In probability theory, the normal (or Gaussian) distribution is a very common continuous probability distribution. Normal distributions are important in statistics and are often used in the natural and social sciences to represent real-valued random variables whose distributions are not known. The probability density of the normal distribution is: Where: * is mean or expectation of the distribution (and also its median and mode). * is standard deviation * is variance A random variable with a Gaussian distribution is said to be normally distributed and is called a normal deviate.

Property Value
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  • In probability theory, the normal (or Gaussian) distribution is a very common continuous probability distribution. Normal distributions are important in statistics and are often used in the natural and social sciences to represent real-valued random variables whose distributions are not known. The normal distribution is useful because of the central limit theorem. In its most general form, under some conditions (which include finite variance), it states that averages of random variables independently drawn from independent distributions converge in distribution to the normal, that is, become normally distributed when the number of random variables is sufficiently large. Physical quantities that are expected to be the sum of many independent processes (such as measurement errors) often have distributions that are nearly normal. Moreover, many results and methods (such as propagation of uncertainty and least squares parameter fitting) can be derived analytically in explicit form when the relevant variables are normally distributed. The normal distribution is sometimes informally called the bell curve. However, many other distributions are bell-shaped (such as the Cauchy, Student's t, and logistic distributions). The terms Gaussian function and Gaussian bell curve are also ambiguous because they sometimes refer to multiples of the normal distribution that cannot be directly interpreted in terms of probabilities. The probability density of the normal distribution is: Where: * is mean or expectation of the distribution (and also its median and mode). * is standard deviation * is variance A random variable with a Gaussian distribution is said to be normally distributed and is called a normal deviate. (en)
  • في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (بالإنجليزية: Normal distribution) (أو الغاوسي) هو توزيع احتمالي مستمر كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم غالباً تقريبا أوليا لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. لمخطط تابع كثافة الاحتمال المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف بالدالة الغاوسية أو منحني الجرس. حيث μ هو القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، وσ 2 هو التباين (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع μ = 0 وσ 2 = 1 فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري. يعد التوزيع الطبيعي التوزيع الاحتمالي المستمر الأساسي، نظراً لدوره في مبرهنة النهاية المركزية، كما أنه من أول التوزيعات المستمرة التي تدرس في مقررات الإحصاء الابتدائية. فوفقاً لمبرهنة النهاية المركزية، وتحت شروط معينة، فإن مجموع عدد من المتغيرات العشوائية بعدد منته من المتوسطات والتباينات يقارب توزيعاً طبيعياً بازدياد عدد تلك المتغيرات. ولهذا السبب، فإنه كثيراً ما يشاهد هذا التوزيع في الممارسة العملية، وهو يستخدم في الإحصاء والعلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية نموذجا بسيطا للتعامل مع ظواهر معقدة.على سبيل المثال، خطأ الملاحظة في تجربة ما، غالباً ما يتبع توزيعاً طبيعياً. كما يحسب انتشار اللايقين باستخدام هذا الافتراض أيضاً. انظر إلى توزيع ستيودنت الاحتمالي وإلى توزيع كوشي وإلى التوزيع اللوجستي. لاحظ أن لمتغير ذي توزع طبيعي توزيعاً متناظراً حول متوسطه. ولهذا فإن القيم التي تنمو بشكل أسي (كالأسعار والدخل وعدد السكان) تكون ملتوية نحو اليمين (skewness)، وبالتالي يمكن التعبير عنها بشكل أفضل باستخدام توزيعات أخرى، كالتوزيع الطبيعي اللوغاريتمي وتوزيع باريتو. (ar)
  • Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. Die besondere Bedeutung der Normalverteilung beruht unter anderem auf dem zentralen Grenzwertsatz, dem zufolge Verteilungen, die durch Überlagerung einer großen Zahl von unabhängigen Einflüssen entstehen, unter schwachen Voraussetzungen annähernd normalverteilt sind. Die Abweichungen der (Mess-) Werte vieler natur-, wirtschafts- und ingenieurswissenschaftlicher Vorgänge vom Mittelwert lassen sich durch die Normalverteilung (bei biologischen Prozessen oft logarithmische Normalverteilung) entweder exakt oder wenigstens in sehr guter Näherung beschreiben (vor allem Prozesse, die in mehreren Faktoren unabhängig voneinander in verschiedene Richtungen wirken). Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie: * zufällige Messfehler, * zufällige Abweichungen vom Sollmaß bei der Fertigung von Werkstücken, * Beschreibung der brownschen Molekularbewegung. In der Versicherungsmathematik ist die Normalverteilung geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen. In der Messtechnik wird häufig eine Normalverteilung angesetzt, die die Streuung der Messfehler beschreibt. Hierbei ist von Bedeutung, wie viele Messpunkte innerhalb einer gewissen Streubreite liegen. Die Standardabweichung beschreibt die Breite der Normalverteilung. Die Halbwertsbreite einer Normalverteilung ist das ungefähr 2,4-Fache (genau ) der Standardabweichung. Es gilt näherungsweise: * Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 68,27 % aller Messwerte zu finden, * Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 95,45 % aller Messwerte zu finden, * Im Intervall der Abweichung vom Mittelwert sind 99,73 % aller Messwerte zu finden. Und ebenso lassen sich umgekehrt für gegebene Wahrscheinlichkeiten die maximalen Abweichungen vom Mittelwert finden: * 50 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert, * 90 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert, * 95 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert, * 99 % aller Messwerte haben eine Abweichung von höchstens vom Mittelwert. Somit kann neben dem Mittelwert auch der Standardabweichung eine einfache Bedeutung zugeordnet werden. (de)
  • En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.[cita requerida] La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes. De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional. La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: * caracteres morfológicos de individuos como la estatura; * caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco; * caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos; * caracteres psicológicos como el cociente intelectual; * nivel de ruido en telecomunicaciones; * errores cometidos al medir ciertas magnitudes; * etc. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio. En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas. (es)
  • En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elle est en lien avec de nombreux objets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss des noms de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée. Plus formellement, c'est une loi de probabilité absolument continue qui dépend de deux paramètres : son espérance, un nombre réel noté μ, et son écart type, un nombre réel positif noté σ. La densité de probabilité de la loi normale est donnée par : La courbe de cette densité est appelée courbe de Gauss ou courbe en cloche, entre autres. C'est la représentation la plus connue de cette loi. La loi normale de moyenne nulle et d'écart type unitaire est appelée loi normale centrée réduite ou loi normale standard. Lorsqu'une variable aléatoire X suit la loi normale, elle est dite gaussienne ou normale et il est habituel d'utiliser la notation avec la variance σ² : Parmi les lois de probabilité, elle prend une place particulière grâce au théorème central limite. En effet, elle correspond au comportement, sous certaines conditions, d'une suite d'expériences aléatoires similaires et indépendantes lorsque le nombre d'expériences est très élevé. Grâce à cette propriété, la loi normale permet d'approcher d'autres lois et ainsi de modéliser de nombreuses études scientifiques comme des mesures d'erreurs ou des tests statistiques, en utilisant par exemple les tables de la loi normale. (fr)
  • Nella teoria della probabilità la distribuzione normale, o di Gauss (o gaussiana) dal nome del matematico tedesco Carl Friederich Gauss, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come campana di Gauss (o anche come curva degli errori, curva a campana, ogiva). La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di n variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di n all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi. La distribuzione normale dipende da due parametri, la media μ e la varianza σ2, ed è indicata tradizionalmente con: (it)
