| dbpprop:abstract
|
- A non-Euclidean geometry is characterized by a non-vanishing Riemann curvature tensor. Examples of non-Euclidean geometries include the hyperbolic and elliptic geometry, which are contrasted with a Euclidean geometry. The essential difference between Euclidean and non-Euclidean geometry is the nature of parallel lines. Euclid's fifth postulate, the parallel postulate, is equivalent to Playfair's postulate, which states that, within a two-dimensional plane, for any given line ℓ and a point A, which is not on ℓ, there is exactly one line through A that does not intersect ℓ. In hyperbolic geometry, by contrast, there are infinitely many lines through A not intersecting ℓ, while in elliptic geometry, any line through A intersects ℓ. Another way to describe the differences between these geometries is to consider two straight lines indefinitely extended in a two-dimensional plane that are both perpendicular to a third line: In Euclidean geometry the lines remain at a constant distance from each other, and are known as parallels. In hyperbolic geometry they "curve away" from each other, increasing in distance as one moves further from the points of intersection with the common perpendicular; these lines are often called ultraparallels. In elliptic geometry the lines "curve toward" each other and eventually intersect.
- Nichteuklidische Geometrien unterscheiden sich von der euklidischen Geometrie dadurch, dass in ihnen das Parallelenaxiom nicht gilt.
- La geometria no euclidiana es diferencia de la geometria euclidiana en què, en aquesta mena de geomatria, el cinquè postulat d'Euclides no és vàlid. No fou desenvolupada amb la intenció de precisar la nostra experència espacial, sinó com a una teoria axiomàtica en conflicte amb el cinquè postulat d'Euclides. Segons el model de la geometria no euclidiana es demostra que el cinquè postulat d'Euclides no es pot deduir dels altres axiomes i que n'és independent. La geometria no euclidiana s'obté a mesura que s'omet o es modifica el cinquè postulat d'Euclides. Les possibilitats fonamentals de modificació són: Entre una recta i un punt situat fora de la recta no hi ha cap paral·lela. Per tant, dues rectes diferents en un mateix nivell es toquen sempre. Aquesta hipòtesi no és compatible amb la resta d'axiomes de la geometria euclidiana. S'arriba, per tant, a la conclusió que entre dos punts només hi pot haver una recta d'unió. Aquest fet condueix a la geometria el·líptica. Un model il·lustratiu de la geometria el·líptica bidimensional és la geometria d'una superfície esfèrica, on la suma d'angles d'un triangle és superior a 180º. Entre una recta i un punt situat fora de la recta hi ha, com a mínim, dues paral·leles. Amb la qual cosa la resta d'axiomes euclidians es mantenen. D'això se n'obté la geometria hiperbòlica. Un exemple bidimensional d'aquesta geometria és una superfície amb forma de selló, en la qual la suma dels angles d'un triangle situat damunt d'aquesta superfície és menor a 180º. Actualment la geometria no euclidiana té un paper molt important en la física teòrica i en la cosmologia. Segons la teoria de la relativitat, difereix de la geometria del cosmos perquè la gravitació "plega" l'espai. Un dels misteris més importants de la física actual, és saber si la geometria de l'univers és, en línies generals, esfèrica, plana (és a dir, euclidiana) o hiperbòlica.
- Neeuklidovská geometrie je obecné označení pro takové geometrie (tj. systémy splňující první čtyři Euklidovy postuláty), které nesplňují pátý Euklidův postulát. Jejími nejdůležitějšími případy jsou hyperbolická geometrie, eliptická geometrie (a její zvláštní případ sférická geometrie), Riemannova geometrie a absolutní geometrie. Geometrie splňující i pátý postulát se nazývá euklidovská.
- Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, ideada independientemente por varios autores a principios del siglo XIX. Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.
