In the mathematical field of set theory, ordinal arithmetic describes the three usual operations on ordinal numbers: addition, multiplication, and exponentiation. Each can be defined in essentially two different ways: either by constructing an explicit well-ordered set which represents the operation or by using transfinite recursion. Cantor normal form provides a standardized way of writing ordinals.

PropertyValue
dbpprop:abstract
  • In the mathematical field of set theory, ordinal arithmetic describes the three usual operations on ordinal numbers: addition, multiplication, and exponentiation. Each can be defined in essentially two different ways: either by constructing an explicit well-ordered set which represents the operation or by using transfinite recursion. Cantor normal form provides a standardized way of writing ordinals. The so-called "natural" arithmetical operations retain commutativity at the expense of continuity.
  • Die transfinite Arithmetik ist die Arithmetik der Ordinalzahlen. Die arithmetischen Operationen zwischen Ordinalzahlen kann man mittels transfiniter Rekursion als stetige Fortsetzung der finiten Rechenoperationen einführen oder durch geeignete Mengenkompositionen, so dass ihre Einschränkung auf den endlichen Ordinalzahlen der üblichen Arithmetik bei den natürlichen Zahlen entspricht. Die Addition und die Multiplikation von Ordinalzahlen ist von Cantor (1897) durch Komposition eingeführt worden, das Potenzieren dagegen funktional mittels Grenzübergang. Die erste ausführliche und systematische Studie über transfinite Arithmetik stammt von Ernst Jacobsthal ("Über den Aufbau der transfiniten Arithmetik", Math. Ann. , 1909). Sie zeigt, dass beide Methoden – die funktionale und die Kompositionsmethode – zu denselben Rechenoperationen führen.
  • Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací z přirozených čísel na všechna ordinální čísla. Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika. V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.
  • Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich. Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności jak i stawiane pytania są inne. Podstawową różnicą jest jednak fakt, że większość stwierdzeń dotyczących działań na liczbach porządkowych jest dowodliwa w ZF (zwykle aksjomat wyboru nie jest potrzebny, choć my zgodnie z tradycją przyjętą w matematyce zakładamy ZFC). Ponadto bardzo rzadko spotyka się tu wyniki niezależnościowe. Arytmetyka liczb porządkowych kardynalnych różni się także od arytmetyki liczb rzeczywistych, choć można dostrzec między nimi pewne analogie.
  • 我們可在序數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:reference
rdf:type
rdfs:comment
  • In the mathematical field of set theory, ordinal arithmetic describes the three usual operations on ordinal numbers: addition, multiplication, and exponentiation. Each can be defined in essentially two different ways: either by constructing an explicit well-ordered set which represents the operation or by using transfinite recursion. Cantor normal form provides a standardized way of writing ordinals.
  • Die transfinite Arithmetik ist die Arithmetik der Ordinalzahlen. Die arithmetischen Operationen zwischen Ordinalzahlen kann man mittels transfiniter Rekursion als stetige Fortsetzung der finiten Rechenoperationen einführen oder durch geeignete Mengenkompositionen, so dass ihre Einschränkung auf den endlichen Ordinalzahlen der üblichen Arithmetik bei den natürlichen Zahlen entspricht.
  • Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací z přirozených čísel na všechna ordinální čísla. Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika.
  • Arytmetyka liczb porządkowych – dział teorii mnogości zajmujący się liczbami porządkowymi i działaniami na nich. Arytmetyka liczb porządkowych znacznie różni się od arytmetyki liczb kardynalnych – zarówno rozważane działania mają inne własności jak i stawiane pytania są inne.
  • 我們可在序數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。
rdfs:label
  • Ordinal arithmetic
  • Transfinite Arithmetik
  • Ordinální aritmetika
  • Arytmetyka liczb porządkowych
  • 序數算術
owl:sameAs
skos:subject
foaf:page
is dbpprop:redirect of
is owl:sameAs of