  • De normale verdeling of gaussverdeling (genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss) is een continue kansverdeling met twee parameters, de verwachtingswaarde μ en de standaardafwijking σ, waarvan de kansdichtheid wordt gegeven door de formule: De kansdichtheid is symmetrisch rond μ, hoog in het midden, en wordt naar lage en hoge waarden steeds kleiner zonder ooit echt nul te worden. Door de vorm wordt deze ook wel klokkromme of gausscurve genoemd. De normale verdeling wordt wel genoteerd als N(μ, σ2)-verdeling, wat wil zeggen dat het een normale verdeling is met verwachtingswaarde μ en standaardafwijking σ. Zoals voor elke kansdichtheid is de integraal over het hele definitiegebied precies gelijk aan 1: . Veel verschijnselen zijn benaderend te beschrijven met behulp van een normale verdeling. Het gaat dan om verschijnselen waarvan de verdeling symmetrisch geconcentreerd is rond een centrale waarde en afwijkingen van deze centrale waarde steeds onwaarschijnlijker worden naarmate de afwijking groter is. Soms is het verschijnsel de optelsom van een groot aantal effecten die elkaar niet beïnvloeden. De centrale limietstelling geeft in zo'n geval de voorwaarden waaronder het totaal normaal verdeeld zal zijn. De normale verdeling is niet altijd een goede benadering. Zo zijn andere verdelingen beter als er sprake is van exponentiële groei, zoals het geval is bij onder meer inkomen, prijzen en bevolkingsomvang waarbij er een scheefheid naar rechts is. Verdelingen als de lognormale verdeling of de Paretoverdeling kunnen dan een betere benadering geven. (nl)
  • また、正規分布の密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。 確率変数 x が多変数正規分布に従う場合、 などと表記される。 (ja)
  • Rozkład normalny, rozkład Gaussa (w literaturze francuskiej zwany rozkładem Laplace'a-Gaussa) – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa, odgrywający ważną rolę w statystyce. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą w kształcie dzwonu (tak zwaną krzywą dzwonową). Przyczyną jego znaczenia jest częstość występowania w naturze. Jeśli jakaś wielkość jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu każdego z tych czynników jej rozkład będzie zbliżony do normalnego (centralne twierdzenie graniczne) – dlatego można go bardzo często zaobserwować w danych. Ponadto rozkład normalny ma interesujące właściwości matematyczne, dzięki którym oparte na nim metody statystyczne są proste obliczeniowo. (pl)
  • A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre. Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essa importante propriedade provém do Teorema do Limite Central que diz que "toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande" (ver o teorema para um enunciado mais preciso). (pt)
  • Норма́льное распределе́ние, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса: где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ — среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения. Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение». Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1. (ru)
  • 常態分佈(德语:Normalverteilung;英语:normal distribution)又名高斯分佈(德语:Gauß-Verteilung;英语:Gaussian distribution, 以德國數學家卡爾·弗裡德里希·高斯的姓冠名),是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈,由于这个分布函数具有很多非常漂亮的性质,使得其在诸多涉及统计科学离散科学等领域的許多方面都有著重大的影響力。比如图像处理中最常用的滤波器类型为Gaussian滤波器(也就是所谓的正态分布函数)。 若隨機變量 服從一個位置參數為 、尺度參數為 的機率分佈,記為: 則其機率密度函數為 常態分佈的數學期望值或期望值 等於位置參數,決定了分佈的位置;其方差 的開平方或標準差 等於尺度參數,決定了分佈的幅度。 常態分佈的機率密度函數曲線呈鐘形,因此人們又經常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標準常態分佈是位置參數 ,尺度參數 的常態分佈(見右圖中綠色曲線)。 (zh)
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  • また、正規分布の密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。 確率変数 x が多変数正規分布に従う場合、 などと表記される。 (ja)
  • 常態分佈(德语:Normalverteilung;英语:normal distribution)又名高斯分佈(德语:Gauß-Verteilung;英语:Gaussian distribution, 以德國數學家卡爾·弗裡德里希·高斯的姓冠名),是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈,由于这个分布函数具有很多非常漂亮的性质,使得其在诸多涉及统计科学离散科学等领域的許多方面都有著重大的影響力。比如图像处理中最常用的滤波器类型为Gaussian滤波器(也就是所谓的正态分布函数)。 若隨機變量 服從一個位置參數為 、尺度參數為 的機率分佈,記為: 則其機率密度函數為 常態分佈的數學期望值或期望值 等於位置參數,決定了分佈的位置;其方差 的開平方或標準差 等於尺度參數,決定了分佈的幅度。 常態分佈的機率密度函數曲線呈鐘形,因此人們又經常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標準常態分佈是位置參數 ,尺度參數 的常態分佈(見右圖中綠色曲線)。 (zh)
