| dbpprop:abstract
|
- Non-standard analysis is a branch of mathematics that formulates analysis using a rigorous notion of an infinitesimal number. Non-standard analysis was introduced in the early 1960s by the mathematician Abraham Robinson. He wrote: [... ] the idea of infinitely small or infinitesimal quantities seems to appeal naturally to our intuition. At any rate, the use of infinitesimals was widespread during the formative stages of the Differential and Integral Calculus. As for the objection [... ] that the distance between two distinct real numbers cannot be infinitely small, G. W. Leibniz argued that the theory of infinitesimals implies the introduction of ideal numbers which might be infinitely small or infinitely large compared with the real numbers but which were to possess the same properties as the latter. However, neither he nor his disciples and successors were able to give a rational development leading up to a system of this sort. As a result, the theory of infinitesimals gradually fell into disrepute and was replaced eventually by the classical theory of limits. Robinson continues: It is shown in this book that Leibniz's ideas can be fully vindicated and that they lead to a novel and fruitful approach to classical Analysis and to many other branches of mathematics. The key to our method is provided by the detailed analysis of the relation between mathematical languages and mathematical structures which lies at the bottom of contemporary model theory. A non-zero element of an ordered field F is infinitesimal if and only if its absolute value is smaller than any element of F of the form 1/n, for n a standard natural number. Ordered fields that have infinitesimal elements are also called non-Archimedean. More generally, non-standard analysis is any form of mathematics that relies on non-standard models and the transfer principle. A field which satisfies the transfer principle for real numbers is a hyperreal field, and non-standard real analysis uses these fields as non-standard models of the real numbers. Robinson's original approach was based on these non-standard models of the field of real numbers. His classic foundational book on the subject Non-standard Analysis was published in 1966 and is still in print. Several technical issues must be addressed to develop a calculus of infinitesimals. For example, it is not enough to construct an ordered field with infinitesimals. See the article on hyperreal numbers for a discussion of some of the relevant ideas.
- Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nicht-archimedisch geordneten Körpern beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen Analysis besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch unendlich große und unendlich kleine Zahlen vorkommen.
- L'analyse non standard est une branche des mathématiques développée depuis 1960 afin de traiter la notion d'infiniment petit de manière rigoureuse. Pour cela, une nouvelle notion est introduite, celle d'objet standard et d'objet non standard, ou plus exactement de modèle standard ou de modèle non-standard. On peut alors présenter les principaux résultats de l'analyse mathématique sous une forme plus intuitive que l'analyse usuelle.
- L'analisi non standard è una rifondazione dell'Analisi matematica che recupera in buona parte l'impostazione originale di Leibniz e il concetto di infinitesimo. Fu introdotta da Abraham Robinson nel 1966.
- 超準解析（ちょうじゅんかいせき）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。無限小解析と同一のものとも見なされる。そこではイプシロン-デルタ論法によって一度は追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、ライプニッツ流の微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。アブラハム・ロビンソンによって考案された。超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。 超実数（ちょうじっすう）は実数を拡張した数概念である。実数体に無限小・無限大を加えたものは体をなし、超実数体と呼ばれる。超実数体は R, R などと表記される。その元を超実数という。ただし、無限小や無限大は 1 点ではなく、たとえばある無限小について、それより小さい無限小、大きい無限小が存在する。無限大に対しても同様。また、一つの超実数の周りには、それと無限に近い超実数が無数に存在する。 超実数は数学的に厳密に構成することができる。しかし、標準的な超実数の構成には数学基礎論の手法が用いられており、ある程度の基礎論に関する知識を要する。超実数の構成は実数の構成によく似ていて、実数からなる数列にたいして一定の同一視操作（たとえば有限項の違いは無視する）をしたものを新たな数と見なすというものである。 超準解析における超準とは、実数体の超準モデルを用いることからきている。超準解析では、一つの対象に対して二通りのモデルを考える。二通りのモデルのうち、一つのモデルはもう一つのモデルを含むものである。
- Нестандартный анализ — раздел математической логики, посвященный приложению теории нестандартных моделей к исследованиям в традиционных областях математики: математическом анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений, топологии и др. В нестандартном анализе на строгой математической основе реализуется до некоторой степени идея Лейбница и его последователей о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в развитии математического анализа после Лейбница была заменена точным понятием предела переменной величины. В общих чертах основной метод нестандартного анализа можно описать следующим образом. Рассматривается некоторая математическая структура <math>M</math> и строится логико-математический язык 1-го порядка, отражающий аспекты этой структуры, интересующие исследователя. Затем методами теории моделей строятся нестандартная модель теории структуры <math>M</math>, являющаяся собственным расширением <math>M</math>. При надлежащем построении новые, нестандартные, элементы модели могут быть истолкованы как предельные, «идеальные» элементы первоначальной структуры. Например, если первоначально рассматривалось упорядоченное поле вещественных чисел, то нестандартные элементы модели естественно рассматривать как «инфинитезимальные», т. е. бесконечно большие или бесконечно малые, но отличные от нуля вещественные числа. При этом все обычные отношения между вещественными числами автоматически переносятся и на нестандартные элементы с сохранением всех их свойств, выразимых в логико-математическом языке. Подобным образом в теории фильтров на данном множестве нестандартный элемент определяет непустое пересечение всех элементов фильтра; в топологии возникает семейство нестандартных точек, расположенных «бесконечно близко» к данной точке. Истолкование нестандартных элементов модели часто позволяет дать удобные критерии для обычных понятий в терминах нестандартных элементов. Например, можно доказать, что стандартная действительная функция <math>f(x)</math> непрерывна в стандартной точке <math>x_0</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)</math> бесконечно близка к <math>f(x_0)</math> для всех (и нестандартных) точек бесконечно близких к <math>x_0</math>. Полученные критерии могут быть с успехом применены к доказательству обычных математических результатов. Результаты, полученные методами нестандартного анализа, могут быть естественно передоказаны и обычным образом, но рассмотрение нестандартной модели имеет то значительное преимущество, что позволяет актуально вводить в рассуждение «идеальные» элементы, что позволяет давать прозрачные формулировки для многих понятий, связанных с предельными переходами от конечного к бесконечному. Первое строгое изложение предмета дал Абрахам Робинсон. С помощью нестандартного анализа был обнаружен ряд новых фактов. Многие классические доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа.
