The method of exhaustion (methodus exhaustionibus, or méthode des anciens) is a method of finding the area of a shape by inscribing inside it a sequence of polygons whose areas converge to the area of the containing shape. If the sequence is correctly constructed, the difference in area between the n-th polygon and the containing shape will become arbitrarily small as n becomes large. As this difference becomes arbitrarily small, the possible values for the area of the shape are systematically "exhausted" by the lower bound areas successively established by the sequence members.

Property Value
dbo:abstract
  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) طريقة الاستنفاذ (بالإنجليزية: Method of exhaustion) هي طريقة لحساب مساحة شكل ما, عن طريق تأطير قيمة المساحة بمساحة مضلعات محيطة أو محاطة بالشكل. استخدم اليونانيون القدماء هذه الطريقة حيث أن أرخميدس استخدمها لحساب قيمة تقريبية للعدد ط. عمليا, كلما كان عدد الأضلاع كبيرا, صار بالإمكان الاقتراب من المساحة الحقيقية أكثر. وبذلك نحصل على تقريب لمساحة الشكل عندما "نستنفذ" كل القيم الممكنة بدقة معينة (مثلا: رقمين بعد الفاصلة). نفس المنهاج ينطبق على حساب طول منحنا ما (أو حجم شكل ما) عبر تقريبه بطول خط منكسر (أو بحجم شكل متعدد الأوجه) استعملت هذه الطريقة من طرف الرياضيين اليونان لحساب مساحة أشكال كالدائرة والقطع مكافئ (الشلجم) ولإيجاد التقريبات الأولى ل π. * 32xبوابة رياضيات * 32xبوابة هندسة رياضية (ar)
  • Die Exhaustionsmethode ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration. Antiphon (430 v. Chr.) war überzeugt, dass man einen Kreis quadrieren können müsste, da sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln lässt. Er ging davon aus, dass man ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis unterscheiden könne und der Kreis somit völlig „erschöpft“ sei. Mit dieser Idee entwickelte Eudoxos von Knidos die Exhaustionsmethode und berechnete so das Volumen einer Pyramide und eines Kegels. Diese Methode nennt sich Exhaustionsmethode (von exhaurire, lat. „herausnehmen“, „erschöpfen“, „vollenden“). Der griechische Gelehrte Archimedes (287–212 v. Chr.) griff dieses Verfahren 260 v. Chr. auf und berechnete so, mittels eines 96-Ecks, die Abschätzung und das bestimmte Integral einer Parabel. Das Verfahren war bis ins 17. Jahrhundert ein wichtiges Integrationsverfahren. Ludolph van Ceulen führte den Ansatz Archimedes' bis zum -Eck im Kreis fort und konnte Pi in 30-jähriger Rechenarbeit so bis auf 35 Stellen berechnen. (de)
  • El método exhaustivo es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. También se conoce como: * método por agotamiento, * método de exhausción o * método de exhaución. El término proviene del inglés method of exhaustion (que sería mejor traducido como ‘método por agotamiento’, ya que la Real Academia Española no ha aceptado aún el sustantivo «exhausción», a pesar de reconocer el adjetivo «exhausto».El inglés exhaustion proviene del latín exhaustiō (‘agotamiento’). (es)
  • The method of exhaustion (methodus exhaustionibus, or méthode des anciens) is a method of finding the area of a shape by inscribing inside it a sequence of polygons whose areas converge to the area of the containing shape. If the sequence is correctly constructed, the difference in area between the n-th polygon and the containing shape will become arbitrarily small as n becomes large. As this difference becomes arbitrarily small, the possible values for the area of the shape are systematically "exhausted" by the lower bound areas successively established by the sequence members. The method of exhaustion typically required a form of proof by contradiction, known as reductio ad absurdum. This amounts to finding an area of a region by first comparing it to the area of a second region (which can be “exhausted” so that its area becomes arbitrarily close to the true area). The proof involves assuming that the true area is greater than the second area, and then proving that assertion false, and then assuming that it is less than the second area, and proving that assertion false, too. (en)
