- 以下の 6つの方程式をパンルヴェ方程式という。 {{Indent| <math>P_{\rm I}:\frac{d^2y}{dx^2} = 6y^2+x</math> <math>P_{\rm II}:\frac{d^2y}{dx^2} = 2y^3+xy+\alpha</math> <math>P_{\rm III}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\left(\alpha y^2+\beta\right)+\gamma y^3+\frac{\delta}{y}</math> <math>P_{\rm IV}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{3}{2}y^3+4xy^2+2\left(x^2-\alpha\right)+\frac{\beta}{y}</math> <math>P_{\rm V}:\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{1}{2y}+\frac{1}{y-1}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{(y-1)^2}{x^2}\left(\alpha y+\frac{\beta}{y}\right)+c\frac{y}{x}+\delta\frac{y(y+1)}{y-1}</math> <math>P_{\rm VI}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-x}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-x}\right)\frac{dy}{dx}</math> <math>+\frac{y(y-1)(y-x)}{x^2(x-1)^2}\left[\alpha+\beta\frac{x}{y^2}+\gamma\frac{x-1}{(y-1)^2}+\delta\frac{x(x-1)}{(y-x)^2}\right]</math> ※α、β、γ、δ は複素定数であり PI 等は、方程式の名前である。
- Inom matematiken, närmare bestämt inom teorin för komplexa differentialekvationer är Painlevétranscendenterna en klass av differentialekvationer vars lösningar kan användas för att uttrycka lösningarna till samtliga komplexa differentialekvationer med rationella koeffecienter sådana att deras rörliga singularieter är poler.
|
| dbpprop:harvtxtProperty
|
- Nishioka
- 1988 (xsd:integer)
|
| dbpprop:hasPhotoCollection
| |
| dbpprop:reference
| |
| dbpprop:relatedInstance
| |
| dbpprop:wikiPageUsesTemplate
| |
| rdf:type
| |
| rdfs:comment
|
- In mathematics, Painlevé transcendents are solutions to certain nonlinear second-order ordinary differential equations in the complex plane with the Painlevé property (the only movable singularities are poles), but which are not generally solvable in terms of elementary functions. They are named for the French mathematician (and prime minister) Paul Painlevé who found them around 1900.
- Painlevén yhtälöt ovat kuudesta toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä muodostuva joukko. Ne kuvasi ensimmäisenä ranskalainen matemaatikko Paul Painlevé vuosina 1893–1902. Painlevé luokitteli toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä löytääkseen niiden ratkaisuna esiintyviä uusia erikoisfunktioita.
- Inom matematiken, närmare bestämt inom teorin för komplexa differentialekvationer är Painlevétranscendenterna en klass av differentialekvationer vars lösningar kan användas för att uttrycka lösningarna till samtliga komplexa differentialekvationer med rationella koeffecienter sådana att deras rörliga singularieter är poler.
|
| rdfs:label
|
- Painlevé transcendents
- Painlevén yhtälöt
- パンルヴェ方程式
- Painlevétranscendenter
|
| owl:sameAs
| |
| skos:subject
| |
| foaf:page
| |
| is dbpprop:disambiguates
of | |
| is dbpprop:redirect
of | |
| is owl:sameAs
of | |
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
