In mathematics, the natural numbers are those used for counting (as in "there are six coins on the table") and ordering (as in "this is the third largest city in the country"). In common language, words used for counting are "cardinal numbers" and words used for ordering are "ordinal numbers".Properties of the natural numbers, such as divisibility and the distribution of prime numbers, are studied in number theory. Problems concerning counting and ordering, such as partitioning and enumerations, are studied in combinatorics.

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  • Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet. Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation zusammen eine mathematische Struktur, die als kommutativer Halbring bezeichnet wird. (de)
  • In mathematics, the natural numbers are those used for counting (as in "there are six coins on the table") and ordering (as in "this is the third largest city in the country"). In common language, words used for counting are "cardinal numbers" and words used for ordering are "ordinal numbers". Some authors begin the natural numbers with 0, corresponding to the non-negative integers 0, 1, 2, 3, …, whereas others start with 1, corresponding to the positive integers 1, 2, 3, …. Texts that exclude zero from the natural numbers sometimes refer to the natural numbers together with zero as the whole numbers, but in other writings, that term is used instead for the integers (including negative integers). The natural numbers are the basis from which many other number sets may be built by extension: the integers, by including an additive inverse (-n) for each natural number n (and zero, if it is not there already, as its own additive inverse); the rational numbers, by including a multiplicative inverse (1/n) for each integer number n; the real numbers by including with the rationals the (converging) Cauchy sequences of rationals; the complex numbers, by including with the real numbers the unresolved square root of minus one; and so on. These chains of extensions make the natural numbers canonically embedded (identified) in the other number systems. Properties of the natural numbers, such as divisibility and the distribution of prime numbers, are studied in number theory. Problems concerning counting and ordering, such as partitioning and enumerations, are studied in combinatorics. In common language, for example in primary school, natural numbers may be called counting numbers to contrast the discreteness of counting to the continuity of measurement, established by the real numbers. The natural numbers can, at times, appear as a convenient set of names (labels), that is, as what linguists call nominal numbers, foregoing many or all of the properties of being a number in a mathematical sense. (en)
  • En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents: : un jeton, deux jetons... une carte, deux cartes, trois cartes... Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule). Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie. La tradition francophone inclut dans les entiers naturels le nombre zéro, ce qui n'est pas toujours le cas dans la tradition anglophone . Selon les traditions, la liste des entiers naturels est donc : ou L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée « arithmétique ». La structure des entiers naturels a été axiomatisée pour la première fois par Peano et Dedekind à la fin du XIXe siècle. À cette époque zéro n'était pas considéré comme un entier naturel (et quelques rares auteurs font encore ce choix), ce qui ne change pas fondamentalement l'axiomatisation. Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus souvent une méthode due à von Neumann). L'ensemble des entiers naturels est noté « N » ou « ℕ ». La notation est due à Dedekind en 1888 ; il l'utilise pour l'ensemble des entiers naturels non nuls. Aujourd'hui celui-ci est couramment noté « N* » (ou « ℕ* »). Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs ou nuls, ainsi qu'aux nombres rationnels positifs ou nuls pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1, et d'une manière plus générale aux réels positifs ou nuls de partie fractionnaire nulle. (fr)
  • In matematica, l'espressione numeri naturali indica l'insieme {0,1, 2, 3, 4, ...}.Esso viene fatto corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, ...}.Talvolta viene usata anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi { 1, 2, 3, 4, ...}. Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per contare ("ci sono 3 mele sul tavolo"), o per definire un ordinamento ("questa è la terza città più grande del Paese"). (it)
  • 自然数(しぜんすう、英: natural number)とは、個数、もしくは順番(これは正確には有限順序数)を表す一群の数のことである。 (ja)
  • Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka – słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka. To czy zero jest liczbą naturalną jest kwestią umowy. W matematyce nie przyjęto ogólnie żadnej konwencji dotyczącej przynależności zera lub jej braku do liczb naturalnych. Interesujące, że z punktu widzenia matematyki obie definicje można uważać w gruncie rzeczy za równoważne. O konkretnym stanowisku decydują często takie sytuacje jak: uproszczenie zapisu pewnych symboli, ograniczenie przypadków szczególnych itp. (pl)
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  • Die natürlichen Zahlen sind die beim Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 usw. Oft wird auch die 0 (Null) zu den natürlichen Zahlen gerechnet. Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition und der Multiplikation zusammen eine mathematische Struktur, die als kommutativer Halbring bezeichnet wird. (de)
  • 自然数(しぜんすう、英: natural number)とは、個数、もしくは順番(これは正確には有限順序数)を表す一群の数のことである。 (ja)
  • In mathematics, the natural numbers are those used for counting (as in "there are six coins on the table") and ordering (as in "this is the third largest city in the country"). In common language, words used for counting are "cardinal numbers" and words used for ordering are "ordinal numbers".Properties of the natural numbers, such as divisibility and the distribution of prime numbers, are studied in number theory. Problems concerning counting and ordering, such as partitioning and enumerations, are studied in combinatorics. (en)
  • En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et donc de compter des objets considérés comme équivalents: : un jeton, deux jetons... une carte, deux cartes, trois cartes... Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels est infinie.ou (fr)
  • In matematica, l'espressione numeri naturali indica l'insieme {0,1, 2, 3, 4, ...}.Esso viene fatto corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, ...}.Talvolta viene usata anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi { 1, 2, 3, 4, ...}.Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per contare ("ci sono 3 mele sul tavolo"), o per definire un ordinamento ("questa è la terza città più grande del Paese"). (it)
  • Liczby naturalne – liczby służące podawaniu liczności (trzy osoby, zob. liczebnik główny/kardynalny) i ustalania kolejności (trzecia osoba, zob. liczebnik porządkowy), poddane w matematyce dalszym uogólnieniom (odpowiednio: liczby kardynalne, liczby porządkowe). Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka – słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby całkowite stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka. (pl)
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  • Natural number (en)
  • عدد طبيعي (ar)
  • Natürliche Zahl (de)
  • Número natural (es)
  • Entier naturel (fr)
  • Numero naturale (it)
  • 自然数 (ja)
  • Natuurlijk getal (nl)
  • Liczby naturalne (pl)
  • Número natural (pt)
  • Натуральное число (ru)
  • 自然数 (zh)
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