| dbpprop:abstract
|
- The Navier–Stokes equations, named after Claude-Louis Navier and George Gabriel Stokes, describe the motion of fluid substances, that is substances which can flow. These equations arise from applying Newton's second law to fluid motion, together with the assumption that the fluid stress is the sum of a diffusing viscous term (proportional to the gradient of velocity), plus a pressure term. They are exceptionally useful because they describe the physics of many things of academic and economic interest. They may be used to model the weather, ocean currents, water flow in a pipe, the air's flow around a wing, and motion of stars inside a galaxy. The Navier–Stokes equations in their full and simplified forms help with the design of aircraft and cars, the study of blood flow, the design of power stations, the analysis of pollution, and many other things. Coupled with Maxwell's equations they can be used to model and study magnetohydrodynamics. The Navier–Stokes equations are also of great interest in a purely mathematical sense. Somewhat surprisingly, given their wide range of practical uses, mathematicians have not yet proven that in three dimensions solutions always exist, or that if they do exist, then they do not contain any singularity (or infinity or discontinuity) (smoothness). These are called the Navier–Stokes existence and smoothness problems. The Clay Mathematics Institute has called this one of the seven most important open problems in mathematics, and offered a US$1,000,000 prize (approx. €0.7M or £0.6M as of September 2009) for a solution or a counter-example. The Navier–Stokes equations dictate not position but rather velocity. A solution of the Navier–Stokes equations is called a velocity field or flow field, which is a description of the velocity of the fluid at a given point in space and time. Once the velocity field is solved for, other quantities of interest (such as flow rate or drag force) may be found. This is different from what one normally sees in classical mechanics, where solutions are typically trajectories of position of a or deflection of a continuum. Studying velocity instead of position makes more sense for a fluid, however for visualization purposes one can compute various trajectories.
- Die Navier-Stokes-Gleichungen [navˈjeː stəʊks] sind die Grundgleichungen der Strömungsmechanik. Sie beschreiben die Strömung in newtonschen Flüssigkeiten und Gasen. Die Navier-Stokes-Gleichungen verkörpern ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung. Kern der Gleichungen ist der Impulssatz als Anwendung der newtonschen Axiome für ein Kontinuum. Bei Nutzung des Nabla-Operators <math>\nabla hat er die Form: \rho \dot\mathbf{v} =-\nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}. Hier ist <math>\dot\mathbf{v} die Beschleunigung eines Teilchens in der Strömung. Unter Beachtung der Kettenregel sowie <math>\mathbf{v} = \mathbf{v} (\mathbf{r},t) wird hieraus: \rho{ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} } + \rho(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} =-\nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + (\lambda + \eta) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v})+\mathbf{f}. Der Vektor <math>\mathbf{f} beschreibt die Volumenkraftdichte wie beispielsweise die Gravitation oder die Corioliskraft jeweils bezogen auf das Einheitsvolumen und besitzt die Einheit Newton/Kubikmeter. Die Stoffkonstanten <math>\lambda und <math>\eta sind die Lamé-Viskositäts-Konstanten und werden in der Regel als bekannt vorausgesetzt. <math>\eta wird auch als dynamische Viskosität bezeichnet. <math>\rho ist die Dichte und <math>p der Druck. Zur Vervollständigung der Gleichungen müssen noch der Massenerhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz hinzugefügt werden. Je nach weiteren Annahmen, die an das Fluid gestellt werden, ergibt sich das vollständige System in unterschiedlicher Form. Die am häufigsten verwendete Form sind die weiter unten erläuterten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.
- Navierova-Stokesova rovnice je rovnice popisující proudění nestlačitelné Newtonské tekutiny. Rovnici odvodili Francouz Claude Louis Marie Henri Navier a Ir George Gabriel Stokes v letech 1827 a 1845 nezávisle na sobě.
- Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos. Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante el ordenador se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).
- Navierin-Stokesin yhtälöt on joukko yhtälöitä, jotka kuvaavat fluidien eli nesteiden ja kaasujen liikettä. Yhtälöt kertovat, että muutokset fluidiosasen liikemäärässä johtuvat paineen ja fluidin sisäisten viskoosien voimien vaihtelusta. Navierin-Stokesin yhtälö on siis tasapainoyhtälö fluidiin vaikuttaville voimille. Yhtälöt on nimetty Claude-Louis Navierin ja George Gabriel Stokesin mukaan. Yhtälöt ovat erittäin käyttökelpoisia monilla fysiikan osa-alueilla. Niitä voidaan käyttää muun muassa mallintamaan säätä, merivirtoja, nesteen virtausta putkessa tai ilman liikettä lentokoneen siiven ympärillä. Siksi niitä käytetään muun muassa autojen ja ilma-alusten muotoilun tai voimalaitosten suunnittelussa sekä saasteiden leviämisen arvioinnissa. Navierin-Stokesin yhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä. Tämä tarkoittaa sitä, että toisin kuin algebralliset yhtälöt, jotka kuvaavat muuttujien kuten nopeuden ja paineen välisiä suhteita, nämä yhtälöt kuvaavat muuttujien muutosnopeuksien eli derivaattojen suhteita. Yksinkertaisimman muotonsa ne saavat ideaalifluidiin sovellettuina, jolloin viskoosit voimat ovat nollia. Nämä voimat johtuvat fluidin molekyylien vuorovaikutuksesta, ja niiden suuruus kuvaa, kuinka "paksua" fluidi on. Tällöin yhtälö kertoo, että kiihtyvyys (nopeuden muutosnopeus) on verrannollinen sisäisen paineen muutokseen. Käytännössä kaikissa tapauksissa Navier-Stokes-yhtälöiden ratkaisut täytyy löytää numeerisesti tietokoneiden avulla. Vaikka turbulenssi on mitä tavallisin arkipäivän ilmiö, turbulenssiongelmiin on äärimmäisen vaikea löytää ratkaisuja. Toukokuussa 2000 Clay-instituutti (Clay Mathematics Institute) listasi Navierin-Stokesin yhtälöt niiden seitsemän ratkaisemattoman ongelman joukkoon, joiden ratkaisusta on luvattu miljoona dollaria. Palkinnon saa se, joka huomattavasti kehittää tämän ilmiön selittävää matemaattista teoriaa.