  • En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe. Dans le cas du calcul de l'aire A d'une figure plane, la méthode d'exhaustion consiste en un double raisonnement par l'absurde : on suppose que son aire est strictement supérieure à A, puis on aboutit à une contradiction ; on suppose ensuite que son aire est strictement inférieure à A, puis on aboutit à une autre contradiction. On parvient ainsi à montrer que l'aire de la figure est A. (fr)
  • Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni. (it)
  • 取り尽くし法(英: method of exhaustion、羅: methodus exaustionibus)は、与えられた図形の面積や体積を求める手法の1つで、その図形に内接する一連の多角形を描き、それらの面積を元の図形に収束させる方法である。積尽法、窄出法ともいう。また古代人の方法(仏: méthode des anciens)とも呼ばれる。列を正しく構築すれば、n角形の面積と元の図形の面積の差は n が大きくなるにつれて小さくなっていく。この差を恣意的に小さくすれば、その図形の面積は一連の数列で得られる面積によって「取り尽くされ」、とりうる値の下限が体系的に定まる。この方法はアンティポンが起源だが、彼がどこまで明確に理解していたのかは不明である。厳密な理論付けをしたのはエウドクソスである。「取り尽くし法」という用語を最初に使ったのは、Grégoire de Saint-Vincent の Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni(1647年)である。 取り尽くし法には一般に背理法の一種を必要とする。これは、ある領域の面積を第2の領域の面積と比較することによって求めることに相当し、それを「取り尽くす」ことで真の面積に恣意的に近づけていく。第2の面積より真の面積が大きいことを前提とし、その前提が偽であることを証明する。次に、真の面積が第2の面積より小さいことを前提として、その前提も偽であることを証明する。 取り尽くし法は微分積分学の先駆けと言える。17世紀から19世紀に解析幾何学と厳密な微分積分学が発展し(特に極限に厳密な定義が与えられ)、取り尽くし法は問題の解法としては使われなくなった。 (ja)
  • De uitputtingsmethode (Latijn: methodus exhaustionibus, Engels: method of exhaustion), ook wel de uitputtingsmethode van Eudoxus genoemd, is een methode om de oppervlakte van een gekromde figuur, zoals een cirkel, te benaderen. De methode is in de Griekse Oudheid bedacht door Antiphon van Rhamnus en werd nauwkeurig beschreven door Eudoxus van Cnidus. De methode maakt gebruik van het feit dat bekend was dat de oppervlakte van elke veelhoek bepaald kan worden door de veelhoek in driehoeken onder te verdelen. De oppervlakte van bijvoorbeeld een cirkel kan benaderd worden door de grootste veelhoek te nemen die binnen de cirkel past. Naarmate een veelhoek wordt gekozen met steeds meer hoekpunten, zal de oppervlakte van de veelhoek steeds dichter in de buurt komen van de oppervlakte van de cirkel. De limiet van de oppervlakte van de veelhoek, waarbij het aantal hoeken naar oneindig gaat, is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel. Op een vergelijkbare manier kan het volume van een driedimensionaal figuur zoals een bol of een kegel gevonden worden, door het grootste veelvlak te nemen dat in de driedimensionale figuur past en het aantal vlakken van het veelvlak naar oneindig te laten gaan. Eudoxus gebruikte de uitputtingsmethode om onder andere te bewijzen dat de oppervlakte van een cirkel evenredig is met het kwadraat van zijn diameter en dat het volume van een kegel gelijk is aan een derde deel van het volume van een cilinder met een gelijk grondvlak en gelijke hoogte. Archimedes gebruikte de uitputtingsmethode om te bepalen dat de waarde voor π, de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter, moet liggen tussen 223/71 en 22/7. Hiervoor berekende hij het oppervlak van een regelmatig 96-vlak dat precies in de cirkel past (voor de ondergrens) en een regelmatig 96-vlak waar de cirkel precies inpast (voor de bovengrens). Tegenwoordig wordt de uitputtingsmethode van Eudoxus wel gezien als een voorloper van de integraalrekening, waarbij het oppervlak onder een kromme wordt bepaald door de kromme in oneindig veel stukjes op te delen. (nl)
  • O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Se a sequência for corretamente construída, a diferença entre o n-ésimo polígono e a figura que os contém se tornará arbitrariamente pequena a medida que n se tornar grande. A medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da figura são sistematicamente "exauridos" pela limitação inferior imposta pelos polígonos cada vez maiores. A idéia teve origem com Antífon, apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu. A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, e isso só foi possível depois que Eudoxo elaborou sua teoria das proporções, para se desvencilhar da manipulação dos irracionais. O primeiro uso da expressão foi feito por Gregorie de Saint-Vincent na obra Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, de 1647. O método da exaustão tipicamente requeria uma forma de prova por contradição, conhecida por reductio