In set theory, an ordinal number, or ordinal, is one generalization of the concept of a natural number that is used to describe a way to arrange a collection of objects in order, one after another. Any finite collection of objects can be put in order just by the process of counting: labeling the objects with distinct whole numbers. Ordinal numbers are thus the "labels" needed to arrange collections of objects in order.

Property Value
dbo:abstract
  • { (ar)
  • Ordinalzahlen sind mathematische Objekte, die das Konzept der Position oder des Index’ eines Elementes in einer Folge auf Wohlordnungen über beliebigen Mengen verallgemeinern. Positionen in Folgen werden als natürliche Zahlen aufgefasst (sprachlich durch die Ordinalia erstes, zweites, drittes, … Element ausgedrückt), welche die endlichen Ordinalzahlen bilden. Entscheidend bei dieser Verallgemeinerung ist, dass wie bei Folgen eine kleinste Position (die Ordinalzahl Null) existiert und jedes Element (mit Ausnahme eines eventuell vorhandenen letzten Elements) einen eindeutigen Nachfolger hat. Da totale Anordnungen, die diese Bedingungen erfüllen, immer noch sehr verschiedene Strukturen haben können, führt man als zusätzliche Bedingung ein, dass es zu jeder nichtleeren Teilmenge von Indizes einen minimalen Index geben soll, und gelangt so zu Wohlordnungen. Ordinalzahlen erlauben die Verallgemeinerung der auf Folgen beschränkten Beweisverfahren der vollständigen Induktion auf beliebig große Mengen oder auch echte Klassen, sofern sie sich wohlordnen lassen, mittels des Verfahrens der transfiniten Induktion. Die Beschreibung der Größe einer Menge, naiv gesprochen der Anzahl ihrer Elemente, führt im Gegensatz dazu zu dem Begriff Kardinalzahl (eins, zwei, drei, …). Georg Cantor hatte die Idee, wie man die beiden Konzepte – Zahl als Größe und Zahl als Index – innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann; denn während sie für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Kardinalzahlen werden dabei als spezielle Ordinalzahlen definiert. Die Gesamtheit der Ordinalzahlen, die man meistens mit oder bezeichnet, bildet in der modernen Mengenlehre – genauso wie die Gesamtheit der Kardinalzahlen – keine Menge, sondern eine echte Klasse. Für viele dieser Überlegungen (wie etwa transfinite Induktion und die Definition von Kardinalzahlen als Ordinalzahlen) ist das Auswahlaxiom bzw. der dazu äquivalente Wohlordnungssatz vonnöten. Ordinalzahlen sind von besonderer Bedeutung für die Mengenlehre, in anderen Gebieten der Mathematik werden auch andere verallgemeinerte Indizierungen verwendet, etwa in Netzen und Filtern, die von besonderer Bedeutung für die Topologie sind und über anderen Ordnungen als Wohlordnungen operieren, insbesondere verallgemeinern diese im Gegensatz zu Ordinalzahlen das für Folgen wichtige Konzept der Konvergenz. (de)
  • En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre (en) d'un ensemble bien ordonné quelconque. Comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession. Georg Cantor a été amené (lors de ses travaux sur les séries trigonométriques) à nommer de même le concept qu'il avait introduit à cette occasion pour caractériser le type d'ordre des ensembles qu'il rencontrait, de façon plus précise qu'en les mesurant par leur cardinalité (leur « nombre d'éléments »). Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s'identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, mais, dans le cas des ensembles infinis, ce n'est plus vrai : tous les cardinaux sont encore identifiables à des ordinaux, mais la réciproque est fausse. (fr)
  • En teoría de conjuntos, un número ordinal, o simplemente ordinal, es un representante del tipo de orden de un conjunto bien ordenado. De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados. Fueron introducidos por Georg Cantor en 1897. Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los números naturales 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son isomorfos en cuanto al orden. Al primer ordinal infinito se le denota ω. En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distinción más fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito numerable ℵ0, existen infinitos ordinales infinitos y numerables: que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales. (es)
  • In matematica, i numeri ordinali costituiscono un'estensione dei numeri naturali che tiene conto anche di successioni infinite, introdotta da Georg Cantor nel 1897. Questa generalizzazione è l'oggetto della presente pagina. (it)