- Epäeuklidinen geometria viittaa sellaisiin euklidisen geometrian tyyppisiin geometrioihin, joissa euklidisen geometrian viides aksiooma, paralleeliaksiooma, ei ole voimassa. Epäeuklidisia geometrioita ovat muun muassa hyperbolinen ja elliptinen geometria. Olennainen ero euklidisen ja epäeuklidisen geometrian välillä on yhdensuuntaiset suorat. Euklidisessa geometrialla pisteestä A voidaan piirtää vain yksi suoran l kanssa yhdensuuntainen suora, joka kulkee A:n kautta. Hyperbolisessa geometriassa A:n kautta voidaan piirtää äärettömän monta A:n kautta kulkevaa, l:n kanssa yhdensuuntaista suoraa. Elliptisessä geometriassa yhdensuuntaisia suoria ei ole. Toinen tapa kuvailla näiden kolmen geometrian eroja on seuraava: tarkastellaan kahta suoraa, jotka ovat kohtisuorassa kolmatta suoraa vastaan. Euklidisessa ja hyperbolisessa geometriassa nämä kaksi suoraa ovat yhdensuuntaiset. Euklidisessa geometriassa suorat ovat yhtä kaukana toisistaan, mutta hyperbolisessa geometriassa ne "kaartuvat toisistaan poispäin", jolloin käyrien pisteiden välinen etäisyys kasvaa. Elliptisessä geometriassa suoran kaartuvat lähemmäksi toisiaan ja viimein leikkaavat toisensa. Siten elliptisessä geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria.
- On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments. Les différentes géométries non euclidiennes sont issues de la volonté de démontrer le cinquième postulat (le postulat, après que les quatre autres eurent été déclarés des axiomes) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être redondant. Ce à quoi Saccheri, procédant par l'absurde, avait échoué à la fin du XVII siècle. Dans les Éléments d'Euclide, le postulat ressemble à la conclusion d'un théorème, mais qui ne comporterait pas de démonstration : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits et qu'on peut comprendre comme : Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule. Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse.
- A geometriai rendszerek – geometriák - az alapozásban megfogalmazott premisszákban különböznek. Az euklideszi geometria axiómarendszerétől eltérő alapokra épített rendszereket közös néven nemeuklideszi geometriáknak nevezzük. Eleinte csak az elsőként felfedezett Bolyai-Lobacsevszkij féle geometriát illették az elnevezéssel, de a további tudományos kutatások újabb lehetőségeket is feltártak, s az így konstruált geometriák mindegyike különbözik a kétezer évig egyedül lehetségesnek tartott euklideszitől.
- Una geometria non euclidea è una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. Il V postulato di Euclide, detto postulato delle parallele è il postulato che nel corso dei secoli ha suscitato il maggior interesse. La caratteristica che contraddistingue i postulati e gli assiomi della geometria di Euclide, secondo le idee del tempo, è l'essere asserzioni la cui verità è garantita dall'evidenza (l'opera di Euclide è stata riorganizzata in senso moderno da Hilbert, che l'ha spogliata, ad esempio, del carattere osservativo da cui partiva la giustificazione nell'uso dei postulati e degli assiomi euclidei). Secondo Euclide, l'evidenza è una caratteristica dei primi quattro postulati degli Elementi: basta infatti usare riga e compasso; inoltre essi restano validi se ci si limita ad una porzione finita di piano. Sempre nell'ottica euclidea, il Postulato delle parallele non è ‘evidentemente vero', infatti non rimanda ad alcuna costruzione geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano. Pare che lo stesso Euclide non fosse convinto dell'evidenza del postulato e questo è dimostrato dall'uso limitato che ne ha fatto nelle dimostrazioni dei teoremi della sua geometria. Negli oltre duemila anni successivi alla diffusione degli Elementi di Euclide, molti sono stati i tentativi di dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo con altri equivalenti. Tuttavia tali tentativi sono falliti in quanto i ragionamenti riconducevano sempre all'uso del V postulato. Nei primi decenni del XIX secolo, il fallimento di tutti i tentativi effettuati aveva convinto i matematici dell'impossibilità di dimostrare il V postulato. È da questo momento che inizia a farsi strada l'idea di costruire altre geometrie che facciano a meno del V postulato. Nascono così le prime geometrie non euclidee e i loro modelli, inizialmente al fine di dimostrarne l'inconsistenza e quindi, per assurdo, il V postulato. . Aristotele (384-322 a.C. ), già prima di Euclide (365-300 a.C. ), aveva abbozzato l'esistenza di geometrie diverse da quelle che nel XIX secolo verranno chiamate "non euclidee", riprendendo e sviluppando considerazioni di geometri contemporanei. Partendo dall'ipotesi che la somma degli angoli interni di un triangolo potesse essere diversa da due angoli retti concluse che in tal caso sarebbe dovuta cambiare anche la somma degli angoli interni di un quadrato, che nel caso euclideo è di quattro angoli retti. Tali osservazioni sono contenute nelle opere di etica e riguardano la coerenza dello sviluppo di un sistema logico riferito all'ipotesi di base (vedi Imre Toth che ne scoprì l'esistenza a partire dal 1967 in diversi passi del "Corpus Aristotelicum").