ad absurdum. Isso se resume a encontrar a área de uma região primeiro comparando-a à área de uma segunda região (que podia ser "exaurida" de forma que se aproximasse da verdadeira área). A prova requer que se assuma que a área verdadeira seja maior que a segunda área e então provar que aquele suposição é falsa então assumindo que a verdadeira área é menor que a segunda em seguida provando que essa asserção também é falsa. Esse tipo de prova é não-construtiva de forma que a resposta deve ser conhecida de antemão. O nosso interesse principal no ramo da matemática grega reside no trabalho de Arquimedes, a quem de acordo com a maioria dos historiadores, deve-se a antecipação (ou mesmo a invenção) do cálculo integral. Em relação às suas obras, destacaremos algumas, seu mais famoso método demonstração: o método de exaustão; além de seus efeitos, seus fundamentos e suas contribuições para o desenvolvimento do conhecimento matemático, e um método particular para chegar aos resultados: o método do equilíbrio. Arquimedes quase sempre chegava a conclusões pelo método do equilíbrio (método do próprio Arquimedes) e depois demonstrava estas conclusões pelo método de exaustão (creditado a Eudoxo) (pt)
  • Metoda wyczerpywania (łac. methodus exhaustionibus) – metoda obliczania pola powierzchni figury geometrycznej za pomocą wpisania w nią ciągu wzajemnie rozłącznych wielokątów o znanej powierzchni, których suma pól zbliża się do powierzchni badanej figury. Zastosowanie metody wyczerpywania wymaga zazwyczaj zastosowania rodzaju dowodu nie wprost (łac. reductio ad absurdum). Polega on na tym, że pole powierzchni części figury znajduje się za pomocą porównania z polem powierzchni innej części drogą kolejnych przybliżeń (aż do momentu, w którym różnica między oboma polami staje się pomijalna). Następnie należy założyć, że powierzchnia sprawdzanej figury jest większa niż suma powierzchni wpisanych figur i dowieść błędności takiego założenia, a następnie dowieść błędności założenia przeciwnego, że pole badanej figury jest mniejsze niż suma pól figur wpisanych. Choć rozwój rachunku różniczkowego wyparł metodę z użycia, pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie w matematycznej teorii miary, np. przy obliczaniu miary Lebesgue'a oraz całki Lebesgue'a. (pl)
  • 穷举法,是一种数学计算方法。如果从任何一个量中减去不少于其一半的一部分,然后再余量减去不少于其一半的一部分,并且,如果让这个减的过程继续下去,最后总会得到一个余量,小于任何一个预先给定的任何量。 (zh)
  • Метод исчерпывания (лат. methodus exaustionibus) — античный метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур. Идею метода, в не очень ясных выражениях, высказал ещё Антифон, однако разработку и применение осуществил Евдокс Книдский. Обоснование этого метода не опирается на понятие бесконечно малых, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было особого названия. (ru)
dbo:thumbnail
dbo:wikiPageID
  • 1721284 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 702816660 (xsd:integer)
dct:subject
http://purl.org/linguistics/gold/hypernym
rdf:type
rdfs:comment
  • El método exhaustivo es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. También se conoce como: * método por agotamiento, * método de exhausción o * método de exhaución. El término proviene del inglés method of exhaustion (que sería mejor traducido como ‘método por agotamiento’, ya que la Real Academia Española no ha aceptado aún el sustantivo «exhausción», a pesar de reconocer el adjetivo «exhausto».El inglés exhaustion proviene del latín exhaustiō (‘agotamiento’). (es)
  • Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane. Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data. L'area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni. (it)
  • 穷举法,是一种数学计算方法。如果从任何一个量中减去不少于其一半的一部分,然后再余量减去不少于其一半的一部分,并且,如果让这个减的过程继续下去,最后总会得到一个余量,小于任何一个预先给定的任何量。 (zh)
  • Метод исчерпывания (лат. methodus exaustionibus) — античный метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур. Идею метода, в не очень ясных выражениях, высказал ещё Антифон, однако разработку и применение осуществил Евдокс Книдский. Обоснование этого метода не опирается на понятие бесконечно малых, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было особого названия. (ru)