  • 数学でいう順序数(じゅんじょすう、英: ordinal number)とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数を拡張させた概念である。 (ja)
  • Een ordinaalgetal of ordinaal geeft de positie van een element in een rij van elementen aan. De ordinaalgetallen vormen een uitbreiding van de natuurlijke getallen. Eindige ordinaalgetallen zijn natuurlijke getallen, 0,1,2... Het eerste oneindige ordinaalgetal is . Ordinaalgetallen werden in 1897 door Georg Cantor ingevoerd om oneindige rijen te accommoderen en om aan te kunnen geven hoe geordende verzamelingen zich tot elkaar verhouden. In de verzamelingenleer is een ordinaalgetal (of gewoon een ordinaal) het ordetype van een welgeordende verzameling. Ordinalen worden meestal geïdentificeerd met erfelijke transitieve verzamelingen. Ordinalen zijn een uitbreiding van de natuurlijke getallen, die echter zowel van de gehele getallen en van de kardinaalgetallen verschillen. Net als andere soorten getallen kunnen ordinalen worden opgeteld, vermenigvuldigd, en geëxponentieerd. De eindige ordinalen (en de eindige kardinalen) zijn de natuurlijke getallen: 0, 1, 2, ..., dit aangezien elke twee totaalordeningen van een eindige verzameling orde-isomorf zijn. De minst oneindige ordinaal is ω, welk ordinaalgetal wordt geïdentificeerd met het kardinaalgetal . Maar in de transfiniete geval, verder dan ω, maken ordinaalgetallen op grond van hun orde-informatie een fijner onderscheid dan kardinalen. Terwijl er slechts één aftelbare oneindige kardinaal, namelijk zelf is, zijn er oneindig veel niet-aftelbare oneindige ordinalen, namelijk ω, ω + 1, ω + 2, ..., ω · 2, ω·2 + 1, ..., ω2, ..., ω3, ..., ωω, ..., ωωω, ..., ε0, ... en zo verder. Hier zijn optellen en vermenigvuldigen niet commutatief: in het bijzonder is "1 + ω" gelijk aan ω en niet aan "ω + 1", terwijl "2·ω" gelijk is aan ω en niet aan "ω·2". De verzameling van alle aftelbare ordinaalgetallen vormt de eerste onaftelbare ordinaal, ω1, die wordt geïdentificeerd met de kardinaal (de eerstvolgende kardinaal na ). Welgeordende kardinalen worden geïdentificeerd met hun initiële ordinalen, dat wil zeggen de kleinste ordinaal van die kardinaliteit. De kardinaliteit van een ordinaalgetal definieert een "een-op-meer-associatie" van kardinalen naar ordinalen. In het algemeen heeft elk ordinaal α het ordetype van de verzameling van ordinalen die strikt genomen kleiner zijn dan α zelf. Deze eigenschap laat toe dat elke ordinaal kan worden weergegeven als een verzameling van alle ordinalen kleiner dan zichzelf. Ordinale kunnen als volgt worden gecategoriseerd: nul, opvolgerordinalen, en limietordinalen (van verschillende cofinaliteiten). Gegeven een klasse van ordinalen, kan men het α-ste lid van die klasse identificeren, dat wil zeggen dat men de ordinalen in deze klasse kan indexeren (tellen). Een klasse is gesloten en onbegrensd als haar indexeringsfunctie continu is en nooit stopt. De Cantor-normaalvorm geeft elke ordinaal uniek weer als een eindige som van ordinaalmachten van ω. Dit kan echter niet de basis vormen voor een universele ordinaalnotatie, dit als gevolg van zulke zelf-referentiële weergaven als . Grotere en grotere ordinalen kunnen worden gedefinieerd, maar ze worden steeds moeilijker te beschrijven. Elke ordinaal kan worden omgezet in een topologische ruimte door de ordinaal uit te rusten met een ordetopologie; deze topologie is slechts dan en slechts dan discreet als de ordinaal tevens een telbaar kardinaalgetal is, wat wil zeggen voor de meeste ω. Een deelverzameling van ω + 1 is open in de ordetopologie dan en slechts dan als deze deelverzameling cofiniet is of wanneer element ω er zelf geen deel van uitmaakt. (nl)
  • Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków. Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków). (pl)
  • Na teoria dos conjuntos, um número ordinal, ou só ordinal, é o tipo de ordem de um conjunto bem-ordenado. Eles são usualmente identificados com conjuntos hereditariamente transitivos. Ordinais são uma extensão dos Números Naturais diferentes dos inteiros e dos cardinais. Como outros tipos de números, ordinais podem ser somados, multiplicados e exponenciados. Os ordinais foram apresentados por Georg Cantor en 1883 para acomodar sequências infinitas e para classificar conjuntos com certos tipos de estruturas de ordem neles. Ele os derivou por acidente, enquanto trabalhava num problema que envolvia séries trigonométricas – veja em Georg Cantor. Os ordinais finitos (e cardinais finitos) são os números naturais: 0, 1, 2..., já que quaisquer duas ordens de um conjunto finito são isomórficas