- 非ユークリッド幾何学（ひ-ユークリッド-きかがく、non-Euclidean geometry）は、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たないとして成立する幾何学の総称。非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学（殊に球面幾何学）が知られている。 ユークリッドの幾何学は、至る所曲率0の世界の幾何であることから、双曲・楕円に対して放物幾何学と呼ぶことがある。大雑把に言えば「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。
- Niet-euclidische meetkunde is meetkunde waarbij het vijfde postulaat van Euclides niet wordt aangenomen. Euclides ging bij zijn meetkunde uit van een aantal postulaten. De meeste daarvan zijn eenvoudig, maar het vijfde vormt een uitzondering. Het postulaat heeft diverse vormen, maar de bekendste is waarschijnlijk "Gegeven een rechte l en een punt P dat niet op l ligt, dan is er in het vlak door l en P maar één rechte door P die l niet snijdt. " (Euclides' oorspronkelijke vorm was gecompliceerder. ) Er zijn twee typen niet-euclidische meetkunde: In hyperbolische meetkunde gaan er door P oneindig veel lijnen die l niet snijden In elliptische meetkunde gaat er door P geen lijn die l niet snijdt: alle lijnen snijden elkaar. Overigens is het voor elliptische meetkunde nodig ook andere postulaten van Euclides aan te passen. Lange tijd heeft men geprobeerd het parallellenpostulaat te bewijzen uit de andere axioma's, maar achteraf bleken alle bewijzen fout, doordat er ergens toch een 'evident' feit was gebruikt dat echter niet uit de overblijvende axioma's volgt, en dus equivalent was aan het parallellenpostulaat. In de 19e eeuw werd de stap genomen het parallellenpostulaat te laten vallen. Drie wiskundigen: de Rus Nikolaj Ivanovitsj Lobatsjevski, de Hongaar János Bolyai en de Duitser Carl Friedrich Gauss (ongepubliceerd, maar voor 1832) ontdekten ieder voor zich de principes van de hyperbolische meetkunde. In 1733 had overigens Giovanni Saccheri al een flink aantal stellingen afgeleid, in een poging het parallellenpostulaat door middel van reductio ad absurdum te bewijzen. De elliptische meetkunde werd geïntroduceerd door Bernhard Riemann in 1854, als onderdeel van een veel grotere klasse van meetkunden.
- Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie spełnia wszystkich aksjomatów geometrii euklidesowej. Może ona spełniać tylko część z nich, przy czym mogą również obowiązywać w niej inne, sprzeczne z aksjomatami i twierdzeniami geometrii Euklidesa. Przykładami geometrii nieeuklidesowych są: geometria hiperboliczna (geometria Łobaczewskiego), geometria eliptyczna (geometria sferyczna), geometria Riemanna będąca uogólnieniem powyższych. Wielki wkład do rozwoju tych geometrii wnieśli: Nikołaj Łobaczewski, János Bolyai, Carl Friedrich Gauss, Georg Riemann, David Hilbert.
