In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category C equipped with a bifunctor ⊗ : C × C → C which is associative up to a natural isomorphism, and an object I which is both a left and right identity for ⊗, again up to a natural isomorphism. The associated natural isomorphisms are subject to certain coherence conditions which ensure that all the relevant diagrams commute.In a monoidal category, analogs of usual monoids from abstract algebra can be defined using the same commutative diagrams. In fact, usual monoids are exactly the monoid objects in the monoidal category of sets with Cartesian product.

Property Value
dbo:abstract
  • In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category C equipped with a bifunctor ⊗ : C × C → C which is associative up to a natural isomorphism, and an object I which is both a left and right identity for ⊗, again up to a natural isomorphism. The associated natural isomorphisms are subject to certain coherence conditions which ensure that all the relevant diagrams commute.In a monoidal category, analogs of usual monoids from abstract algebra can be defined using the same commutative diagrams. In fact, usual monoids are exactly the monoid objects in the monoidal category of sets with Cartesian product. The ordinary tensor product makes vector spaces, abelian groups, R-modules, or R-algebras into monoidal categories. Monoidal categories can be seen as a generalization of these and other examples. In category theory, monoidal categories can be used to define the concept of a monoid object and an associated action on the objects of the category. They are also used in the definition of an enriched category. Monoidal categories have numerous applications outside of category theory proper. They are used to define models for the multiplicative fragment of intuitionistic linear logic. They also form the mathematical foundation for the topological order in condensed matter. Braided monoidal categories have applications in quantum information, quantum field theory, and string theory. (en)
  • In der Mathematik bezeichnet eine monoidale Kategorie eine Kategorie , die mit einem zweistelligen Funktor und einem Einheitsobjekt ausgestattet ist. Die Verknüpfung muss assoziativ in dem Sinne sein, dass es eine natürliche Äquivalenz , gibt; muss links- und rechtsneutral in dem Sinne sein, dass es natürliche Äquivalenzen und gibt, gegeben durch und . Diese natürlichen Transformationen sollen kohärent sein. Alle nötigen Kohärenzbedingungen folgen aus der Kommutativität der folgenden beiden Diagramme: Datei:Monoidal-category-pentagon.png und Datei:Monoidal-category-triangle.png Aus diesen beiden Bedingungen folgt, dass jedes solche Diagramm kommutiert: Das ist Mac Lanes "Kohärenzsatz". * Eine monoidale Kategorie kann als Bikategorie mit einem Objekt angesehen werden. * In einer monoidalen Kategorie lässt sich der Begriff des Monoid-Objekts definieren, der den des Monoids verallgemeinert. (de)
  • En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie. (fr)
  • En matemáticas una categoría monoidal o categoría tensorial es una categoría C junto con un bifuntor ⊗ : C × C → C Que es asociativo bajo isomorfismo natural y un objeto I que actúa como objeto neutro o identidad por la izquierda y la derecha para ⊗ bajo isomorfismo natural (los isomorfismos natural asociados son llamados naturales porque juntos satisfacen ciertas condiciones de coherencia que nos dicen que todos los diagramas relevantes conmutan). Categorías monoidales son el análogo categórico de monoides en álgebra abstracta. El producto tensorial ordinario entre espacios vectoriales, grupos abelianos, R-módulos o anillos conmutativos sirven para dar estructura a las categorías asociadas de categoría monoidal. Las categorías monoidales pueden ser vistas como una generalización de estos y muchos otros ejemplos. En teoría de categorías las categorías monoidales pueden ser usadas para definir el concepto de objeto monoide y una acción asociada en los objetos de la categoría. También son usadas en la definición de categoría enriquecida. Categorías monoidales tienen numerosas aplicaciones fuera de la teoría de categorías por ejemplo se utilizan para definir modelos en la parte multiplicativa de la lógica intuicionista lineal. También forman la fundación matemática para el orden topológico en materia condensada. Categorías monoidales trensadas tienen aplicaciones en Teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas. (es)