de ordem. O menor ordinal infinito é o ω, que é identificado com o número cardinal . Entretanto, no caso transfinito, além de ω, ordinais elaboram uma distinção mais refinada do que os cardinais na contagem de suas informações de ordem. Enquanto há somente um cardinal infinito contável, que é o , há incontáveis ordinais infinitos contáveis, que são ω, ω + 1, ω + 2, …, ω•2, ω•2 + 1, …, ω2, …, ω3, …, ωω, …, ωωω, …, ε0, …. Aqui, adição e multiplicação não são comutativas: em particular, 1+ ω é ω, ao contrário de ω+1, assim como 2* ω é ω, enquanto ω*2 não é. O conjunto de todos os ordinais contáveis constitui o primeiro ordinal incontável ω1, que é identificado como cardinal (próximo cardinal após o ). Cardinais bem-ordenados são identificados com seus ordinais iniciais, ou seja, o menor ordinal daquela cardinalidade. A cardinalidade de um ordinal é a associação de ordinais com cardinais. Em geral, cada ordinal α é o tipo de ordem do conjunto de ordinais estritamente menores que o ordinal, o próprio α. Esta propriedade permite que todo ordinal seja representado como o conjunto de todos os ordinais menores que ele. Ordinais podem ser categorizados como: zero, ordinais sucessor e ordinais limite (de várias cofinalidades). Dada uma classe de ordinais, pode-se identificar um α-ésimo membro daquela classe, ou seja, pode-se indexá-los (conta-los). Tal classe é fechada e não-limitada se sua função de indexação é contínua e nunca para. A foma normal de Cantor representa unicamente cada ordinal como um somatório finito de potências ordinais de ω. Entretanto, isto não pode forma a base da notação universal dos ordinais devido a tal representação auto referencial, como ε0 = ωε0. Ordinais cada vez maiores podem ser definidos, mas eles ficam mais e mais difíceis de descrever. Qualquer número ordinal pode ser transformado em um espaço topológico por atribuí-lo com a topologia de ordem; esta topologia é discreta se e somente se o ordinal é um cardinal contável, ou seja, no máximo ω. Um subconjunto de ω+1 é aberto na topologia de ordem se e somente se ou ele é cofinito ou ele não contém ω como elemento. (pt)
  • В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции. Порядковые числа были введены Георгом Кантором в 1883 году как способ описания бесконечных последовательностей, а также классификации множеств, обладающих определенной упорядоченной структурой. Он случайно открыл порядковые числа, работая над задачей, связанной с тригонометрическими рядами. Множества и обладают одинаковой мощностью, если между ними можно установить биективное соответствие (то есть указать такую функцию , которая одновременно является инъективной и сюръективной: каждому из соответствует единственное из , а каждое из является образом единственного из ). Предположим, что на множествах и заданы частичные порядки и соответственно. Тогда частично упорядоченные множества и называются изоморфными с сохранением порядка, если существует биективное отображение , при которой заданный порядок сохраняется. Иначе говоря, тогда и только тогда, когда . Любое вполне упорядоченное множество изоморфно с сохранением порядка по отношению к естественно упорядоченному множеству порядковых чисел, меньших некоторого определенного ординала (равного порядковому типу ). Конечные порядковые (и кардинальные) числа представляют собой числа натурального ряда: 0, 1, 2, …, поскольку два любых полных упорядочения конечного множества изоморфны с сохранением порядка. Наименьшее бесконечно большое порядковое число отождествляется с кардинальным числом . Однако в случае трансфинитных чисел, больших , ординалы — по сравнению с кардинальными числами — позволяют выразить более тонкую классификацию множеств, основанную на информации об их упорядоченности. В то время как все счетные множества описываются одним кардинальным числом, равным , число счетных ординалов бесконечно велико и притом несчетно: В данном случае сложение и умножение не обладают свойством коммутативности: так, совпадает с , но отличается от ; аналогично , но не равно . Множество всех счетных ординалов образует первое несчетное порядковое число , соответствующее кардинальному числу (следующее число после ). Вполне упорядоченные кардинальные числа отождествляются с их начальными ординалами, то есть минимальными ординалами соответствующей мощности. Мощность порядкового числа задает между классами порядковых и кардинальных чисел соответствие по типу «многие к одному». Обычно произвольный ординал определяется как порядковый тип множества ординалов, строго меньших . Данное свойство позволяет