- Em matemática, uma geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema axiomático distinto do da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exactamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as geometrias elíptica e hiperbólica. Na geometria elíptica não há nenhuma reta paralela à inicial, enquanto que na geometria hiperbólica existe uma inifinidade de rectas paralelas à inicial que passam no mesmo ponto. A Geometria dos Espaços Curvos
- Geometria neeuclidiană este o ramură a geometriei care diferă de geometria euclidiană printr-o altă axiomă de paralelism. În geometria neeuclidiană hiperbolică numită de obicei geometria lui Lobacevski, printr-un punct dat putem să ducem două paralele la o dreaptă dată. În geometria neeuclidiană eliptică nu există drepte paralele. S-a demonstrat că geometriile neeuclidiene sunt necontradictorii şi s-au construit şi modele în spaţiul euclidian pe care ele le verifică. Crearea acestor geometrii neeuclidiene a dovedit faptul că în mod logic sunt posibile mai multe sisteme geometrice. Geometria neeuclidienă este folosită pentru formularea teoriei generalizate a relativităţii.
- Файл:Euclidian and non euclidian geometry. png Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «Неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии. Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям трёхмерного пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского. Об истории понятия см. Аксиома параллельности Евклида.
- I en icke-euklidisk geometri gäller inte Euklides femte axiom, det så kallade parallellaxiomet. (Väljer man att godta parallellaxiomet får man euklidisk geometri. ) Termen icke-euklidisk geometri beskriver både hyperbolisk och elliptisk geometri, som står i kontrast till euklidisk geometri. Den väsentliga skillnaden mellan euklidisk och icke-euklidisk geometri är de parallella linjernas natur. I euklidisk geometri, om vi startar i en punkt A och en linje l, så kan vi endast dra en linje genom A som är parallell med l. Å andra sidan, i hyperbolisk geometri finns det oändligt många linjer genom A parallella med l, och i elliptisk geometri existerar inte parallella linjer. Ett annat sätt att beskriva skillnaderna mellan dessa geometrier är som följande: betrakta två linjer i ett plan som båda är vinkelräta mot en tredje linje. I euklidisk och hyperbolisk geometri är då de två linjerna parallella. I euklidisk geometri förblir emellertid de två linjerna på ett konstant avstånd, medan i hyperbolisk geometri "böjer de av" från varandra med ökande avstånd i takt med att avståndet från skärningspunkten med den gemensamma vinkelräta linjen ökar. I elliptisk geometri "kröker" linjerna mot varandra, och slutligen skär de varandra; således existerar inga parallella linjer i elliptisk geometri. Beteende hos linjer med gemensam ortogonal linje i vardera av de tre sorternas geometri
- 非欧几里得几何，简称非欧几何，是几个几何形式系统的统称。欧几里得几何和非欧几何的差别在于第五公设（见下）。
|
| rdfs:comment
|
- A non-Euclidean geometry is characterized by a non-vanishing Riemann curvature tensor. Examples of non-Euclidean geometries include the hyperbolic and elliptic geometry, which are contrasted with a Euclidean geometry. The essential difference between Euclidean and non-Euclidean geometry is the nature of parallel lines.
- Nichteuklidische Geometrien unterscheiden sich von der euklidischen Geometrie dadurch, dass in ihnen das Parallelenaxiom nicht gilt.
- La geometria no euclidiana es diferencia de la geometria euclidiana en què, en aquesta mena de geomatria, el cinquè postulat d'Euclides no és vàlid. No fou desenvolupada amb la intenció de precisar la nostra experència espacial, sinó com a una teoria axiomàtica en conflicte amb el cinquè postulat d'Euclides. Segons el model de la geometria no euclidiana es demostra que el cinquè postulat d'Euclides no es pot deduir dels altres axiomes i que n'és independent.
- Neeuklidovská geometrie je obecné označení pro takové geometrie (tj. systémy splňující první čtyři Euklidovy postuláty), které nesplňují pátý Euklidův postulát. Jejími nejdůležitějšími případy jsou hyperbolická geometrie, eliptická geometrie (a její zvláštní případ sférická geometrie), Riemannova geometrie a absolutní geometrie. Geometrie splňující i pátý postulát se nazývá euklidovská.
- Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, ideada independientemente por varios autores a principios del siglo XIX.
- Epäeuklidinen geometria viittaa sellaisiin euklidisen geometrian tyyppisiin geometrioihin, joissa euklidisen geometrian viides aksiooma, paralleeliaksiooma, ei ole voimassa. Epäeuklidisia geometrioita ovat muun muassa hyperbolinen ja elliptinen geometria. Olennainen ero euklidisen ja epäeuklidisen geometrian välillä on yhdensuuntaiset suorat. Euklidisessa geometrialla pisteestä A voidaan piirtää vain yksi suoran l kanssa yhdensuuntainen suora, joka kulkee A:n kautta.
- On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments. Les différentes géométries non euclidiennes sont issues de la volonté de démontrer le cinquième postulat (le postulat, après que les quatre autres eurent été déclarés des axiomes) qui semblait peu satisfaisant car trop complexe, et peut-être redondant. Ce à quoi Saccheri, procédant par l'absurde, avait échoué à la fin du XVII siècle.
- A geometriai rendszerek – geometriák - az alapozásban megfogalmazott premisszákban különböznek. Az euklideszi geometria axiómarendszerétől eltérő alapokra épített rendszereket közös néven nemeuklideszi geometriáknak nevezzük.
- Una geometria non euclidea è una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. Il V postulato di Euclide, detto postulato delle parallele è il postulato che nel corso dei secoli ha suscitato il maggior interesse.
- Niet-euclidische meetkunde is meetkunde waarbij het vijfde postulaat van Euclides niet wordt aangenomen. Euclides ging bij zijn meetkunde uit van een aantal postulaten. De meeste daarvan zijn eenvoudig, maar het vijfde vormt een uitzondering. Het postulaat heeft diverse vormen, maar de bekendste is waarschijnlijk "Gegeven een rechte l en een punt P dat niet op l ligt, dan is er in het vlak door l en P maar één rechte door P die l niet snijdt.
- Geometria nieeuklidesowa – geometria, która nie spełnia wszystkich aksjomatów geometrii euklidesowej. Może ona spełniać tylko część z nich, przy czym mogą również obowiązywać w niej inne, sprzeczne z aksjomatami i twierdzeniami geometrii Euklidesa. Przykładami geometrii nieeuklidesowych są: geometria hiperboliczna (geometria Łobaczewskiego), geometria eliptyczna (geometria sferyczna), geometria Riemanna będąca uogólnieniem powyższych.
- Em matemática, uma geometria não euclidiana é uma geometria baseada num sistema axiomático distinto do da geometria euclidiana. Modificando o axioma das paralelas, que postula que por um ponto exterior a uma reta passa exactamente uma reta paralela à inicial, obtêm-se as geometrias elíptica e hiperbólica.
- Geometria neeuclidiană este o ramură a geometriei care diferă de geometria euclidiană printr-o altă axiomă de paralelism. În geometria neeuclidiană hiperbolică numită de obicei geometria lui Lobacevski, printr-un punct dat putem să ducem două paralele la o dreaptă dată. În geometria neeuclidiană eliptică nu există drepte paralele. S-a demonstrat că geometriile neeuclidiene sunt necontradictorii şi s-au construit şi modele în spaţiul euclidian pe care ele le verifică.
- Файл:Euclidian and non euclidian geometry.
- I en icke-euklidisk geometri gäller inte Euklides femte axiom, det så kallade parallellaxiomet. (Väljer man att godta parallellaxiomet får man euklidisk geometri. ) Termen icke-euklidisk geometri beskriver både hyperbolisk och elliptisk geometri, som står i kontrast till euklidisk geometri. Den väsentliga skillnaden mellan euklidisk och icke-euklidisk geometri är de parallella linjernas natur.
- 非欧几里得几何，简称非欧几何，是几个几何形式系统的统称。欧几里得几何和非欧几何的差别在于第五公设（见下）。
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