  • In matematica, una categoria monoidale, o categoria tensoriale, è una categoria munita di un bifuntore che è associativo a meno di isomorfismi naturali, e un oggetto che è elemento neutro sia a destra sia a sinistra per a meno di isomorfismi naturali. L'isomorfismo naturale associato è soggetto a certe condizioni che garantiscono che tutti i diagrammi rilevanti siano commutativi. In una categoria monoidale, gli analoghi degli usuali monoidi dell'algebra astratta posso essere definiti usando tali diagrammi commutativi. Infatti i monoidi classici sono esattamente gli oggetti monoide nella categoria monoidale degli insiemi con il prodotto cartesiano come prodotto monoidale. Uno spazio vettoriale, un gruppo abeliano, un -modulo, o una -algebra con l'ordinario prodotto tensoriale sono una categoria monoidale. Le categorie monoidali posso essere viste come una generalizzazione di questi esempi. Nella teoria delle categorie, le categorie monoidali posso essere usate per definire il concetto di un oggetto monoidale e un'azione a lui associata su altri oggetti della stessa categoria. Sono inoltre usate nella definizione di una categoria arricchita. Le categorie monoidali hanno numerose applicazioni al di fuori della stessa teoria di categorie. Sono anche usate per definire dei modelli per il frammento multiplicativo della logica lineare intuizionista. Formano anche la base matematica per l'ordine topologico nella materia condensata. Le categorie monoidali intrecciate hanno applicazione nella teoria quantistica dei campi e nella teoria delle stringhe. (it)
  • 数学におけるモノイド圏(モノイドけん、英語: monoidal category)あるいはテンソル圏(テンソルけん、英語: tensor category)は、(自然同型の違いを除いて結合的な双函手 ⊗: C × C → C と、⊗ について(再び自然同型の違いを除いて)左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証したコヒーレンス条件に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。 ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。 圏論において、モノイド圏はの概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏 (enriched category) を定義する際にも使われる。 モノイダル圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、ブレイドつきモノイダル圏は場の量子論やひも理論に応用をもつ。 (ja)
  • In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïdale categorie (of tensorcategorie) een categorie C, die is uitgerust met een bifunctor ⊗ : C × C → C die associatief is ("upto" (tot) een natuurlijk isomorfisme), en een object I, die zowel een linker- en rechter identiteit voor ⊗ (wederom, "upto" (tot) natuurlijke isomorfisme). De geassocieerde natuurlijke isomorfismen zijn onderworpen aan bepaalde coherentievoorwaarden, die ervoor zorgen dat alle relevante diagrammen commuteren. Monoïdale categorieën zijn dus een losse categorisch analogon van de monoïden in de abstracte algebra. Het gewone tensorproduct tussen vectorruimten, abelse groepen, R-modulen of R-algebra dient om de geassocieerde categorieën in monoïdale categorieën te veranderen. Monoïdale categorieën kunnen worden gezien als een veralgemening van deze en andere voorbeelden. In de categorietheorie kunnen monoïdale categorieën worden gebruikt om de notie van een monoïde object een bijbehorende actie op de objecten van de categorie te definiëren. Ze worden ook gebruikt in de definitie van een verrijkte categorie. Monoïdale categorieën hebben talrijke toepassingen buiten de eigenlijke categorietheorie. Ze worden gebruikt om modellen voor het multiplicatieve fragment van de intuïtionistische lineaire logica te definiëren. Zij vormen ook de wiskundige fundering voor de topologische orde in gecondenseerde materie. Gevlochten monoïdale categorieën hebben toepassingen in de kwantumveldentheorie en de snaartheorie. (nl)
  • 張量範疇(tensor category),或曰么半範疇 (monoidal category), 直覺地講,是個配上張量積的阿貝爾範疇(abelian category),可當作環的範疇化。 (zh)
  • Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором ⊗ : C × C → C, который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для ⊗ также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения. Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров. (ru)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 330604 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 729094360 (xsd:integer)
dbp:id
  • monoidal+category
dbp:title
  • Monoidal category
dct:subject
http://purl.org/linguistics/gold/hypernym
rdf:type
rdfs:comment
