| dbpprop:abstract
|
- In set theory, an ordinal number, or just ordinal, is the order type of a well-ordered set. They are usually identified with hereditarily transitive sets. Ordinals are an extension of the natural numbers different from integers and from cardinals. Like other kinds of numbers, ordinals can be added, multiplied, and exponentiated. The finite ordinals (and the finite cardinals) are the natural numbers: 0, 1, 2, …, since any two total orderings of a finite set are order isomorphic. The least infinite ordinal is ω which is identified with the cardinal number <math>\aleph_0</math>. However in the transfinite case, beyond ω, ordinals draw a finer distinction than cardinals on account of their order information. Whereas there is only one countably infinite cardinal, namely <math>\aleph_0</math> itself, there are uncountably many countably infinite ordinals, namely ω, ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω, …, ω, …, ω, …, ω, …, ε0, …. Here addition and multiplication are not commutative: in particular 1 + ω is ω rather than ω + 1, while 2·ω is ω rather than ω·2. The set of all countable ordinals constitutes the first uncountable ordinal ω1 which is identified with the cardinal <math>\aleph_1</math> (next cardinal after <math>\aleph_0</math>). Well-ordered cardinals are identified with their initial ordinals, i.e. the smallest ordinal of that cardinality. The cardinality of an ordinal defines a many to one association from ordinals to cardinals. Ordinals were introduced by Georg Cantor in 1897 to accommodate infinite sequences and to classify sets with certain kinds of order structures on them. In general, each ordinal α is the order type of the set of ordinals strictly less than α itself. This property permits every ordinal to be represented as the set of all ordinals less than it. Ordinals may be categorized as: zero, successor ordinals, and limit ordinals. Given a class of ordinals, one can identify the α-th member of that class, i.e. one can index (count) them. A class is closed and unbounded if its indexing function is continuous and never stops. The Cantor normal form uniquely represents each ordinal as a finite sum of ordinal powers of ω. However, this cannot form the basis of a universal ordinal notation due to such self-referential representations as <math>\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}</math>. Larger and larger ordinals can be defined, but they become more and more difficult to describe. Any ordinal number can be made into a topological space by endowing it with the order topology; this topology is discrete if and only if the ordinal is a countable cardinal, i.e. at most ω. A subset of ω + 1 is open in the order topology if and only if either it is cofinite or it does not contain ω as an element.
- Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: „Erstes, zweites, drittes, … Element“. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Auf diese Weise ordnet man jedem Element der Folge eine natürliche Zahl zu, die zum Index dieses Elementes wird. Mit Hilfe der Indizes kann man feststellen, ob ein Element vor einem anderen Element steht, wie „weit“ es vom Anfang der Folge entfernt ist und – falls es einen Vorgänger hat – diesen Vorgänger bestimmen. Solche Schlussfolgerungen kann man nicht nur für die Folge insgesamt treffen, sondern auch für jede ihrer Teilfolgen, die genau so wie die gesamte Folge ein Anfangselement und Nachfolgeelemente besitzen. Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Georg Cantor hatte die Idee, wie man diese Konzepte innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann. Während die beiden Konzepte – Zahl als Messinstrument für Größe und Zahl als Index – für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Größe einer Menge führt zu dem Begriff Kardinalzahl, während die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge zu dem Begriff Ordinalzahl führt, wie er in diesem Artikel beschrieben wird. Die Gesamtheit der Ordinalzahlen, die man meistens mit <math>\mathrm{On}</math> oder <math>\mathrm{Ord}</math> bezeichnet, bildet in der modernen Mengenlehre – genauso wie die Gesamtheit der Kardinalzahlen – eine echte Klasse.
- Els nombres ordinals, o senzillament ordinals, són nombres usats per a denotar la posició a una successió ordenada: primer, segon, tercer, quart, etc... El matemàtic Georg Cantor va mostrar el 1897 com estendre aquest concepte més enllà dels nombres naturals fins a l'infinit i com fer aritmètica amb aquests ordinals transfinits . Hom pot (i és usual de fer) definir el nombre natural n com el conjunt de tots els nombres naturals menors: 0 = {} etc. Vist d'aquesta manera, cada nombre natural és un conjunt ben ordenat : el conjunt 4 per exemple té elements 0,1,2,3, que són ordenats naturalment com 0<1<2<3 (ben ordenats). Un nombre natural és menor que un altre si i només si és element de l'altre.
