| dbpedia-owl:abstract
|
- Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie – eine Verallgemeinerung der Arithmetik, die Lehre von den Diophantischen Gleichungen, die analytische Zahlentheorie und die algebraische Zahlentheorie.
- Number theory is the branch of pure mathematics concerned with the properties of numbers in general, and integers in particular, as well as the wider classes of problems that arise from their study. Number theory may be subdivided into several fields, according to the methods used and the type of questions investigated. The terms "arithmetic" or "the higher arithmetic" as nouns are also used to refer to elementary number theory. These are somewhat older terms, which are no longer as popular as they once were. However the word "arithmetic" is popularly used as an adjective rather than the more cumbersome phrase "number-theoretic", and also "arithmetic of" rather than "number theory of"; e.g. , arithmetic geometry, arithmetic functions, arithmetic of elliptic curves.
- La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de Dominios Enteros (Anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los números enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch: Plantilla:Cita El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética, aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.
- Lukuteoria on yksi vanhimmista matematiikan aloista, sillä sen juuret ulottuvat kauas menneisyyteen aina 4 000 vuoden päähän. Alkuperäisessä muodossaan lukuteoria käsitteli luonnollisten lukujen ominaisuuksia, lähinnä niiden jaollisuutta. Nykyään lukuteoria keskittyy myös luonnollisia lukuja huomattavasti laajempien lukujoukkojen tutkimiseen. Antiikin ajan matemaatikoista Eukleides ja Diofantos mainitaan huomattavimpina lukuteorian tutkijoina ja kehittäjinä. Nykyisen lukuteorian isänä voidaan pitää 1600-luvulla elänyttä ranskalaista lakimiestä ja matemaatikkoa Pierre de Fermat'a. Jälkipolville Fermat'n nimi on tullut tunnetuksi kahdesta hänen nimeään kantavasta ongelmasta, Fermat'n pienestä lauseesta ja Fermat'n suuresta lauseesta. Fermat tutki Diofantoksen kirjoituksia ja väitti, että yhtälöllä, jossa n on kokonaisluku, joka on vähintään kolme, ei ole sellaista ratkaisua, että x, y ja z olisivat positiivisia kokonaislukuja. Fermat kirjoitti Diofantoksen teoksen marginaaliin huomautuksen, jonka mukaan hän oli "löytänyt ihmeellisen todistuksen, mutta se ei mahdu näin kapeaan tilaan". Fermat'n suuri lause on eittämättä ollut matematiikan kuuluisin useita vuosisatoja ratkaisematta säilynyt ongelma. Työskentely ongelman parissa on jopa synnyttänyt uusia matematiikan lajeja, ja nämä aluevaltaukset ovat monesti olleet merkittävämpiä kuin lause itse. Lukuteoriaa on pitkään pidetty matemaatikkojen harrastamana teoreettisena huvitteluna, mutta nykyään sen tuottamia tietoja käytetään hyväksi muun muassa salauksessa. Analyyttinen lukuteoria on lukuteorian osa, joka hyödyntää matemaattista analyysiä.
- Tradizionalmente, la teoria dei numeri è quel ramo della matematica pura che si occupa delle proprietà dei numeri interi e contiene molti problemi aperti che possono essere facilmente compresi anche da chi non è un matematico. Più in generale, la materia è giunta ad occuparsi di una più ampia classe di problemi che sono sorti naturalmente dallo studio degli interi. La teoria dei numeri può essere divisa in diversi campi a seconda dei metodi utilizzati e dei problemi studiati. Il termine "aritmetica" viene anche utilizzato per riferirsi alla teoria dei numeri. Questo termine è piuttosto vecchio, e non è più popolare come era una volta. Tuttavia, il termine rimane prevalente, ad esempio, nel nome dei "campi" matematici (geometria algebrica aritmetica e l'aritmetica delle curve ellittiche e delle superfici). Questo significato della parola aritmetica non dovrebbe essere confuso con la branca della logica che studia l'aritmetica intesa come sistema formale.
- 数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。 初等整数論 他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。 代数的整数論 扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。カール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。類体論もこの分野の成果である。 解析的整数論 微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。その弟子であるベルンハルト・リーマンによってすでにこの分野の（ひいては数論）の最大の未解決問題であるリーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。 数論幾何学 新しい分野であり、現代的には、アレクサンドル・グロタンディークの構想に基づくとされる。代数幾何学の手法や結果を利用して、問題に取り組む。フェルマーの最終定理もこの分野の手法を利用して解かれた。現在（日本でも）非常に活発に研究されている。 数論のいくつかの問題は、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、上記のどの分野においても、使われる手法は非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。 「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」 永らく応用は無いと言われてきたが、近年暗号や符号により計算機上での工学的応用が発達しつつある。実際には数論研究はそのあらゆる段階で、物理的、工学的な問題と関連していた。
- Traditioneel is getaltheorie de tak van de zuivere wiskunde die de eigenschappen van de gehele getallen bestudeert. Meer algemeen is de term in gebruik geraakt voor de grotere klasse van problemen die "gemakkelijk door leken kunnen worden begrepen". Deze uitbreiding vond plaats toen de gebruikte technieken ook op andere problemen toepasbaar bleken. Getaltheorie kan worden onderverdeeld in verschillende gebieden, afhankelijk van de gebruikte methoden en de onderzochte vraagstelling. Deze worden hieronder besproken.