  • En mathématiques, une catégorie monoïdale est une catégorie munie d'un bifoncteur qui généralise la notion de produit tensoriel de deux structures algébriques. Intuitivement, il s'agit de l'analogue, au niveau des catégories, de la notion de monoïde, c'est-à-dire que le bifoncteur joue le rôle d'une sorte de multiplication pour les objets de la catégorie. (fr)
  • 数学におけるモノイド圏(モノイドけん、英語: monoidal category)あるいはテンソル圏(テンソルけん、英語: tensor category)は、(自然同型の違いを除いて結合的な双函手 ⊗: C × C → C と、⊗ について(再び自然同型の違いを除いて)左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証したコヒーレンス条件に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。 ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。 圏論において、モノイド圏はの概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏 (enriched category) を定義する際にも使われる。 モノイダル圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、ブレイドつきモノイダル圏は場の量子論やひも理論に応用をもつ。 (ja)
  • 張量範疇(tensor category),或曰么半範疇 (monoidal category), 直覺地講,是個配上張量積的阿貝爾範疇(abelian category),可當作環的範疇化。 (zh)
  • In mathematics, a monoidal category (or tensor category) is a category C equipped with a bifunctor ⊗ : C × C → C which is associative up to a natural isomorphism, and an object I which is both a left and right identity for ⊗, again up to a natural isomorphism. The associated natural isomorphisms are subject to certain coherence conditions which ensure that all the relevant diagrams commute.In a monoidal category, analogs of usual monoids from abstract algebra can be defined using the same commutative diagrams. In fact, usual monoids are exactly the monoid objects in the monoidal category of sets with Cartesian product. (en)
  • In der Mathematik bezeichnet eine monoidale Kategorie eine Kategorie , die mit einem zweistelligen Funktor und einem Einheitsobjekt ausgestattet ist. Die Verknüpfung muss assoziativ in dem Sinne sein, dass es eine natürliche Äquivalenz , gibt; muss links- und rechtsneutral in dem Sinne sein, dass es natürliche Äquivalenzen und gibt, gegeben durch und . Diese natürlichen Transformationen sollen kohärent sein. Alle nötigen Kohärenzbedingungen folgen aus der Kommutativität der folgenden beiden Diagramme: Datei:Monoidal-category-pentagon.png und Datei:Monoidal-category-triangle.png (de)
  • En matemáticas una categoría monoidal o categoría tensorial es una categoría C junto con un bifuntor ⊗ : C × C → C Que es asociativo bajo isomorfismo natural y un objeto I que actúa como objeto neutro o identidad por la izquierda y la derecha para ⊗ bajo isomorfismo natural (los isomorfismos natural asociados son llamados naturales porque juntos satisfacen ciertas condiciones de coherencia que nos dicen que todos los diagramas relevantes conmutan). Categorías monoidales son el análogo categórico de monoides en álgebra abstracta. (es)
  • In matematica, una categoria monoidale, o categoria tensoriale, è una categoria munita di un bifuntore che è associativo a meno di isomorfismi naturali, e un oggetto che è elemento neutro sia a destra sia a sinistra per Uno spazio vettoriale, un gruppo abeliano, un -modulo, o una -algebra con l'ordinario prodotto tensoriale sono una categoria monoidale. Le categorie monoidali posso essere viste come una generalizzazione di questi esempi. (it)
  • In de categorietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïdale categorie (of tensorcategorie) een categorie C, die is uitgerust met een bifunctor ⊗ : C × C → C die associatief is ("upto" (tot) een natuurlijk isomorfisme), en een object I, die zowel een linker- en rechter identiteit voor ⊗ (wederom, "upto" (tot) natuurlijke isomorfisme). De geassocieerde natuurlijke isomorfismen zijn onderworpen aan bepaalde coherentievoorwaarden, die ervoor zorgen dat alle relevante diagrammen commuteren. Monoïdale categorieën zijn dus een losse categorisch analogon van de monoïden in de abstracte algebra. (nl)
  • Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором ⊗ : C × C → C, который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для ⊗ также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения. (ru)
rdfs:label
  • Monoidal category (en)
  • Monoidale Kategorie (de)
  • Categoría monoidal (es)
  • Catégorie monoïdale (fr)
  • Categoria monoidale (it)
  • モノイド圏 (ja)
  • Monoïdale categorie (nl)
  • Моноидальная категория (ru)
  • 么半範疇 (zh)
owl:differentFrom
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is foaf:primaryTopic of