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- In mathematics, model theory is the study of (classes of) mathematical structures such as groups, fields, graphs, or even universes of set theory, using tools from mathematical logic. A structure that gives meaning to the sentences of a formal language is called a model for the language. If a model for a language moreover satisfies a particular sentence or theory (set of sentences), it is called a model of the sentence or theory. Model theory has close ties to algebra and universal algebra. This article focuses on finitary first order model theory of infinite structures. Finite model theory, which concentrates on finite structures, diverges significantly from the study of infinite structures in both the problems studied and the techniques used. Model theory in higher-order logics or infinitary logics is hampered by the fact that completeness does not in general hold for these logics. However, a great deal of study has also been done in such languages.
- Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Inhalt der Modelltheorie sind die Beziehungen zwischen den rein formalen Ausdrücken einer Logik und deren Bedeutung. Diese Beziehung wird über sogenannte Interpretationen und eine als Erfüllungsrelation bezeichnete mathematische Relation hergestellt. Wichtige Bereiche der Modelltheorie betreffen die Zuordnung von Wahrheitswerten zu formalen Sätzen und die Beziehung formal-logischer Systeme zur natürlichen Sprache. Eine wichtige Aufgabe der Modelltheorie ist es, Modelle für ein vorgegebenes Axiomensystem zu konstruieren -- oft geht es um Modelle mit zusätzlichen Eigenschaften, die im Axiomensystem aber nicht spezifiziert werden können, z. B. die Kardinalität des Modells. Weiterhin beschäftigt sich die Modelltheorie mit der Äquivalenz von Modellen (z. B. der Frage, ob in ihnen die gleichen Aussagen gelten) und der Frage, wie viele (nichtisomorphe) Modelle eines Axiomensystems es gibt.
- La teoria de models és la branca de la matemàtica que estudia les estructures matemàtiques, com ara els grups, els cossos, els grafs o àdhuc els models de la teoria de conjunts, amb les eines de la lògica matemàtica. Està estretament relacionada amb l'àlgebra i l'àlgebra universal.
- Teorie modelů je matematická disciplína, která je jedním z podoborů matematické logiky. Zabývá se studiem reprezentace matematických konceptů pomocí pojmů teorie množin a studiem struktur a modelů, jejich vlastností a vzájemných vztahů a také jejich vztahem k pojmům axiomatické teorie a dokazatelnosti.
- En matemática, teoría de modelos es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en términos de la teoría de conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos. Supone que hay algunos objetos matemáticos preexistentes y hace preguntas acerca de cómo o qué puede ser probado dados: los objetos, algunas operaciones o relaciones entre los objetos y un conjunto de axiomas. La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos. Se ha probado que tanto el axioma de elección como su negación son consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Se obtiene el mismo resultado con la hipótesis del continuo. Estos resultados son aplicaciones de métodos de la teoría de modelos a la teoría axiomática de conjuntos. Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, . , 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1. La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.
- La théorie des modèles est une théorie de la vérité mathématique. Elle consiste essentiellement à dire qu’une théorie est mathématiquement valide si on peut définir un univers dans lequel elle est vraie.
- In logica matematica un modello per un linguaggio o una teoria formale è intuitivamente un'attribuzione di un significato a tutti gli enunciati del linguaggio.
- Modeltheorie is een deelgebied van de wiskundige logica en de wiskunde, en handelt over de relaties tussen puur formele uitdrukking en hun betekenis. De modeltheorie is een onderdeel van de wiskundige logica. Het gaat in de modeltheorie om de bestudering van de relaties tussen de eigenschappen van een formele theorie en de eigenschappen van een ander wiskundig systeem. Modeltheorie bestudeert kortgezegd wiskundige modellen. Het baanbrekend werk op dit gebied is in de jaren 1920 en 1930 verricht door Kurt Gödel, Thoralf Skolem en Alfred Tarski. De hedendaagse wiskunde en wiskundige natuurkunde maken intensief gebruik van de abstracte algebra, de theoretische natuurkunde maakt bijvoorbeeld gebruik van Lie-algebra's. Vakgebieden zoals de algebraïsche getaltheorie, algebraïsche topologie en de algebraïsche meetkunde passen algebraïsche methoden toe op andere gebieden van de wiskunde. Representatietheorie haalt ruwweg gesproken het 'abstracte' uit de 'abstracte algebra' en bestudeert de concrete kant van een gegeven algebraïsche structuur. Dit is verwant aan modeltheorie.
- Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.
- Na matemática, Teoria de Modelos é o estudo da representação de conceitos matemáticos em termos de teoria de conjuntos, ou o estudo de modelos que apoiam sistemas matemáticos. É assumido que existem alguns objetos matemáticos pré-existentes, e investiga-se o que pode ser concluído de tal coleção de objetos, algumas operações e/ou relações entre estes objetos, e alguns axiomas. A independência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo dos outros axiomas de teoria dos conjuntos são os dois resultados mais famosos fornecidos pela teoria de modelos. Foi provado que tanto o axioma da escolha quanto sua negação são consistentes com os axiomas de Zermelo-Fraenkel da teoria dos conjuntos; resultado similar vale para a hipótese do contínuo. No caso dos números reais, pode-se começar com um conjunto de elementos, onde cada indivíduo é um número, e um conjunto de relações, tal como {×,+,-,.,0,1}. Se nós perguntarmos algo como "∃ x (x × x = 1 + 1)" nesta linguagem, então é fácil ver que a resposta é positiva nos reais, mas é negativa nos racionais. Entretanto, este modelo não é grande o suficiente para que "∃ x (x × x = 0 - 1)" seja verdadeira nele; para isto adicionamos o símbolo "i" definido como a constante que deve ser adicionada à linguagem para satisfazer "∃ x (x × x = 0 - 1)". Teoria de Modelos então está preocupada com o que pode ser provado em determinados sistemas matemáticos, e como estes sistemas se relacionam uns com os outros. Em particular, se quer saber o que acontece quando tentamos estender algum sistema pela adição de novos axiomas ou novas construções de linguagem. Restringindo a cardinalidade dos modelos e observando que fatos sendo verdadeiros para permitir que o teorema da compacidade seja usado, mostrando que algum teorema é verdadeiro numa cardinalidade maior. Um modelo é definido formalmente no contexto de alguma linguagem L. Um modelo é formado por duas partes: Um universo U, que é um conjunto que contém os objetos de interesse, e Uma interpretação que define o significado semântico de todos os símbolos de constantes, relações e funções da linguagem. Uma teoria é definida como um conjunto de sentenças que são consistentes; em geral é também exigido que o conjunto seja fechado para consequencia lógica. Nesta definição, uma teoria é um conjunto consistente maximal de sentenças. Completude em Teoria de Modelos é definida como a propriedade de que toda sentença numa linguagem pode ser provada ou sua negação pode por alguma teoria. teorias completas são interessantes pois descrevem completamente algum modelo. O Teorema da Compacidade afirma que um conjunto de sentenças S é satisfazível, i.e. tem um modelo, se todo subconjunto finito de S é satisfazível. No contexto de teoria da prova a recíproca é trivial, já que toda prova pode ter apenas um número finito de antecedentes usados na prova; entretanto, no contexto de Teoria de Modelos, esta prova é mais difícil. Existem duas provas bastante conhecidas, uma de Gödel e outra de Malcev. Elementary equivalence L-S-T theorem and Vaught's test. Extensions, Embeddings and Diagrams. Upward and downward Lowenheim-Skolem theorems. To give a flavor, mentioning the hyperreals would be good. (All of these need substantial filling out) Observação: O termo 'modelo matemático' é também usado de maneira mais informal em outras áreas da matemática e de outras ciências, como a Física, a Hidráulica, a Hidrologia para designar equações ou sistemas de equações ou métodos para cálculos de variáveis.
- Теория моделей — это раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году. Основное развитие теория моделей получила в работах Тарского, Мальцева и Робинсона.