- Tallteori er en gren av ren matematikk, og kan beskrives som læren om de naturlige tallene (1, 2, 3, 4, 5, ...). Når vi snakker om tall i tallteori er det altså de naturlige tallene vi mener. Opp gjennom historien har mennesker latt seg fascinere av tallene og de ulike egenskapene og sammenhengene mellom tallene. Mange av de egenskapene ved tallene som man studerer i moderne tallteori går helt tilbake til de greske matematikerne i antikkens Hellas.
- Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne. Początki teorii liczb sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych (także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić). Bujny rozwój teoria liczb zawdzięcza w wielkiej mierze Pierre'owi Fermatowi (1601-1665), autorowi hipotezy, zwanej Wielkim Twierdzeniem Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał Carl Friedrich Gauss. Z polskich matematyków znaczące wyniki w teorii liczb uzyskali między innymi Wacław Sierpiński, Andrzej Schinzel i Henryk Iwaniec. Posiadaczem szeregu wyliczeniowych rekordów światowych jest Jarosław Wróblewski. Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki: algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej i innych. Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod teorii funkcji analitycznych. Jednym z najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb jest dowód Erdösa i Selberga twierdzenia o dystrybucji liczb pierwszych (ich dowody były niezależne, ale oba oparte na Lemacie Selberga). Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, algebraicznych (całkowitych i wymiernych) oraz (od niedawna) liczb p-adycznych.
- A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo. A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada. O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi. A teoria dos números foi também chamada de aritmética superior, mas esse termo também caiu em desuso. Entretanto, esse termo ainda aparece nos nomes de objetos matemáticos relacionados. Esse sentido do termo aritmética não deve ser confundido ou com aritmética elementar, ou com o ramo da lógica que estuda aritmética de Peano como um sistema formal. Os matemáticos que trabalham na área de teoria dos números são chamados teoristas dos números. Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber: Teoria elementar dos números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em particular as propriedades dos números primos; Teoria analítica dos números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos números primos; Teoria algébrica dos números: utiliza álgebra abstrata e estuda os números algébricos; Teoria geométrica dos números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos.
- Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько подтеорий.
- Traditionellt är talteorin den gren inom matematiken som rör heltalens egenskaper. Mer allmänt har talteorin kommit att omfatta en vidare typ av problem, som "lätt förstås av icke-matematiker" och därför blivit en vedertagen teknik för att angripa olika sorters problem. Talteori kan uppdelas i flera områden beroende på metoderna som används och spörsmålen som undersöks.
- 數論是最原始的两个数学分支，即算术与几何，保留下来的问题。传统的几何学已经凋零，所有的问题都得到解决。而传统的算术却积累了越来越多的问题，成为难以穿越的密林。过去被认为是纯粹数学的，是專門研究整数的性質，正整数按乘法性质划分，可以分成“素数”，“合数”，“1”，素数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想。两千多年来，数论学一个最重要的任务就是寻找一个素数普遍公式（参见百度词条：素数普遍公式），人们花费了巨大的心血。很多諸如此類的問題虽然形式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。」
- Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers. La théorie des nombres occupe une place particulière en mathématiques, à la fois par ses connexions avec de nombreux autres domaines, et par la fascination qu'exercent ses énoncés. Ainsi, la citation suivante, de Modèle:Lien : Modèle:Citation Le terme « arithmétique » est aussi utilisé pour faire référence à la théorie des nombres. C'est un terme assez ancien, qui n'est plus aussi populaire que par le passé. Néanmoins, le terme reste répandu — c’est-à-dire dans les noms des champs mathématiques (géométrie algébrique arithmétique, l'arithmétique des courbes et surfaces elliptiques). Ce sens du terme arithmétique ne doit pas être confondu avec la branche de logique qui étudie l'arithmétique dans le sens des systèmes formels. La théorie des nombres peut être divisée en plusieurs champs d'étude en fonction des méthodes utilisées et des questions traitées. Modèle:Article détaillé
|
| rdfs:comment
|
- Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich im weitesten Sinn mit den Eigenschaften der Zahlen beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie – eine Verallgemeinerung der Arithmetik, die Lehre von den Diophantischen Gleichungen, die analytische Zahlentheorie und die algebraische Zahlentheorie.