представить любое порядковое число в виде множества ординалов, строго меньших его самого. Все порядковые числа можно разбить на три категории: нуль, следующее порядковое число и предельное порядковое число (последние различаются своей конфинальностью). Для заданного класса порядковых чисел можно указать его -й элемент — иначе говоря, элементы класса можно проиндексировать (сосчитать). Такой класс будет замкнутым и неограниченным при условии, что функция индексирования непрерывна и никогда не останавливается. Нормальная форма Кантора позволяет единственным образом представить любое порядковое число в виде конечной суммы порядковых степеней . Тем не менее, такая форма не может использоваться в качестве основы для универсальной системы обозначения порядковых чисел из-за наличия в ней автореферентных представлений: например, . Можно определять все более крупные порядковые числа, однако по мере роста их описание усложняется. Любое порядковое число можно представить в виде топологического пространства, приписав ему порядковую топологию. Такая топология будет дискретной, тогда и только тогда, когда соответствующий ординал не превышает счётного кардинального числа, то есть меньше или равен . Подмножество будет открытым в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно является кофинитным или не содержит в качестве элемента. (ru)
  • 數學上,序數是自然數的一種擴展,跟整數與基數不同,著重的是次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入,用來考慮無窮序列,並用來對具有序结构的無窮集進行分類。 (zh)
  • In set theory, an ordinal number, or ordinal, is one generalization of the concept of a natural number that is used to describe a way to arrange a collection of objects in order, one after another. Any finite collection of objects can be put in order just by the process of counting: labeling the objects with distinct whole numbers. Ordinal numbers are thus the "labels" needed to arrange collections of objects in order. An ordinal number is used to describe the order type of a well ordered set. An ordinal number can only be used to describe the order type of a well ordered set and not the order type of a well ordered proper class. A well ordered set is a set is a set with a relation > such that * For any elements x and y, exactly one of these statements is true * x > y * y = x * y > x * For any elements x, y, z, if y > x and z>y, z > x * Every nonempty subset has a least element, that is, it has an element x such that no element that is < x is in the subset, where y < x is another way of saying x > y. Two well ordered sets have the same order type if and only if there's a bijection from one to the other that converts the relation in the first one to the relation in the second one. Ordinals are distinct from cardinal numbers, which are useful for saying how many objects are in a collection. Although the distinction between ordinals and cardinals is not always apparent in finite sets (one can go from one to the other just by counting labels), different infinite ordinals can describe the same cardinal (see Hilbert's grand hotel). Like other kinds of numbers, ordinals can be added, multiplied, and exponentiated, although the addition and multiplication are not commutative. Ordinals were introduced by Georg Cantor in 1883 to accommodate infinite sequences and to classify derived sets, which he had previously introduced in 1872 while studying the uniqueness of trigonometric series. (en)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 26547932 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 743504617 (xsd:integer)
dbp:id
  • p/o070180
dbp:title
  • Ordinal Number
  • Ordinal number
dbp:urlname
  • OrdinalNumber
dct:subject
http://purl.org/linguistics/gold/hypernym
rdfs:comment
  • { (ar)
  • In matematica, i numeri ordinali costituiscono un'estensione dei numeri naturali che tiene conto anche di successioni infinite, introdotta da Georg Cantor nel 1897. Questa generalizzazione è l'oggetto della presente pagina. (it)
  • 数学でいう順序数(じゅんじょすう、英: ordinal number)とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数を拡張させた概念である。 (ja)
  • Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków. Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków). (pl)
  • 數學上,序數是自然數的一種擴展,跟整數與基數不同,著重的是次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。 超限序数是由數學家格奥尔格·康托尔于1897年引入,用來考慮無窮序列,並用來對具有序结构的無窮集進行分類。 (zh)