- Modellteori är ett stort ämnesområde med många delområden som alla på ett eller annat sätt handlar om studiet av modeller såsom dessa definieras inom logik. Modellteorin är en gren av den matematiska logiken och har därför kopplingar både till andra delar av matematiken och till delar av filosofin. Modellteori är också sporadiskt användbart i datalogi och lingvistik. En modell är en mängd tillsammans med ett antal relationer och funktioner på denna mängd. Till en modell kan associeras ett första ordningens språk, vars formler får en tolkning i modellen och därigenom ett sanningsvärde. Exempel på modeller är flera av de algebraiska strukturer som studerar i matematiken, till exempel ringar, kroppar och grupper. Ett påstående P i ett formellt språk sägs vara sant i en modell A om tolkningen av symbolerna i P är sådana att den tolkade satsen är sann i A. Samma påstående P kan samtidigt vara falskt i en annan modell B pga att den tolkar symbolerna annorlunda. Mängden av alla satser som är sanna i en modell A kallas för teorin för A.
- Modeller kuramı, matematiksel konseptleri küme kuramı temelinde inceleyen ya da başka bir deyişle matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştıran matematik dalıdır. Modeller kuramı, 'dış dünyada' matematiksel nesnelerin var olduğunu varsayar ve nesneler, nesneler arasında bazı işlemler ya da bağıntılar ve bir aksiyomlar kümesi verildiğinde, nelerin nasıl tanıtlanabileceğine ilişkin sorular sorar. Seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezinin küme kuramının diğer aksiyomlarından bağımsız olduğu tespiti modeller kuramından doğan en ünlü sonuçlardır. Hem seçim aksiyomunun hem de seçim aksiyomu negasyonunun küme kuramının Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla uyumlu olduğu tanıtlanmıştır. Bu sonuçlar model teorisinin özel bir uygulaması olan Aksiyomatik küme kuramı dalının bölümleridir. Modeller kuramının pratik bir uygulama örneği reel sayılar kuramıyla verilebilir. Her nesnenin bir reel sayı olduğu bir nesneler kümesi ve {×,+,-,.,0,1} gibi bir bağıntılar ve/ya da fonksiyonlar kümesini ele alalım. Bu dilde kuracağımız örneğin "∃ x (x × x = 1 + 1)" önermesinin reel sayılar için doğru olduğu yani belirtilen koşulu sağlan bir x olduğu bellidir; fakat aynı önerme rasyonel sayılar için yanlıştır. Buna karşın "∃ x (x × x = 0 - 1)" önermesi reel sayılar için yanlıştır. Önermeyi doğru yapmak için sabit bir simge i ve yeni bir aksiyom "i × i = 0 - 1" ekleyerek kompleks sayıları tanımlayabiliriz. Buna göre modeller kuramı matematiksel sistemler içinde nelerin tanıtlanabilir olduğu ve bu sistemlerin kendi aralarındaki ilişkilerle ilgilenir. Özel olarak modeller kuramı bir sisteme yeni aksiyomlar ya da yeni dil yapıları eklendiğinde ne gibi sonuçlar ortaya çıktığını araştırır.
- 数学上，模型论是从集合论的论述角度对数学概念表现（representation）的研究，或者说是对于作为数学系统基础的“模型”的研究。粗略地说，该学科假定有一些既存的数学“对象”，然后研究：当这些对象之间的一些运算或者一些关系乃至一组公理被给定时，可以相应证明出什么，以及如何证明。 比如实数理论中一个模型论概念的例子是：我们从一个任意集合开始，作为集合元素的每个个体都是一个实数，其间有一些关系和(或)函数，例如{ ×, +, −, . , 0, 1 }。若我们在该语言中问"∃ y (y × y = 1 + 1)"这样一个问题，显然该陈述对实数而言成立 - 确实存在这样的一个实数y, 即所谓2的平方根；对于有理数，该陈述却并不成立。一个类似的命题，"∃ y (y × y = 0 − 1)",在实数中不成立，却在复数中成立，因为 i × i = 0 − 1。 模型论研究什么是在给定的数学系统中可证的，以及这些系统相互间的关系。它特别注重研究当我们试图通过加入新公理和新语言构造时会发生什么。 现在模型论（及其方法）已经广泛地应用于其它数学分支甚至理论计算机与工程计算中。例如Hrushovski用模型论方法证明了代数几何中的Mordell-Lang猜想。
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- In mathematics, model theory is the study of (classes of) mathematical structures such as groups, fields, graphs, or even universes of set theory, using tools from mathematical logic. A structure that gives meaning to the sentences of a formal language is called a model for the language. If a model for a language moreover satisfies a particular sentence or theory (set of sentences), it is called a model of the sentence or theory. Model theory has close ties to algebra and universal algebra.