- V teorii množin je ordinální číslo zobecněním myšlenky pořadí prvku v uspořádané množině, jež je v přirozeném jazyce vyjádřena řadovou číslovkou jako "první" či "pátý". Pojem ordinálního čísla myšlenku zobecňuje i na nekonečné uspořádané množiny. Stojí-li např. 500 vojáků v řadě za sebou, je pořadí každého z nich vyjádřeno nějakým přirozeným číslem, je-li řada vojáků nekonečná, přirozená čísla stále ještě postačují, ale jsou již použita všechna. Postaví-li se za tuto nekonečnou řadu ještě jeden voják, neexistuje již přirozené číslo, kterým by bylo možné označit jeho pořadí – jeho pořadovým číslem je nejmenší nekonečné ordinální číslo, které se značí ω.
- En matemáticas, un número ordinal es un número que denota la posición de un elemento perteneciente a una sucesión ordenada. Por ejemplo, en la sucesión a b c d, el elemento a es el primero, b el segundo, c el tercero, etc. Los números ordinales pueden generalizarse para las sucesiones infinitas, introducidas por Georg Cantor en 1897.
- En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux qui servent à préciser le rang d'un objet dans une collection ou l'ordre d'un événement dans une succession. Cette notion se généralise en mathématiques pour qualifier le type d'ordre d'un ensemble bien ordonné quelconque, plutôt que son « étendue » laquelle est mesurée par sa cardinalité : tous les cardinaux sont aussi des ordinaux mais la réciproque n'est pas vraie. Un ordinal peut être fini ou bien infini. Ce concept a été inventé par Georg Cantor.
- A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.
- In matematica, i numeri ordinali costituiscono un'estensione dei numeri naturali che tiene conto anche di successioni infinite, introdotta da Georg Cantor nel 1897. Questa generalizzazione è l'oggetto della presente pagina.
- 順序数（じゅんじょすう）とは物事の順序・順番を示す数。順序構造、すなわち集合の元（要素、element）の間の「序列のつけ方」をあらわす特別な順序型である。序数、番号数、オーディナル数（ordinal number）とも呼ばれる。一般に使用される自然数による順序数は有限順序数と呼ばれ、その他に無限集合に対応する超限順序数がある。 n 個の元からなる有限集合の順序数は、自然数の集合 {1,2, ... , n} に通常の大小関係で序列をつけたものであり、これを集合の元の数と同じ文字 n で表す。このように自然数の n と順序数の n は「まったく別のもの」であるが、（後に定める順序数の演算とともに）これを同一視して「順序数は自然数の拡張」 （の一つ）であると見なす。
- Liczby porządkowe – w teorii mnogości specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków. Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków).
- Os números ordinais, ou simplesmente ordinais, são números usados para assinalar uma posição numa sequência ordenada: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto etc. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números. Em matemática, os números ordinais são uma extensão dos números naturais criada para sequências infinitas por Georg Cantor em 1897.
- Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств. Играют ключевую роль в доказательстве многих теорем теории множеств, в особенности в связи со связанным с ними принципом трансфинитной индукции.
- Ordinaltal är en typ av "tal" som mäter längden på välordningar och därmed är en generalisering av de naturliga talen. En del kallar dem mängdteorins ryggrad eftersom de är så oerhört basala inom mängdteorin. Deras främsta tillämpning är inom topologi, där de används för att konstruera illustrativa exempel och motexempel på topologiska egenskaper. Kardinaltalen är en äkta delklass av ordinaltalen. När man reducerar de naturliga talen till mängder säger man att talet noll är den tomma mängden. Alla andra naturliga tal fås sedan genom att tillämpa successorfunktionen <math>a\mapsto a\cup \{a\}</math> på föregående tal. Om denna procedur upprepas uppräkneligt oändligt många gånger har vi fått alla naturliga tal. Enligt infinitetsaxiomet kan vi fortsätta på samma sätt även med oändliga mängder, genom att bilda successorn av dessa. Då får vi alla oändliga ordinaltal. Det minsta oändliga ordinaltalet är ω. Successorn till detta är ω+1. Sedan följer ω+2, ω+3, ω+4 osv i all oändlighet. Det finns ingen som helst gräns för hur stora ordinaltalen kan bli.