- Icke-standardanalys (ISA) är en metod att med hjälp av det hyperreella talsystemet, som tillåter oändligt små och oändligt stora tal (infinita tal), behandla de problem som inom den klassiska analysen behandlas genom gränsvärden. Resonemang kring oändliga tal låg till grund för framväxten av den matematiska analysen under slutet av 1600-talet, men eftersom man saknade ett rigoröst ramverk för att hantera oändliga tal så ådrog sig resonemangen kritik, och så småningom ersattes de helt av de definitioner baserade på gränsvärden utgör grunden för dagens analys. Under 1960-talet utarbetade dock Abraham Robinson en metod för att rigoröst utvidga det reella talsystemet till ett s.k. hyperreellt talsystem som utöver de reella talen innehöll vad han kallade för icke-standardtal. Med hjälp av detta system och dess grundläggande egenskap att allt som var sant för reella tal också var sant för hyperreella tal kan man behandla och explicit beräkna många problem som i det reella talsystemet skulle kräva implicta uttryck. Till exempel blir definitionen av derivata inte den klassiska <math>\lim_{n \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> utan helt enkelt <math>\frac{f(x+\varepsilon) - f(x)}{\varepsilon}</math> där <math>\varepsilon</math> är en infinitesimal. Exempel: <math>f(x)=x^2 \!</math>, där <math>x \!</math> är en reell variabel. <math>f'(x)=\frac{(x+\varepsilon)^2-x^2}{\varepsilon}=\frac{x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2-x^2}{\varepsilon}=\frac{2x\varepsilon+\varepsilon^2}{\varepsilon}=2x+\varepsilon</math> Eftersom talet <math>2x+\varepsilon</math> bara skiljer sig oändligt lite från <math>2x \!</math> så säger man att de är ekvivalenta: <math>2x +\varepsilon \simeq 2x</math> Och att standarddelen av <math>2x+\varepsilon</math> är lika med <math>2x \!</math>: <math>std(2x +\varepsilon) = 2x</math> På så sätt kan man alltså i icke-standardanalysen aritmetiskt räkna fram derivatan, och andra komplicerade objekt som t. ex. integraler, utan att använda sig av gränsvärdesdefinitioner.
- 非標準分析是一個數學分支，它用嚴格的無窮小的數(infinitesimal number)的概念來構建分析學。 非標準分析是在1960年代初由數學家亞伯拉罕·魯濱遜引入的。他寫道： 魯濱遜繼續說道： 有序域 F 中的非零元素稱為無窮小量，當且僅當其絕對值小於 F 中任何形如 1/n 的元素，其中 n 為 F 中的標準整數。一個擁有無窮小量的有序域稱為非阿基米德的。更一般地說，無窮小分析是任何依賴於非標準模型和傳達原理（transfer principle. 這個原理指出，把實數域上的一些命題搬到超實數域上仍然是對的。尚未找到此英文術語的通用中譯。）的數學。一個域如果滿足實數的傳達原理，則為超實數域，而非標準實分析就是使用這些域作為實數的非標準模型。 魯濱遜的原始辦法正是基於這些非標準的實數域模型。他那1966出版的的經典奠基作非標準分析，在今天仍有印行。 為了發展出無窮小量的演算法，必須先解決幾個技術問題。比如，只構造出含無窮小量的有序域是不夠的；關於此事的討論，參閱英文版
|
| rdfs:comment
|
- Non-standard analysis is a branch of mathematics that formulates analysis using a rigorous notion of an infinitesimal number. Non-standard analysis was introduced in the early 1960s by the mathematician Abraham Robinson. He wrote: [... ] the idea of infinitely small or infinitesimal quantities seems to appeal naturally to our intuition. At any rate, the use of infinitesimals was widespread during the formative stages of the Differential and Integral Calculus. As for the objection [...
- Nichtstandardanalysis ist ein Gebiet der Mathematik, das sich mit nicht-archimedisch geordneten Körpern beschäftigt. Der wichtigste Unterschied zur normalen Analysis besteht darin, dass in der Nichtstandardanalysis auch unendlich große und unendlich kleine Zahlen vorkommen.
- L'analyse non standard est une branche des mathématiques développée depuis 1960 afin de traiter la notion d'infiniment petit de manière rigoureuse. Pour cela, une nouvelle notion est introduite, celle d'objet standard et d'objet non standard, ou plus exactement de modèle standard ou de modèle non-standard. On peut alors présenter les principaux résultats de l'analyse mathématique sous une forme plus intuitive que l'analyse usuelle.
- L'analisi non standard è una rifondazione dell'Analisi matematica che recupera in buona parte l'impostazione originale di Leibniz e il concetto di infinitesimo. Fu introdotta da Abraham Robinson nel 1966.
- Нестандартный анализ — раздел математической логики, посвященный приложению теории нестандартных моделей к исследованиям в традиционных областях математики: математическом анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений, топологии и др.
- Icke-standardanalys (ISA) är en metod att med hjälp av det hyperreella talsystemet, som tillåter oändligt små och oändligt stora tal (infinita tal), behandla de problem som inom den klassiska analysen behandlas genom gränsvärden.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