  • In probability theory, the normal (or Gaussian) distribution is a very common continuous probability distribution. Normal distributions are important in statistics and are often used in the natural and social sciences to represent real-valued random variables whose distributions are not known. The probability density of the normal distribution is: Where: * is mean or expectation of the distribution (and also its median and mode). * is standard deviation * is variance A random variable with a Gaussian distribution is said to be normally distributed and is called a normal deviate. (en)
  • في نظرية الاحتمالات، التوزيع الطبيعي (بالإنجليزية: Normal distribution) (أو الغاوسي) هو توزيع احتمالي مستمر كثير الانتشار والاستعمال، يستخدم غالباً تقريبا أوليا لوصف المتغيرات العشوائية التي تميل إلى التمركز حول قيمة متوسطة وحيدة. لمخطط تابع كثافة الاحتمال المقابل لهذا التوزيع شكل الجرس، ويعرف بالدالة الغاوسية أو منحني الجرس. حيث μ هو القيمة المتوقعة (مكان الذروة)، وσ 2 هو التباين (قياس عرض التوزيع). عندما تكون قيم وسيطي التوزيع μ = 0 وσ 2 = 1 فإنه يسمى التوزيع الطبيعي المعياري. انظر إلى توزيع ستيودنت الاحتمالي وإلى توزيع كوشي وإلى التوزيع اللوجستي. (ar)
  • Die Normal- oder Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein wichtiger Typ stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird auch Gauß-Funktion, Gaußsche Normalverteilung, Gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, Gaußsche Glockenkurve, Gaußsche Glockenfunktion, Gauß-Glocke oder schlicht Glockenkurve genannt. Zufallsgrößen mit Normalverteilung benutzt man zur Beschreibung zufälliger Vorgänge wie: * zufällige Messfehler, * zufällige Abweichungen vom Sollmaß bei der Fertigung von Werkstücken, * Beschreibung der brownschen Molekularbewegung. vom Mittelwert. (de)
  • En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.[cita requerida] La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana. Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son: (es)
  • En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires. Elle est en lien avec de nombreux objets mathématiques dont le mouvement brownien, le bruit blanc gaussien ou d'autres lois de probabilité. Elle est également appelée loi gaussienne, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss des noms de Laplace (1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée. (fr)
  • Nella teoria della probabilità la distribuzione normale, o di Gauss (o gaussiana) dal nome del matematico tedesco Carl Friederich Gauss, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come campana di Gauss (o anche come curva degli errori, curva a campana, ogiva). (it)
  • De normale verdeling of gaussverdeling (genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss) is een continue kansverdeling met twee parameters, de verwachtingswaarde μ en de standaardafwijking σ, waarvan de kansdichtheid wordt gegeven door de formule: De kansdichtheid is symmetrisch rond μ, hoog in het midden, en wordt naar lage en hoge waarden steeds kleiner zonder ooit echt nul te worden. Door de vorm wordt deze ook wel klokkromme of gausscurve genoemd. Zoals voor elke kansdichtheid is de integraal over het hele definitiegebied precies gelijk aan 1: . (nl)
  • Rozkład normalny, rozkład Gaussa (w literaturze francuskiej zwany rozkładem Laplace'a-Gaussa) – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa, odgrywający ważną rolę w statystyce. Wykres funkcji prawdopodobieństwa tego rozkładu jest krzywą w kształcie dzwonu (tak zwaną krzywą dzwonową). (pl)
  • A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi primeiramente introduzida pelo matemático Abraham de Moivre. Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes valores consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. (pt)
  • Норма́льное распределе́ние, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса: где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ — среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения. Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение». (ru)
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