- 数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。 初等整数論 他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。 代数的整数論 扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。カール・フリードリヒ・ガウスがおそらくこの分野の創始者である。体論はこの分野の基礎的根幹であって、ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。類体論もこの分野の成果である。 解析的整数論 微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。その弟子であるベルンハルト・リーマンによってすでにこの分野の（ひいては数論）の最大の未解決問題であるリーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。 数論幾何学 新しい分野であり、現代的には、アレクサンドル・グロタンディークの構想に基づくとされる。代数幾何学の手法や結果を利用して、問題に取り組む。フェルマーの最終定理もこの分野の手法を利用して解かれた。現在（日本でも）非常に活発に研究されている。 数論のいくつかの問題は、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、上記のどの分野においても、使われる手法は非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。 「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」 永らく応用は無いと言われてきたが、近年暗号や符号により計算機上での工学的応用が発達しつつある。実際には数論研究はそのあらゆる段階で、物理的、工学的な問題と関連していた。
- Tallteori er en gren av ren matematikk, og kan beskrives som læren om de naturlige tallene (1, 2, 3, 4, 5, ...). Når vi snakker om tall i tallteori er det altså de naturlige tallene vi mener. Opp gjennom historien har mennesker latt seg fascinere av tallene og de ulike egenskapene og sammenhengene mellom tallene. Mange av de egenskapene ved tallene som man studerer i moderne tallteori går helt tilbake til de greske matematikerne i antikkens Hellas.
- Теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько подтеорий.
- Traditionellt är talteorin den gren inom matematiken som rör heltalens egenskaper. Mer allmänt har talteorin kommit att omfatta en vidare typ av problem, som "lätt förstås av icke-matematiker" och därför blivit en vedertagen teknik för att angripa olika sorters problem. Talteori kan uppdelas i flera områden beroende på metoderna som används och spörsmålen som undersöks.
- 數論是最原始的两个数学分支，即算术与几何，保留下来的问题。传统的几何学已经凋零，所有的问题都得到解决。而传统的算术却积累了越来越多的问题，成为难以穿越的密林。过去被认为是纯粹数学的，是專門研究整数的性質，正整数按乘法性质划分，可以分成“素数”，“合数”，“1”，素数產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想。两千多年来，数论学一个最重要的任务就是寻找一个素数普遍公式（参见百度词条：素数普遍公式），人们花费了巨大的心血。很多諸如此類的問題虽然形式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。 卡尔·弗里德里希·高斯曾說：「數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。」
- Number theory is the branch of pure mathematics concerned with the properties of numbers in general, and integers in particular, as well as the wider classes of problems that arise from their study. Number theory may be subdivided into several fields, according to the methods used and the type of questions investigated. The terms "arithmetic" or "the higher arithmetic" as nouns are also used to refer to elementary number theory.
- La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros, pero más en general, estudia las propiedades de los elementos de Dominios Enteros (Anillos conmutativos con elemento unitario y cancelación) así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos".
- Lukuteoria on yksi vanhimmista matematiikan aloista, sillä sen juuret ulottuvat kauas menneisyyteen aina 4 000 vuoden päähän. Alkuperäisessä muodossaan lukuteoria käsitteli luonnollisten lukujen ominaisuuksia, lähinnä niiden jaollisuutta. Nykyään lukuteoria keskittyy myös luonnollisia lukuja huomattavasti laajempien lukujoukkojen tutkimiseen. Antiikin ajan matemaatikoista Eukleides ja Diofantos mainitaan huomattavimpina lukuteorian tutkijoina ja kehittäjinä.
- Tradizionalmente, la teoria dei numeri è quel ramo della matematica pura che si occupa delle proprietà dei numeri interi e contiene molti problemi aperti che possono essere facilmente compresi anche da chi non è un matematico. Più in generale, la materia è giunta ad occuparsi di una più ampia classe di problemi che sono sorti naturalmente dallo studio degli interi. La teoria dei numeri può essere divisa in diversi campi a seconda dei metodi utilizzati e dei problemi studiati.
- Traditioneel is getaltheorie de tak van de zuivere wiskunde die de eigenschappen van de gehele getallen bestudeert. Meer algemeen is de term in gebruik geraakt voor de grotere klasse van problemen die "gemakkelijk door leken kunnen worden begrepen". Deze uitbreiding vond plaats toen de gebruikte technieken ook op andere problemen toepasbaar bleken. Getaltheorie kan worden onderverdeeld in verschillende gebieden, afhankelijk van de gebruikte methoden en de onderzochte vraagstelling.
- Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb – początkowo tylko naturalnych, i do dziś dla wielu specjalistów są one szczególnie atrakcyjne. Początki teorii liczb sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych (także Archimedes, ale raczej marginesowo; nowe odkrycia historyczne mogą ten pogląd zmienić).
- A teoria dos números é o ramo da matemática pura que estuda propriedades dos números em geral, e em particular dos números inteiros, bem como a larga classe de problemas que surge no seu estudo. A teoria dos números pode ser subdividida em muitas áreas, de acordo com o método utilizado e do tipo de questão investigada. O termo “aritmética” é também utilizado para se referir à teoria dos números. Esse é um termo antigo, que não é mais tão popular como já foi.
- Traditionnellement, la théorie des nombres est une branche des mathématiques qui s'occupe des propriétés des nombres entiers, qu'ils soient entiers naturels ou entiers relatifs, et contient beaucoup de problèmes ouverts qu'il est facile de comprendre, même par les non mathématiciens. Plus généralement, le champ d'étude de cette théorie concerne une large classe de problèmes qui proviennent naturellement de l'étude des entiers.
|