- Die Modelltheorie ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Inhalt der Modelltheorie sind die Beziehungen zwischen den rein formalen Ausdrücken einer Logik und deren Bedeutung. Diese Beziehung wird über sogenannte Interpretationen und eine als Erfüllungsrelation bezeichnete mathematische Relation hergestellt. Wichtige Bereiche der Modelltheorie betreffen die Zuordnung von Wahrheitswerten zu formalen Sätzen und die Beziehung formal-logischer Systeme zur natürlichen Sprache.
- La teoria de models és la branca de la matemàtica que estudia les estructures matemàtiques, com ara els grups, els cossos, els grafs o àdhuc els models de la teoria de conjunts, amb les eines de la lògica matemàtica. Està estretament relacionada amb l'àlgebra i l'àlgebra universal.
- Teorie modelů je matematická disciplína, která je jedním z podoborů matematické logiky. Zabývá se studiem reprezentace matematických konceptů pomocí pojmů teorie množin a studiem struktur a modelů, jejich vlastností a vzájemných vztahů a také jejich vztahem k pojmům axiomatické teorie a dokazatelnosti.
- En matemática, teoría de modelos es el estudio de la representación de conceptos matemáticos en términos de la teoría de conjuntos, o el estudio de modelos que subyacen en sistemas matemáticos. Supone que hay algunos objetos matemáticos preexistentes y hace preguntas acerca de cómo o qué puede ser probado dados: los objetos, algunas operaciones o relaciones entre los objetos y un conjunto de axiomas.
- La théorie des modèles est une théorie de la vérité mathématique. Elle consiste essentiellement à dire qu’une théorie est mathématiquement valide si on peut définir un univers dans lequel elle est vraie.
- In logica matematica un modello per un linguaggio o una teoria formale è intuitivamente un'attribuzione di un significato a tutti gli enunciati del linguaggio.
- Modeltheorie is een deelgebied van de wiskundige logica en de wiskunde, en handelt over de relaties tussen puur formele uitdrukking en hun betekenis. De modeltheorie is een onderdeel van de wiskundige logica. Het gaat in de modeltheorie om de bestudering van de relaties tussen de eigenschappen van een formele theorie en de eigenschappen van een ander wiskundig systeem. Modeltheorie bestudeert kortgezegd wiskundige modellen.
- Teoria modeli (nazywana też czasem semantyką logiczną) to dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi. Dziedzina ta jest w znacznym stopniu powiązana z algebrą i teorią mnogości, ale ma też mocno rozbudowany własny aparat pojęciowy i w swojej współczesnej postaci jest w pełni samodzielną dziedziną wiedzy.
- Na matemática, Teoria de Modelos é o estudo da representação de conceitos matemáticos em termos de teoria de conjuntos, ou o estudo de modelos que apoiam sistemas matemáticos. É assumido que existem alguns objetos matemáticos pré-existentes, e investiga-se o que pode ser concluído de tal coleção de objetos, algumas operações e/ou relações entre estes objetos, e alguns axiomas.
- Теория моделей — это раздел математической логики, который занимается изучением связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Название теория моделей было впервые предложено Тарским в 1954 году.
- Modellteori är ett stort ämnesområde med många delområden som alla på ett eller annat sätt handlar om studiet av modeller såsom dessa definieras inom logik. Modellteorin är en gren av den matematiska logiken och har därför kopplingar både till andra delar av matematiken och till delar av filosofin. Modellteori är också sporadiskt användbart i datalogi och lingvistik. En modell är en mängd tillsammans med ett antal relationer och funktioner på denna mängd.
- Modeller kuramı, matematiksel konseptleri küme kuramı temelinde inceleyen ya da başka bir deyişle matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştıran matematik dalıdır. Modeller kuramı, 'dış dünyada' matematiksel nesnelerin var olduğunu varsayar ve nesneler, nesneler arasında bazı işlemler ya da bağıntılar ve bir aksiyomlar kümesi verildiğinde, nelerin nasıl tanıtlanabileceğine ilişkin sorular sorar.
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