In geometry, the Minkowski sum — also known as dilation — of two sets A and B in Euclidean space is the result of adding every element of A to every element of B, i.e. the set <math>A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}.

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  • In geometry, the Minkowski sum — also known as dilation — of two sets A and B in Euclidean space is the result of adding every element of A to every element of B, i.e. the set <math>A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}. </math> For example, if we have two 2-simplices, with points represented by A = { (1, 0), (0, 1), (0, −1)} and B = { (0, 0), (1, 1), (1, −1)}, then the Minkowski sum is A + B = { (1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}, which looks like a hexagon, with three 'repeated' points at (1,0). This defines a binary operation called Minkowski addition, named after Hermann Minkowski. It occurs in a basic step in proving Minkowski's theorem, in the form C + C = 2C for a convex symmetric set containing 0, where the left-hand side is the Minkowski sum and the right-hand side the enlargement by a factor of 2. This operation is sometimes called (somewhat inappropriately) the convolution of the two sets. The actual convolution of the indicator functions of the set will be a function with the same support as the Minkowski sum. Minkowski addition is also called the binary dilation of A by B.
  • Die Minkowski-Summe zweier Mengen A und B mit Elementen aus einem Vektorraum ist die resultierende Menge der Summen aller Elemente aus A und aller Elemente aus B. In Zeichen: <math>A+B = \{c \,|\, \exist\,a \in A, \exist\,b \in B: c=a+b\}</math> Kürzer: <math>A+B = \{a+b\,|\,a \in A, b \in B\}</math> Anwendungen findet die Minkowski-Summe zum Beispiel in der 2D- und 3D-Computergrafik und Bildverarbeitung (speziell Morphologie; wird dort allerdings meist binäre Dilation oder Dilatation genannt. Das Gegenstück ist die Erosion), in der linearen Optimierung, in der Funktionalanalysis und in der Robotersteuerung.
  • En géométrie, la somme de Minkowski est une opération sur les parties d'un espace euclidien. À deux parties A et B elle associe leur ensemble somme, formé des sommes d'éléments de A et de B : <math>A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}</math> La somme de deux compacts est compact, il est ainsi possible de restreindre l'opération à cet ensemble, qui peut être munis d'une distance, dite de Hausdorff. La somme de Minkowski est alors une opération continue. De plus elle respecte les convexes, c'est-à-dire que la somme de deux convexes est encore convexe. La mesure de la somme de deux convexes vérifie une majoration, dite inégalité de Brunn-Minkowski. La somme de Minkwoski intervient dans de nombreux domaines des mathématiques pures ou appliquées. Cet outils est à la base de nombreuses démonstrations de théorèmes isopérimétriques, visant à déterminer la partie de l'espace de plus vaste volume possible, la contrainte étant la donnée de la mesure de sa frontière. En géométrie euclidienne, on trouve les sphères de dimension n. La somme de Minkowski intervient aussi pour le comptage du nombre de face d'un polyèdre, résoudre des questions de pavages ou encore pour étudier la géométrie des convexes. Ils sont appliqués par exemple en cristallographie pour des raisons de pavages d'espace, en économie pour optimiser les productions possibles d'un groupe d'entreprises, ou encore pour étudier les mélanges.
  • In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti <math>A</math> e <math>B</math> in uno spazio vettoriale è l'insieme dei punti ottenuti addizionando gli elementi di <math>A</math> con quelli di <math>B</math>. Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio euclideo, la somma è una operazione binaria tra due forme geometriche. Questa operazione (chiamata anche dilatazione di A da parte di B) prende il nome dal matematico tedesco Hermann Minkowski, che per primo la definì, e trova applicazione nell'elaborazione e nell'analisi morfologica delle immagini (riduzione del rumore ed estrazione di forme).
  • Sumy Minkowskiego – Algorytm generujący z dwóch wielokątów na płaszczyźnie trzeci wielokąt, w którym zawarte są punkty z sumowania współrzędnych każdego punktu pierwszego wielokąta składowego z odpowiednimi współrzędnymi drugiego wielokąta składowego. Algorytm w czasie <math>n\cdot \log m</math> (<math>n, m</math> - odpowiednio liczby wierzchołków wielokątów składowych) zwraca wypukłą otoczkę wielokąta wynikowego. Grafika:Minkowski-sumex1. svg|A Grafika:Minkowski-sumex2. svg|B Grafika:Minkowski-sumex4. svg|Suma Minkowskiego A + B
  • Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B: <math>C = \left\{c | c=a+b, a\in A, b\in B\right\}</math> Аналогично определяется произведение множества на число: <math>\lambda A = \left\{\lambda a | a\in A\right\}</math>
  • 閔可夫斯基和是兩個歐幾里得空間的點集的和，以德国数学家閔可夫斯基命名。點集A與B的閔可夫斯基和就是<math>A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}</math>。例如，平面上有兩個三角形，其坐標分別為A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)}及B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)}，則其閔可夫斯基和為A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}。 其應用包括： 證明常寬圖形周長的Barbier定理 證明關於格點圖形的閔可夫斯基定理 數學形態學
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  • In geometry, the Minkowski sum — also known as dilation — of two sets A and B in Euclidean space is the result of adding every element of A to every element of B, i.e. the set <math>A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}.
  • Die Minkowski-Summe zweier Mengen A und B mit Elementen aus einem Vektorraum ist die resultierende Menge der Summen aller Elemente aus A und aller Elemente aus B.
  • En géométrie, la somme de Minkowski est une opération sur les parties d'un espace euclidien. À deux parties A et B elle associe leur ensemble somme, formé des sommes d'éléments de A et de B : <math>A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}</math> La somme de deux compacts est compact, il est ainsi possible de restreindre l'opération à cet ensemble, qui peut être munis d'une distance, dite de Hausdorff.
  • In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti <math>A</math> e <math>B</math> in uno spazio vettoriale è l'insieme dei punti ottenuti addizionando gli elementi di <math>A</math> con quelli di <math>B</math>. Se lo spazio vettoriale è il piano o lo spazio euclideo, la somma è una operazione binaria tra due forme geometriche.
  • Sumy Minkowskiego – Algorytm generujący z dwóch wielokątów na płaszczyźnie trzeci wielokąt, w którym zawarte są punkty z sumowania współrzędnych każdego punktu pierwszego wielokąta składowego z odpowiednimi współrzędnymi drugiego wielokąta składowego. Algorytm w czasie <math>n\cdot \log m</math> (<math>n, m</math> - odpowiednio liczby wierzchołków wielokątów składowych) zwraca wypukłą otoczkę wielokąta wynikowego. Grafika:Minkowski-sumex1.
  • Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B: <math>C = \left\{c | c=a+b, a\in A, b\in B\right\}</math> Аналогично определяется произведение множества на число: <math>\lambda A = \left\{\lambda a | a\in A\right\}</math>
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  • Minkowski addition
  • Minkowski-Summe
  • Somme de Minkowski
  • Somma di Minkowski
  • Sumy Minkowskiego
  • Сумма Минковского
  • 閔可夫斯基和
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