- En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans l'approximation des milieux continus. Elles gouvernent par exemple les mouvements de l'air de l'atmosphère, les courants océaniques, l'écoulement de l'eau dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIX siècle, Claude Navier et George Stokes. Pour un gaz peu dense, il est possible de démontrer ces équations à partir de l'équation de Boltzmann.
- Le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che descrive il comportamento di un fluido dal punto di vista macroscopico. Esse presuppongono perciò la continuità del fluido in esame, ovverosia il sistema perde di validità nello studio di un gas rarefatto. L'ipotesi di base è che il fluido possa essere modellato come un continuo deformabile. Le equazioni debbono il loro nome da quello di Claude-Louis Navier e di George Gabriel Stokes. L'efficienza predittiva di tali equazioni viene pagata in termini di difficoltà di calcolo. Nel caso generale coinvolgono infatti cinque equazioni scalari differenziali alle derivate parziali e 20 variabili. Il bilancio tra equazioni e incognite avviene (come vedremo più avanti) con la definizione delle proprietà del fluido considerato, delle eventuali forze di campo in gioco e con considerazioni matematiche. Inoltre, a causa della loro non linearità, le equazioni di Navier-Stokes non ammettono quasi mai una soluzione analitica (ovvero una soluzione esatta), ma esclusivamente numerica (una soluzione approssimata con un metodo numerico). Le equazioni vengono completate dalle condizioni al contorno e dalle condizioni iniziali (condizioni imposte all'inizio temporale del fenomeno da studiare). Possono inoltre essere integrate dall'equazione di stato dei gas perfetti e dalle equazioni di conservazione delle singole specie gassose nel caso di una miscela di gas.
- ナビエ-ストークス方程式（- ほうていしき、Navier-Stokes equations）は流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた。NS方程式とも略される。 しばしば用いられる条件である、非圧縮性流れのニュートン流体について、有次元のナビエ-ストークス方程式をベクトル形式で表すと、 \frac{ \partial \boldsymbol{u} }{ \partial t } + (\boldsymbol{u} \cdot \nabla)\boldsymbol{u} = -\frac{ 1 }{ \rho } \nabla p + \nu \nabla^2 \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f} となる。左辺をまとめて Du/Dt と書くこともある。 ここで、時刻 t における、注目した点での <math>u - 速度ベクトル <math>f - 単位体積当りの流体に加わる外力のベクトル <math>\rho - 密度 <math>p - 圧力 <math>\nu - 動粘性係数 である。 方程式は運動方程式（加速度 = 力/質量）に基づいており、左辺が加速度、右辺が単位質量当りの流体に作用する力を表している。各項はそれぞれ、 左辺 - 第1項 : 時間[微分]項、第2項 : 移流項（対流項） 右辺 - 第1項 : 圧力項、第2項 : 粘性項（拡散項）、第3項 : 外力項 と呼ばれる。外力項には、状況によって、重力をはじめ浮力・表面張力・電磁気力などが該当する。
- De Navier-Stokes vergelijkingen, genoemd naar Claude-Louis Navier en George Stokes, zijn partiële differentiaalvergelijkingen die de stroming van fluïda beschrijven. Die vergelijkingen zeggen, dat een verandering in impuls van een fluïdumdeel - bijvoorbeeld als een vloeistof versnelt - altijd in evenwicht is met drukverschillen die er zijn en met de dissipatieve visceuze kracht die inwerkt op het fluïdum. Die visceuze kracht ontstaat door moleculaire interactie en bepaalt hoe "stroperig" (of hoe viskeus) een fluïdum is. De Navier-Stokes vergelijkingen zijn dus een dynamische uitdrukking van het krachtenevenwicht inwerkend op een willekeurig deel van een fluïdum. In feite drukken de vergelijkingen dus de wetten van Newton d(mv)/dt = F uit voor een eenheidsvolume. De vergelijkingen gelden algemeen, zolang de snelheid veel kleiner blijft dan de lichtsnelheid en zolang geen kwantumeffecten zoals supervloeibaarheid meespelen.
- Navier–Stokes-ligningene, oppkalt etter Claude-Louise Navier og George Gabriel Stokes, er ligninger som beskriver bevegelse av viskøse væsker og gasser. Som oftest gir ligningene opphav til ikke-lineære differentialligninger som demonstrerer fenomenet kaos. Vektorligningen er <math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \mathbf{f}. For en newtonsk fluid kan leddet <math> \nabla \cdot\mathbb{T} erstattes med <math> \mu \nabla^2 \mathbf{v}, der <math> \mu er den dynamiske viskositetskonstanten for fluiden.
- Równania Naviera-Stokesa to zestaw równań w postaci równań ciągłości, opisujące zasadę zachowania masy i pędu dla poruszającego się płynu. Według nich zmiany pędu elementu płynu zależą jedynie od zewnętrznego ciśnienia i wewnętrznych sił lepkości w płynie. Dla płynu idealnego o zerowej lepkości równania mówią, że przyspieszenie jest proporcjonalne do pochodnej ciśnienia. Oznacza to, że rozwiązania równań dla danego problemu fizycznego muszą być znalezione na drodze rachunku różniczkowego i całkowego. W praktyce, jedynie najprostsze przypadki mogą być rozwiązane dokładnie na tej drodze. To znaczy przypadki nie-turbulentnego, spokojnego przepływu (nie zmieniającego się w czasie), w których liczba Reynoldsa ma małą wartość. W bardziej złożonych przypadkach, takich jak systemy badania pogody na Ziemi, takie jak El Niño lub przy obliczeniach siły nośnej skrzydeł samolotów, rozwiązania równań Naviera-Stokesa mogą być znalezione jedynie metodami numerycznymi przy pomocy komputerów. Jest to oddzielna dziedzina nauki zwana computational fluid dynamics (dynamika płynów obliczana komputerowo).