  • Ordinalzahlen sind mathematische Objekte, die das Konzept der Position oder des Index’ eines Elementes in einer Folge auf Wohlordnungen über beliebigen Mengen verallgemeinern. Positionen in Folgen werden als natürliche Zahlen aufgefasst (sprachlich durch die Ordinalia erstes, zweites, drittes, … Element ausgedrückt), welche die endlichen Ordinalzahlen bilden. Entscheidend bei dieser Verallgemeinerung ist, dass wie bei Folgen eine kleinste Position (die Ordinalzahl Null) existiert und jedes Element (mit Ausnahme eines eventuell vorhandenen letzten Elements) einen eindeutigen Nachfolger hat. Da totale Anordnungen, die diese Bedingungen erfüllen, immer noch sehr verschiedene Strukturen haben können, führt man als zusätzliche Bedingung ein, dass es zu jeder nichtleeren Teilmenge von Indizes ei (de)
  • En teoría de conjuntos, un número ordinal, o simplemente ordinal, es un representante del tipo de orden de un conjunto bien ordenado. De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados. Fueron introducidos por Georg Cantor en 1897. Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los números naturales 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son isomorfos en cuanto al orden. Al primer ordinal infinito se le denota ω. que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales. (es)
  • En mathématiques, on appelle nombre ordinal un objet permettant de caractériser le type d'ordre (en) d'un ensemble bien ordonné quelconque. Comme en linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux, et servent à préciser le rang d'un objet dans une collection, ou l'ordre d'un événement dans une succession. Georg Cantor a été amené (lors de ses travaux sur les séries trigonométriques) à nommer de même le concept qu'il avait introduit à cette occasion pour caractériser le type d'ordre des ensembles qu'il rencontrait, de façon plus précise qu'en les mesurant par leur cardinalité (leur « nombre d'éléments »). Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s'identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, ma (fr)
  • Een ordinaalgetal of ordinaal geeft de positie van een element in een rij van elementen aan. De ordinaalgetallen vormen een uitbreiding van de natuurlijke getallen. Eindige ordinaalgetallen zijn natuurlijke getallen, 0,1,2... Het eerste oneindige ordinaalgetal is . Ordinaalgetallen werden in 1897 door Georg Cantor ingevoerd om oneindige rijen te accommoderen en om aan te kunnen geven hoe geordende verzamelingen zich tot elkaar verhouden. De minst oneindige ordinaal is ω, welk ordinaalgetal wordt geïdentificeerd met het kardinaalgetal (de eerstvolgende kardinaal na (nl)
  • Na teoria dos conjuntos, um número ordinal, ou só ordinal, é o tipo de ordem de um conjunto bem-ordenado. Eles são usualmente identificados com conjuntos hereditariamente transitivos. Ordinais são uma extensão dos Números Naturais diferentes dos inteiros e dos cardinais. Como outros tipos de números, ordinais podem ser somados, multiplicados e exponenciados. Os ordinais finitos (e cardinais finitos) são os números naturais: 0, 1, 2..., já que quaisquer duas ordens de um conjunto finito são isomórficas de ordem. O menor ordinal infinito é o ω, que é identificado com o número cardinal (pt)
  • В теории множеств порядковым числом, или ординалом (лат. ordinalis — порядковый) называется порядковый тип вполне упорядоченного множества. Как правило, порядковые числа отождествляются с наследственно транзитивными множествами. Ординалы представляют собой одно из расширений натуральных чисел, отличающееся как от целых, так и от кардинальных чисел. Как и другие разновидности чисел, их можно складывать, перемножать и возводить в степень. Бесконечные порядковые числа называют трансфинитными (лат. trans — за, через + finitio — край, предел). Ординалы играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств — в частности, благодаря связанному с ними принципу трансфинитной индукции. (ru)
  • In set theory, an ordinal number, or ordinal, is one generalization of the concept of a natural number that is used to describe a way to arrange a collection of objects in order, one after another. Any finite collection of objects can be put in order just by the process of counting: labeling the objects with distinct whole numbers. Ordinal numbers are thus the "labels" needed to arrange collections of objects in order. (en)
rdfs:label
  • عدد ترتيبي (ar)
  • Ordinalzahl (de)
  • Número ordinal (teoría de conjuntos) (es)
  • Nombre ordinal (fr)
  • Numero ordinale (teoria degli insiemi) (it)
  • 順序数 (ja)
  • Ordinaalgetal (nl)
  • Liczby porządkowe (pl)
  • Número ordinal (pt)
  • Порядковое число (ru)
  • 序数 (zh)
  • Ordinal number (en)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is foaf:primaryTopic of