- 一般而言，序数是用来表示有序序列中位置的数，基数是用来表示“有多少数量”的数。序數對應於排列，如在以下句子中的「一」及「二」：“這人一不會打字，二不懂速記，所以不可以做秘書。”基數對應於量詞，例如在以下句子中的「一」及「四」：“有一個橙，有四個柑。” 这里我们讨论超限序数的数学含义。它们是由格奥尔格·康托尔于1897年引入，用来考虑无穷序列，并用来分类有着特定序结构的集合。序数不同于整数和基数，是自然数的一个扩展。 良序是一种允许超限归纳法的全序，超限归纳法把通常的数学归纳法推广到无穷的情况。在以序同构为等价关系下的所有良序的等价类就是序数。每一个序数都是由更小的序数的集合构造而得。序数可以分成三类：零、后继序数和极限序数（有着不同的共尾性）。给定一类序数，我们可以确定出这个类的第α个成员，也即，我们可以在它上面计数。一个类是闭的并且是无界的，如果它的指标函数是连续的且永不终止。我们可以在序数上定义加法、乘法和幂函数，但不能定义减法和除法。康托尔范式是序数的标准记录法。在序数和基数之间存在一个多对一的关系。人们可以定义越来越大的序数，但它们也越来越难于表述。序数有一个自然拓扑。
|
| rdfs:comment
|
- In set theory, an ordinal number, or just ordinal, is the order type of a well-ordered set. They are usually identified with hereditarily transitive sets. Ordinals are an extension of the natural numbers different from integers and from cardinals. Like other kinds of numbers, ordinals can be added, multiplied, and exponentiated. The finite ordinals (and the finite cardinals) are the natural numbers: 0, 1, 2, …, since any two total orderings of a finite set are order isomorphic.
- Beim Zählen benutzt man Ordinalzahlen (auch Ordnungszahlen genannt), um die Position eines Elements in einer Folge anzugeben: „Erstes, zweites, drittes, … Element“. Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter. Auf diese Weise ordnet man jedem Element der Folge eine natürliche Zahl zu, die zum Index dieses Elementes wird.
- Els nombres ordinals, o senzillament ordinals, són nombres usats per a denotar la posició a una successió ordenada: primer, segon, tercer, quart, etc... El matemàtic Georg Cantor va mostrar el 1897 com estendre aquest concepte més enllà dels nombres naturals fins a l'infinit i com fer aritmètica amb aquests ordinals transfinits . Hom pot (i és usual de fer) definir el nombre natural n com el conjunt de tots els nombres naturals menors: 0 = {} etc.
- V teorii množin je ordinální číslo zobecněním myšlenky pořadí prvku v uspořádané množině, jež je v přirozeném jazyce vyjádřena řadovou číslovkou jako "první" či "pátý". Pojem ordinálního čísla myšlenku zobecňuje i na nekonečné uspořádané množiny. Stojí-li např.
- En matemáticas, un número ordinal es un número que denota la posición de un elemento perteneciente a una sucesión ordenada. Por ejemplo, en la sucesión a b c d, el elemento a es el primero, b el segundo, c el tercero, etc. Los números ordinales pueden generalizarse para las sucesiones infinitas, introducidas por Georg Cantor en 1897.
- En linguistique, les mots premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. s'appellent des adjectifs numéraux ordinaux qui servent à préciser le rang d'un objet dans une collection ou l'ordre d'un événement dans une succession.
- A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.
- In matematica, i numeri ordinali costituiscono un'estensione dei numeri naturali che tiene conto anche di successioni infinite, introdotta da Georg Cantor nel 1897. Questa generalizzazione è l'oggetto della presente pagina.
- Liczby porządkowe – w teorii mnogości specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków. Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Były one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 (jako typy porządkowe dobrych porządków).
- Os números ordinais, ou simplesmente ordinais, são números usados para assinalar uma posição numa sequência ordenada: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto etc. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números. Em matemática, os números ordinais são uma extensão dos números naturais criada para sequências infinitas por Georg Cantor em 1897.
- Порядковое число, или трансфинитное число, или ординал в теории множеств — некоторое обобщение понятия натурального числа «за пределы бесконечности». Впервые введены Георгом Кантором в 1897 году с целью классификации вполне упорядоченных множеств.
- Ordinaltal är en typ av "tal" som mäter längden på välordningar och därmed är en generalisering av de naturliga talen. En del kallar dem mängdteorins ryggrad eftersom de är så oerhört basala inom mängdteorin. Deras främsta tillämpning är inom topologi, där de används för att konstruera illustrativa exempel och motexempel på topologiska egenskaper. Kardinaltalen är en äkta delklass av ordinaltalen.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