- As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão.
- Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Луи Навье и британского математика Джорджа Стокса. Система состоит из двух уравнений: уравнения движения, уравнения неразрывности. В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом: \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} + \nu\Delta\vec{v} - \frac{1}{\rho}\nabla p + \vec{f}, \nabla\cdot\vec{v} = 0, где <math>\nabla — оператор Гамильтона, <math>\Delta — оператор Лапласа, <math>t — время, <math>\nu — коэффициент кинематической вязкости, <math>\rho — плотность, <math>p — давление, <math>\vec{v}=(v^1,\dots,v^n) — векторное поле скоростей, <math>\vec{f} — векторное поле массовых сил. Неизвестные <math>p и <math>\vec{v} являются функциями времени <math>t и координаты <math>x\in\Omega, где <math>\Omega\subset \mathbb{R}^n, <math>n=2,3 — плоская или трехмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье-Стокса добавляют краевые и начальные условия, например \vec{v}|_{\partial \Omega} = 0, \vec{v}|_{t=0} = \vec{v}_0. Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния. При учёте сжимаемости уравнение Навье — Стокса принимает следующий вид: \rho \left(\frac{\partial v_i}{\partial t} +v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} \right)= - \frac{\partial P}{\partial x_i} \, + \, \frac{\partial }{\partial x_k} \left\{ \mu \left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\, \delta_{i,k} \, \frac{\partial v_l}{\partial x_l} \right) \right\} \, + \, \frac{\partial }{\partial x_k} \left(\zeta \, \frac{\partial v_l}{\partial x_l} \delta_{i,k} \, \right), где <math>\mu — коэффициент динамической вязкости, <math> \zeta — «вторая вязкость».
- Navier-Stokes ekvationer beskriver hur flöden beter sig. De har fått sitt namn från Claude-Louis Navier och George Gabriel Stokes. För praktiska ändamål används vanligen förenklingar där en eller flera egenskaper antas vara konstanta. En förutsättning för att ekvationerna ska vara giltiga är att flödet kan antas vara kontinuerligt. Det vill säga, de kan inte användas i de fall man måste ta hänsyn till att materian är uppbyggd av atomer och molekyler. Navier-Stokes ekvationer består av en ekvation för masskonserveration: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i}{\partial x_i}=0</math> och beroende på problemet en till tre stycken ekvationer för bevarande av rörelsemängd <math>\frac{\partial \rho u_i}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_j}=\frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} -\frac{\partial p}{\partial x_i}</math> samt en ekvation för bevarande av energin. <math>\frac{\partial \rho E}{\partial t}+ \frac{\partial \rho u_i H}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\left(k\frac{\partial T}{\partial x_i}\right)+\frac{\partial u_i \tau_{ij}}{\partial x_j} </math> Där <math>\tau_{ij}</math> är spänningstensorn för linjärt viskösa gaser. <math>\tau_{ij}=\left(\mu\left-\delta_{ij}\left \right)</math>
- NavierStokes denklemleri, ismini ClaudeLouis Navier ve George Gabriel Stokes'tan almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır. Bu denklemler; akışkan içerisindeki birim kütleye etki eden momentum (ivmelenme) değişimlerinin, basınç değişimleri ve sürtünme kayıplarına neden olan viskoz kuvvetlerin (sürtünmeye benzer) toplamına eşit olduğunun doğruluğunu ortaya koymaktadır. Bu viskoz kuvvetler moleküller arası etkileşimlerden meydana gelmekte ve akışkanın akmaya ne kadar dirençli olduğunu göstermektedir. Böylece, NavierStokes denklemlerinin, verilen akışkanın herhangi bir bölgesindeki kuvvetler dengesinin dinamik ifadesi olduğu söylenebilir. Bu denklemler en kullanışlı denklemlerin başında gelmektedirler. Çünkü, gerek akademik gerekse ekonomik birçok fenomenin fiziğini açıklamaktadır. Hava akımları ve okyanus akıntılarının, boru içindeki su akışının, galaksideki yıldız hareketlerinin, kanat etrafındaki hava akımlarının modellenmesinde ve hesaplarında sıkça kullanılırlar. Temel kabuller NavierStokes denklemlerinin detayına girmeden önce, akışkanlar hakkında bazı kabuller yapılması gereklidir. Öncelikle akışkanın sürekli olduğu kabul edilir. Yani akışkanın tamamının aynı özellikte olduğu içinde farklı biçimler (formlar) bulunmadığı kabul edilir. Bir başka gerekli kabulde konu ile ilgili tüm alanların basınç, hız, yoğunluk, sıcaklık vs. , diferansiyel olduğudur. Denklemler, momentum ve enerji ve kütle korunumunun temel prensiplerinden elde edilir. Bunun için, bazı hallerde kontrol hacmi adı verilen, rastgele seçilmiş sonlu bir hacim belirlemek gereklidir, bu hacim üzerinde bu prensipler kolayca uygulanabilir. Bu sonlu hacim <math>\Omega ile gösterilir ve yüzeyi sınırlandırılır <math>\partial \Omega. Kontrol hacmi, sabit kalabilir veya akışkan ile hareket edebilir. Temel kabuller bunlardır, bununla beraber, farklı uygulamarda özel kabullerde yapılabilir. Gerçek türev Hareket eden akışkanın özelliklerinin değişiminin ölçülebilmesi için iki yol vardır. Örneğin dünya atmosferindeki rüzgar hızının değişimleri ele alınacak olursa; bu değişiklikler bir meteoroloji istasyonu ölçüm cihazı (anemometre) veya bir hava balonu yolu ile ölçülebilir. Şüphesiz, ilk durumdaki anemometre boşlukta sabit bir nokta boyunca geçiş yapan tüm hareketli parçacıkların hızını ölçerken, ikinci durumda bahsedilen aygıt akışkan ile beraber hareket ederken hızdaki değişimi ölçer. Aynı durumda, yoğunluk, sıcaklık vb. değişimlerde ölçümü etkileyecektir. Bu nedenle, bu iki hal için bir ayırım yapılmalıdır. Bir alanın boşluktaki sabit bir pozisyona göre türevi uzaysal (spatial) veya Euleryen türev (Eulerian derivative) olarak adlandırılır. Hareketli bir parçacığın izlenmesi türevi gerçek (substantive), Lagrangyan (Lagrangian) veya maddi (material) türev olarak adlandırılır. Gerçek türev şu şekilde tanımlanır: \frac{D}{Dt}(\star) \equiv \frac{\partial(\star)}{\partial t} \mathbf{v}\cdot\nabla (\star) Burada <math>\mathbf{v} akışkanın hızıdır. Denklemin sağ tarafındaki ilk terim alışılmış Euleryen türevi (sabit bir referans üzerindeki türev) iken, ikinci terim akışkan hareketi ile oluşan değişiklikleri ifade eder. Bu etki adveksiyon olarak adlandırılır. Korunum kanunları NavierStokes denklemleri, aşağıdaki korunum kanunlarından türetilir: Kütle Enerji Momentum Açısal momentum Ek olarak, akışkan için bir durum denklemi bağıntısı kabulu yapılması gereklidir En genel biçimde, bir korunum kanunu şunu ifade eder, bir kontrol hacmi üzerinde tanımlanmış hacim özelliği (bulk property) değişiminin oranı <math>L havcim sınırları boyunca hareket eden akışkanın dışarı taşıdığı kayıp ve artı kontrol hacminin iç tarafındaki kazançlar ve kayıplara eşit kabul edilir. Bu, aşağıdaki integral denklemi ile ifade edilir. \frac{d}{dt}\int_{\Omega} L \; d\Omega \int_{\partial\Omega} L\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega \int_{\Omega} Q d\Omega Bu denklemde v akışkanın hızı ve <math>Q akışkan içindeki kazançlar ve kayıplar olarak ifade edilir. Eğer kontrol hacmi boşluk içinde sabitlenmiş ise bu integral denkleminden aşağıdaki şekilde bir ifade yazılabilir. \frac{d}{d t} \int_{\Omega} L d\Omega \int_{\Omega} \nabla\cdot (L\mathbf{v}) d\Omega \int_{\Omega} Q d\Omega Ayrıca, kontrol hacminin içinde, bu son denklemde elde edilmiş olan sağ taraftaki ilk terimin ifade edilmesi için diverjans teoremi kullanılmıştır. Böylece: \frac{d}{dt}\int_{\Omega} L d\Omega \int_{\Omega} (\nabla\cdot Q) d\Omega Yukarıdaki ifade boşlukta sabit kalan bir kontrol hacminde <math>\Omega için geçerlidir. Çünkü <math>\Omega zaman içinde sabittir, değişmez. Bu sayede "<math>\frac{d}{dt}" ve "<math> \int_{\Omega}^{} d\Omega" ifadeleri birbirinin yerine yazılabilir. Böylece ifade tüm alanlar için geçerli olur, ve integral çıkartılabilir. Gerçek türev, <math> Q 0 olduğunda (kazanç ve kayıp yokken) elde edilir. \frac{\partial}{\partial t} L \nabla\cdot\left(L \mathbf{v} \right) \frac{D}{Dt}L L \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) 0 Süreklilik denklemi Kütlenin korunumu şu şekilde yazılır: \frac{\partial \rho}{\partial t} \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) 0 \frac{\partial \rho}{\partial t} \rho\nabla\cdot\mathbf{v} \mathbf{v} \cdot \nabla \rho \frac{D \rho}{D t} \rho \nabla \cdot \mathbf{v} 0 Burada <math>\rho kütle yoğunluğu (birim hacim başına kütle), v akışkanın hızıdır. Sıkıştırılamaz bir akışkan için <math>\rho akış hattı boyunca değişmez ve denklem şu hale indirgenir: \nabla\cdot\mathbf{v} 0 Momentumun korunumu Momentumun korunumu, yoğunluk yerine momentumun vektör bileşenleri ve akışkan üzerine etkiyen kuvvetler ile, süreklilik denklemine benzer bir yaklaşım yapılarak ifade edilir. Süreklilik denkleminde <math>\rho yerine belirli bir yönde birim hacim başına net momentum yazılır, <math>\rho v_i, burada <math>v_i hızın <math>i^{th} bileşenidir. (hız x, y veya z yönleri boyunca olmak üzere) \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_i \right) \nabla \cdot (\rho v_i \mathbf{v}) \rho f_i . <math> \rho f_i, akışkan üzerine etkiyen kuvvetin <math>i^{th} bileşenidir (her birim hacim başına gerçek kuvvet). Genel kuvvetler yerçekimi ve basınç gradyenlerini kapsar. Bu şu şekilde de ifade edilebilir: \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) \rho \mathbf{f} Ayrıca, <math>\mathbf{v}\otimes\mathbf{v} bir tensor'dür, <math>\otimes tensor çarpımını ifade eder. Süreklilik denkleminin kullanımı daha da basitleştirilebilir ve şu hale gelir: \rho\frac{D v_i}{D t}\rho f_i Genel kullanımda aşağıdaki gibi de yazılabilir \rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}\rho \mathbf{f} Bu bağlamda Fma ifadesi doğrulanmış olur. Denklemler Genel biçim Denklemlerin elde edilişi Momentumun korunumu için NavierStokes denklemlerinin genel biçimi : \rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} \nabla \cdot\mathbb{P} \rho\mathbf{f} Burada <math>\rho akışkan yoğunluğu, v hız vektörü ve f kitle kuvvet vektörüdür. <math>\mathbb{P} tensörü, akışkan parçacığı üzerine uygulanmış yüzey kuvvetleri olarak tanımlanır (gerilme tensörü). Akışkan girdap gibi bağımsız bir eğme bükme hareketi yapmadıkça, <math>\mathbb{P} simetrik bir tensördür. Genel olarak, biçim: \mathbb{P} \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p&0&0\\ 0&p&0\\ 0&0&p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{xx}p & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}p & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}p \end{pmatrix} Burada <math>\sigma normal gerilmeler, <math>\tau teğetsel gerilmeler (kesme gerilmeleri) ve p gerilme tensörünün izotropik parçası ile birleştirilmiş statik basınçtır. <math>\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz} matris izi (İng. trace) akışkanın dengede olup, olmadığı mutlaka tanımlanması (hacim vizkozitesi olmadıkça) ile daima 3p'dir. Sonuç olarak: \rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} \nabla p \nabla \cdot\mathbb{T} \rho\mathbf{f} Burada <math>\mathbb{T}, <math>\mathbb{P}'nin izsiz (traceless) parçasıdır. Bu denklemler hala tamamlanmamıştır. Tamamlamak için, <math>\mathbb{P}'nin şekli üzerinde bir varsayım yapılmalıdır, şöyleki, gerilme tensörü için aşağıda gösterildiği gibi bir süreklilik kanununa ihtiyaç vardır. Akış, sürekli ve diferansiyel kabul edilmiş ve korunum kanunları çerçevesinde kısmi diferansiyel denklemler ile ifade edilmiştir. Akışın sıkıştırılamaz (sabit yoğunluk) olduğu durumda, değişkenler, basınç ve hız bileşenleri için çözülmüştür. Bu değişkenler, NavierStokes denklemlerinin üç bileşeni, kütlenin korunumu (süreklilik denklemi) ilave edilerek, kapalı bir sistem için kısmi diferansiyel denklemler ile, sınır şartlarına uygun olarak çözülebilir. Sıkıştırılamaz akış durumunda, yoğunluk sistem için diğer bir bilinmeyen haline gelir, sistem için bir durum denklemi ilavesi ile saptanır. Durum denkleminde genelde akışkanın sıcaklığı işin içine girer, o yüzden denklem enerjinin korunumu için de mutlaka çözülmelidir. Bu denklemler nonlineer'dir (yani lineer değildir) ve kapalı formdaki analitik çözümleri sadece çok basit sınır şartları için bilinir. Denklemler, akım ve girdap fonksiyonu ikinci değişkenleri için Wilkinson denklemlerine dönüştürülebilirdir. Çözüm akışkan özelliklerine ve çalışma alanındaki sınır şartlarına bağlıdır. Denklemlerin özel formları Denklem akışkanlarla ilgili problemlerin çözümü için, genel bazı durumlar için sadeleştirilip, genelleştirilerek kullanılabilir. Newtonyen (Newtonian) akışkanlar Newtonyen akışkanlar için : p_{ij}p\delta_{ij}\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right) Burada \mu akışkanın vizkozitesidir. \delta_{ij} ise Kronecker delta olarak adlandırılan matematik işlemini ifade eder.(1 için ij; 0 için i <math>\ne j). Buradan denklemi türetebilmek için, öncelikle denge hali ifade edilir, pijpδij. Newtonyen bir akışkan için, bu denge değerinden gerilim tensörünün sapması, hızın gradyeni içinde lineerdir. Galile sabiti nedeni ile açık şekilde hız üzerinde bağımlı değildir. Diğer bir ifade ile, pijpδij, <math>\partial_i v_j de lineerdir. Akışkanların dönme sabiti belirlenir (sıvı kristal olmayanlar). pijpδij izli ve izsiz simetrik tensörlerine ayrılır. Benzer olarak <math>\partial_i v_j izli, izsiz simetrik ve antisimetrik tensorlere ayrılır. Antisimetrik parça sıfıra gider, izli parça ve izsiz simetrik parçaya uygun iki katsayı vardır. <math>\partial_i v_j nin izsiz simetrik parçası, <math>\partial_i v_j \partial_j v_i \frac{2}{d} \delta_{ij}\partial_k v_k dir, burada d uzaysal ölçü sayısıdır ve izli parça <math>\delta_{ij} \partial_k v_k dır. Bu nedenle, en genel lineer dönme sabiti şu şekilde verilir; p_{ij}p\delta_{ij}\mu\left(\partial_i v_j\partial_j v_i \frac{2}{d}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)\mu_B \delta_{ij} \nabla\cdot \mathbf{v} μ ve μB bazı katsayılardır. μ kesme vizkozitesi (shear viscosity) ve μB hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olarak adlandırılır. Bu ampirik (deneysel) bir incelemedir, hacim vizkozitesi çoğu akışkan için ihmal ediliebilirdir, bu nedenle çoğu zaman ihmal edilir. Denklem içinde −2/3 ile çarpım görünmesi bununla açıklanır. Bu çarpım, 1 veya 2 uzaysal boyut içinde değiştirilebilir. \rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} \mathbf{v}\right)\rho \mathbf{f}\nabla p \mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\frac{1}{3}\nabla\left\right) \rho \left(\frac{\partial v_i}{\partial t}v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)\rho f_i\frac{\partial p}{\partial x_i}\mu\left(\frac{\partial ^2 v_i}{\partial x_j \partial x_j}\frac{1}{3}\frac{\partial ^2 v_j}{\partial x_i \partial x_j}\right) Burada, Einstein notasyonu kullanılmıştır. Tamamı için yazıldığında, bu karmaşık denklem şu hali alır: Momentumun korunumu: \rho \cdot \left({\partial u \over \partial t} u {\partial u \over \partial x} v {\partial u \over \partial y} w {\partial u \over \partial z}\right) k_x {\partial p \over \partial x} {\partial \over \partial x} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial u \over \partial x}\frac{2}{3}\cdot \right) \right] {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} {\partial v \over \partial x} \right) \right] {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} {\partial u \over \partial z} \right) \right] \rho \cdot \left({\partial v \over \partial t} u {\partial v \over \partial x} v {\partial v \over \partial y} w {\partial v \over \partial z}\right) k_y {\partial p \over \partial y} {\partial \over \partial y} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial v \over \partial y}\frac{2}{3}\cdot \right) \right] {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} {\partial w \over \partial y} \right) \right] {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} {\partial v \over \partial x} \right) \right] \rho \cdot \left({\partial w \over \partial t} u {\partial w \over \partial x} v {\partial w \over \partial y} w {\partial w \over \partial z}\right) k_z {\partial p \over \partial z} {\partial \over \partial z} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial w \over \partial z}\frac{2}{3}\cdot \right) \right] {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} {\partial u \over \partial z} \right) \right] {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} {\partial w \over \partial y} \right) \right] Kütlenin korunumu: {\partial \rho \over \partial t} {\partial (\rho \cdot u) \over \partial x}{\partial (\rho \cdot v) \over \partial y}{\partial (\rho \cdot w) \over \partial z}0 Yoğunluk bilinmediği zaman, diğer bir denklem gereklidir. Enerjinin korunumu: \rho \left({\partial e \over \partial t} u {\partial e \over \partial x} v {\partial e \over \partial y} w {\partial e \over \partial z}\right) \left({\partial \over \partial x} \left {\partial \over \partial y} \left {\partial \over \partial z} \left \right) p \cdot \left(\nabla \cdot \mathbf{v} \right) \mathbf{k} \cdot \mathbf{v} \rho \cdot \dot{q}_s \mu \cdot \Phi Burada: \Phi 2 \cdot \left[ \left({\partial u \over \partial x} \right)^2\left({\partial v \over \partial y}\right)^2\left({\partial w \over \partial z}\right)^2 \right] \left({\partial v \over \partial x}{\partial u \over \partial y} \right)^2 \left({\partial w \over \partial y}{\partial v \over \partial z} \right)^2 \left({\partial u \over \partial z}{\partial w \over \partial x} \right)^2 \frac{2}{3} \cdot \left({\partial u \over \partial x}{\partial v \over \partial y}{\partial w \over \partial z} \right)^2 <math>\Phi yüksek süpersonik ve hipersonik uçuşlar gibi sıradışı örnekler hariç, çoğunlukla ihmal edilebilirdir. İdeal gaz kabul edilir: e c_p \cdot T \frac{p}{\rho} Altı bilinmeyen (u, v, w, T, e and <math>\rho) ve altı denklemden oluşan yukarıdaki gibi bir çözüm sistemi elde edilmiş olur. Bingham akışkanları Bingham akışkanlarında, bazı yerlerde durum biraz daha farklıdır: \tau_{ij}\tau_0 \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0 Bunlar, akış başlamadan önce bir miktar kesme dayanım kabiliyetleri olan akışkanlardır. Örnek olarak, diş macunu verilebilir. Güçlü akışkan (Powerlaw fluid) Bu akışkan, kesme gerilimi için, ideal hal almış akışkandır, <math>\tau şu şekilde verilir; \tau K \left(\frac {\partial u} {\partial y} \right)^n Bu form, hemen hemen genel akışkanların tüm çeşitlerine uygulanır. Sıkıştırılamaz akışkanlar NavierStokes denklemleri, \rho\frac{Du_i}{Dt}\rho f_i\frac{\partial p}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}\left[ 2\mu\left(e_{ij}\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right] momentumun korunumu ve \nabla\cdot\mathbf{v}0 kütlenin korunumu için Burada \rho yoğunluk, u_i (<math>i1,2,3) hızın üç bileşeni, f_i gövde kuvvetleri, p basınç, \mu akışkanın o noktadaki dinamik vizkozitesi; e_{ij}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right); \Deltae_{ii} diverjans, \delta_{ij} Kronecker delta. Eğer, <math>\mu akışkan üzerinde eşit dağılmış ise, momentum denklemi üzerinde şu basitleştirmeler yapılır: \rho\frac{Du_i}{Dt}\rho f_i\frac{\partial p}{\partial x_i} \mu \left(\frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j} \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right) (Eğer <math>\mu0 fakat akışkan sıkıştırılabilir ise sonuçta Euler denklemleri olarak bilinen denklemler elde edilir; burada, önemli olan sıkıştırılabilir akış ve akış içindeki şok dalgalarıdır. ) Ek olarak, eğer <math>\rho sabit farzedilirse şu sistem elde edilir: \rho \left({\partial v_x \over \partial t} v_x {\partial v_x \over \partial x} v_y {\partial v_x \over \partial y} v_z {\partial v_x \over \partial z}\right) \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}{\partial^2 v_x \over \partial y^2}{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]{\partial p \over \partial x} \rho g_x \rho \left({\partial v_y \over \partial t} v_x {\partial v_y \over \partial x} v_y {\partial v_y \over \partial y} v_z {\partial v_y \over \partial z}\right) \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}{\partial^2 v_y \over \partial y^2}{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]{\partial p \over \partial y} \rho g_y \rho \left({\partial v_z \over \partial t} v_x {\partial v_z \over \partial x} v_y {\partial v_z \over \partial y} v_z {\partial v_z \over \partial z}\right) \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}{\partial^2 v_z \over \partial y^2}{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]{\partial p \over \partial z} \rho g_z Süreklilik denklemi (sıkıştırılamazlık kabulu ile): {\partial v_x \over \partial x}{\partial v_y \over \partial y}{\partial v_z \over \partial z}0 Silindirik koordinatlar NavierStokes Süreklilik denklemi silindirik koordinatlar için şöyledir: {\partial u_r \over \partial r} {u_r \over \ r} {1 \over \ r} {\partial u_\theta \over \partial \theta} {\partial u_z \over \partial z}0 Silindirik koordinatlar için NavierStokes denklemleri de şu şekilde yazılır: momentum: \rho \left({\partial u_r \over \partial t} u_r {\partial u_r \over \partial r} {u_\theta \over r} {\partial u_r \over \partial \theta} u_z {\partial u_r \over \partial z}{u^2_\theta \over r} \right) {\partial P \over \partial r} \mu \left({\partial^2 u_x \over \partial r^2} {1 \over r} {\partial u_x \over \partial r} {u_r \over r^2} {1 \over r^2} {\partial^2 u_r \over \partial \theta^2} {\partial^2 u_r \over \partial z^2} {2 \over r^2}{\partial u_\theta \over \partial \theta} \right)F_r <math> \theta momentum: \rho \left({ \partial u_\theta \over \partial t} u_r {\partial u_\theta \over \partial r} {u_r u_\theta \over r} {u_\theta \over r} {\partial u_\theta \over \partial \theta} u_z {\partial u_\theta \over \partial z} \right) {1 \over r}{\partial P \over \partial \theta} \mu \left({ {\partial^2 u_\theta \over \partial r^2} } {1 \over r}{\partial u_\theta \over \partial r} {u_\theta \over r^2} {1 \over r^2} {\partial^2 u_\theta \over \partial \theta^2} {\partial^2 u_\theta \over \partial z^2} {2 \over r^2}{\partial u_r \over \partial \theta} \right)F_\theta z momentum: \rho \left({ \partial u_z \over \partial t} u_r {\partial u_z \over \partial r} {u_\theta \over r} {\partial u_z \over \partial \theta} u_z {\partial u_z \over \partial z} \right) {\partial P \over \partial z} \mu \left({\partial^2 u_z \over \partial r^2} {1 \over r} { {\partial u_z \over \partial r} } {1 \over r^2} {\partial^2 u_z \over \partial \theta^2} {\partial^2 u_z \over \partial z^2} \right)F_z Şunu ifade etmek gerekir ki, NavierStokes denklemleri akışkan akışını sadece yaklaşık olarak tanımlayabilir ve çok küçük ölçeklerde veya sıradışı şartlarda, gerçek akışkanlar diğer maddeleri ve molekülleri içeren karışımlardır, NavierStokes denklemleri ile homojen ve sürekli akışlar modellenmiş ve bunun üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Bununla beraber NavierStokes denklemleri pratikteki problemlerin çözümü için, geniş bir aralıkta faydalı olur. Ayrıca bakınız Akışkan Akışkanlar dinamiği Mach Sayısı Süreklilik mekaniği Diferansiyel denklemler Kaynaklar İngilizce Wikipedia NavierStokes denklemleri maddesi
- Рівняння Нав'є-Стокса описує течію в'язкої рідини. \rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \right) = - \nabla p + \eta \Delta \mathbf{v} + \left(\zeta + \frac{\eta}{3} \right) \nabla\text{div}\, \mathbf{v} . Тут <math> \mathbf{v} - поле швидкості рідини, ρ - густина, p - тиск, η - коефіцієнт динамічної в'язкості, ζ - друга в'язкість. У випадках, коли в'язкість є функцією тиску й температури рівняння Нав'є-Стокса записується \rho \left(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x_i } + \frac{ \partial}{\partial x_k} \left[ \eta \left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} - \frac{2}{3}\delta_{ik}\frac{\partial v_i}{\partial x_i} \right) \right] + \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\zeta \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \right). У рівнянні Нав'є-Стокса 5 невідомих (три компоненти швидкості, густина й тиск), а тому його слід доповнити рівнянням неперервності й рівнянням, яке виражає закон збереження енергії. Рівняння неперервності: \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}\, \rho \mathbf{v} = 0.
- 纳维斯托克斯方程（NavierStokes equations），以克劳德路易·纳维(ClaudeLouis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。 他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于建模天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。 纳维斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。 这表示对于给定的物理问题的纳维斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常设计稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。 对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。 虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。 基本假设 在解释纳维斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。 该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为<math>\Omega，而其表面记为<math>\partial\Omega。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。 实质导数 运动流体的属性的变化，譬如大气中的风速的变化，可以有两种不同的方法来测量。可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量。显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而第二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为实质或拉格朗日导数。例子请参看实质导数条目。 实质导数定义为算子（operator）： \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}(\star) \frac{\partial(\star)}{\partial t} (\mathbf{v}\cdot\nabla)(\star) 其中<math>\mathbf{v}是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在固定参照系中的导数）而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为移流（advection）。 L的守恒定律在一个控制体积上的积分形式是： \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\Omega \mathbf{L}\,\mathrm{d}\Omega 0 因为Ω是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_\Omega \mathbf{L}\,\mathrm{d}\Omega\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{L}\,\mathrm{d}\Omega\int_{\partial \Omega} \mathbf{L} \left(\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}\partial\Omega\right)\int_\Omega \left[\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{L}\nabla\cdot\left(\mathbf{L}\mathbf{v}\right)\right]\mathrm{d}\Omega0 因为这个表达式对于所有<math>\Omega成立，它可以简化为： \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}\mathbf{L} \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) \mathbf{L} \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{L} \nabla\cdot\left(\mathbf{v} \mathbf{L}\right) 0 对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），<math>\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}给出了正确的共动时间导数。 守恒定律 NS方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用状态定律来闭合。 在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒： 质量 能量 动量 角动量 连续性方程 质量的守恒写作： \frac{\partial\rho}{\partial t} \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}) 0 其中 \rho 是流体的密度。 在不可压缩流体的情况 <math>\rho不是时间或空间的函数。方程简化为： \nabla\cdot\mathbf{v} 0 动量守恒 动量守恒写作： \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) \nabla(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) \sum\rho\mathbf{f} 注意<math>\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}是一个张量，<math>\otimes代表张量积。 我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为： \rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}\sum\rho\mathbf{f} 我们可以认出这就是通常的Fma。 方程组 一般形式 方程组的形式 纳维斯托克斯方程的一般形式是： \rho\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D} t} \nabla \cdot\mathbb{P} \rho\mathbf{f} 关于动量守恒。张量<math>\mathbb{P}代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，<math>\mathbb{P}是一个对称张量。一般来讲，我们有如下形式： \mathbb{P} \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p&0&0\\ 0&p&0\\ 0&0&p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{xx}p & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}p & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}p \end{pmatrix} 其中<math>\sigma是法向约束，而<math>\tau是切向约束。 迹 <math>\sigma_{xx}\sigma_{yy}\sigma_{zz}在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。 我们再加上连续性方程： \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} \rho\nabla\cdot\mathbf{v} 0 对于处于平衡的液体，<math>\mathbb{P}的迹是3p。 其中 p是压强 最后，我们得到： \rho\frac{\mathrm{D}\mathbf{v}}{\mathrm{D} t} \nabla p \nabla \cdot\mathbb{T} \rho\mathbf{f} 其中<math>\mathbb{T}是<math>\mathbb{P}的非对角线部分。 闭合问题 这些方程是不完整的。要对它们进行完备化，必须对<math>\mathbb{P}的形式作一些假设。例如在理想流体的情况<math>\tau分量为0。用于完备方程组的方程是状态方程。 再如，压强可以主要是密度和温度的函数。 要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。 <math>\mathbb{P}的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。<math>\mathbb{P}是对称的，除非存在非零的自旋密度。 所谓非牛顿流体是就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体 特殊形式 这些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。 牛顿流体 在牛顿流体中，如下假设成立: \tau_{ij}\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\frac{\partial v_j}{\partial x_i}\frac{2}{3}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right) 其中 \mu是液体的粘滞度。 \rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}\nabla_{\mathbf{v}}\mathbf{v}\right)\rho \mathbf{f}\nabla p \mu\left(\Delta \mathbf{v}\frac{1}{3}\nabla\left\right) \rho \left(\frac{\partial v_i}{\partial t}v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)\rho f_i\frac{\partial p}{\partial x_i}\mu\left(\frac{\partial ^2 v_i}{\partial x_j \partial x_j}\frac{1}{3}\frac{\partial ^2 v_j}{\partial x_i \partial x_j}\right) 其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。 不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为： 动量守恒： \rho \cdot \left({\partial u \over \partial t} u {\partial u \over \partial x} v {\partial u \over \partial y} w {\partial u \over \partial z}\right) k_x {\partial p \over \partial x} {\partial \over \partial x} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial u \over \partial x}\frac{2}{3}\cdot \right] {\partial \over \partial y}\left {\partial \over \partial z}\left \rho \cdot \left k_y {\partial p \over \partial y} {\partial \over \partial y} \left {\partial \over \partial z}\left {\partial \over \partial x}\left \rho \cdot \left k_z {\partial p \over \partial z} {\partial \over \partial z} \left {\partial \over \partial x}\left {\partial \over \partial y}\left 质量守恒： {\partial \rho \over \partial t} {\partial \over \partial x}{\partial \over \partial y}{\partial \over \partial z}0 因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。 能量守恒： \rho \left \left p \cdot \left \vec{k} \cdot \vec{v} \rho \cdot \dot{q}_s \mu \cdot \Phi 其中： \Phi 2 \cdot \left \left^2 \left^2 \left^2 \frac{2}{3} \cdot \left^2 假设一个理想气体： e c_p \cdot T \frac{p}{\rho} 上面是一个６个方程６个未知数的系统。（u， v， w， T， e 以及 <math>\rho）。 宾汉（Bingham）流体 在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设： \tau_{ij}\tau_0 \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0 那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。牙膏是一个例子。 幂律流体 这是一种理想化的流体，其剪切应力，<math>\tau，由下式给出 \tau K \left^n 该形式对于模拟各种一般流体有用。 不可壓缩流體 其纳维－斯托克斯方程为 \overbrace{\rho \Big}^{\text{Inertia}} \underbrace{\nabla p}_{ \begin{smallmatrix} \text{Pressure} \\ \text{gradient} \end{smallmatrix}} \underbrace{\mu \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{Viscosity}} \underbrace{\mathbf{f}}_{ \begin{smallmatrix} \text{Other} \\ \text{forces} \end{smallmatrix}} 動量守恆和 \nabla\cdot\mathbf{v}0 質量守恆。 其中，對不可壓縮牛頓流體來說，只有對流項為非線性形式。對流加速度來自於流體流動隨空間之變化所產生的速度改變，例如：當流體通過一個漸縮噴嘴時，流體產生加速之情況。由於此項的存在，對於暫態運動中的流體來說，其流場速度變化不再單是時間的函數，亦與空間有關。 另外一個重要的觀察重點，在於黏滯力在流場中的以流體速度作拉普拉斯運算來表現。這暗示了在牛頓流體中，黏滯力為動量擴散，與熱擴散方程式非常類似。 e_{ij}\frac{1}{2}\left; \Deltae_{ii} 是散度， \delta_{ij}是克罗内克记号。 若<math>\mu在整个流体上均匀，动量方程简化为 \rho\frac{Du_i}{Dt}\rho f_i\frac{\partial p}{\partial x_i} \mu \left （若 <math>\mu0 这个方程称为欧拉方程；那里的重点是可压缩流和冲击波）。 如果现在再有<math>\rho为常数，我们得到如下系统： \rho \left \mu \left{\partial p \over \partial x} \rho g_x \rho \left \mu \left{\partial p \over \partial y} \rho g_y \rho \left \mu \left{\partial p \over \partial z} \rho g_z 连续性方程（假设不可压缩性）： {\partial v_x \over \partial x}{\partial v_y \over \partial y}{\partial v_z \over \partial z}0 NS方程的简化版本。采用《不可压缩流》，Ronald Panton所著第二版 注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。 参看 雷诺数 马赫数 雷诺平均纳维斯托克斯方程 参考文献 Polyanin A.D. , Kutepov A.M. , Vyazmin A.V. , Kazenin D.A. , Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0415272378. 外部链接 克雷数学研究院纳维斯托克斯方程大奖 该问题的正式命题 纳维斯托克斯方程的一个推导 纳维斯托克斯方程的推导 NASA关于纳维斯托克斯方程的网页 纳维斯托克斯方程（一些精确解），位于EqWorld:数学方程的世界
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