  • The method of exhaustion (methodus exhaustionibus, or méthode des anciens) is a method of finding the area of a shape by inscribing inside it a sequence of polygons whose areas converge to the area of the containing shape. If the sequence is correctly constructed, the difference in area between the n-th polygon and the containing shape will become arbitrarily small as n becomes large. As this difference becomes arbitrarily small, the possible values for the area of the shape are systematically "exhausted" by the lower bound areas successively established by the sequence members. (en)
  • 25بك المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016) طريقة الاستنفاذ (بالإنجليزية: Method of exhaustion) هي طريقة لحساب مساحة شكل ما, عن طريق تأطير قيمة المساحة بمساحة مضلعات محيطة أو محاطة بالشكل. استخدم اليونانيون القدماء هذه الطريقة حيث أن أرخميدس استخدمها لحساب قيمة تقريبية للعدد ط. عمليا, كلما كان عدد الأضلاع كبيرا, صار بالإمكان الاقتراب من المساحة الحقيقية أكثر. وبذلك نحصل على تقريب لمساحة الشكل عندما "نستنفذ" كل القيم الممكنة بدقة معينة (مثلا: رقمين بعد الفاصلة). * 32xبوابة رياضيات * 32xبوابة هندسة رياضية (ar)
  • Die Exhaustionsmethode ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration. Antiphon (430 v. Chr.) war überzeugt, dass man einen Kreis quadrieren können müsste, da sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln lässt. Er ging davon aus, dass man ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis unterscheiden könne und der Kreis somit völlig „erschöpft“ sei. Der griechische Gelehrte Archimedes (287–212 v. Chr.) griff dieses Verfahren 260 v. Chr. auf und berechnete so, mittels eines 96-Ecks, die Abschätzung (de)
  • En mathématiques, la méthode d'exhaustion est un procédé ancien de calcul d'aires, de volumes et de longueurs de figures géométriques complexes. La quadrature est la recherche de l'aire d'une surface, la rectification est celle de la longueur d'une courbe. (fr)
  • 取り尽くし法(英: method of exhaustion、羅: methodus exaustionibus)は、与えられた図形の面積や体積を求める手法の1つで、その図形に内接する一連の多角形を描き、それらの面積を元の図形に収束させる方法である。積尽法、窄出法ともいう。また古代人の方法(仏: méthode des anciens)とも呼ばれる。列を正しく構築すれば、n角形の面積と元の図形の面積の差は n が大きくなるにつれて小さくなっていく。この差を恣意的に小さくすれば、その図形の面積は一連の数列で得られる面積によって「取り尽くされ」、とりうる値の下限が体系的に定まる。この方法はアンティポンが起源だが、彼がどこまで明確に理解していたのかは不明である。厳密な理論付けをしたのはエウドクソスである。「取り尽くし法」という用語を最初に使ったのは、Grégoire de Saint-Vincent の Opus geometricum guadraturae circuli et sectionum coni(1647年)である。 取り尽くし法は微分積分学の先駆けと言える。17世紀から19世紀に解析幾何学と厳密な微分積分学が発展し(特に極限に厳密な定義が与えられ)、取り尽くし法は問題の解法としては使われなくなった。 (ja)
  • De uitputtingsmethode (Latijn: methodus exhaustionibus, Engels: method of exhaustion), ook wel de uitputtingsmethode van Eudoxus genoemd, is een methode om de oppervlakte van een gekromde figuur, zoals een cirkel, te benaderen. Tegenwoordig wordt de uitputtingsmethode van Eudoxus wel gezien als een voorloper van de integraalrekening, waarbij het oppervlak onder een kromme wordt bepaald door de kromme in oneindig veel stukjes op te delen. (nl)
  • Metoda wyczerpywania (łac. methodus exhaustionibus) – metoda obliczania pola powierzchni figury geometrycznej za pomocą wpisania w nią ciągu wzajemnie rozłącznych wielokątów o znanej powierzchni, których suma pól zbliża się do powierzchni badanej figury. Choć rozwój rachunku różniczkowego wyparł metodę z użycia, pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie w matematycznej teorii miary, np. przy obliczaniu miary Lebesgue'a oraz całki Lebesgue'a. (pl)
  • O método da exaustão é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Se a sequência for corretamente construída, a diferença entre o n-ésimo polígono e a figura que os contém se tornará arbitrariamente pequena a medida que n se tornar grande. A medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da figura são sistematicamente "exauridos" pela limitação inferior imposta pelos polígonos cada vez maiores. A idéia teve origem com Antífon, apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu. A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, (pt)
rdfs:label
  • طريقة الاستنفاد (ar)
  • Exhaustionsmethode (de)
  • Method of exhaustion (en)
  • Método exhaustivo (es)
  • Méthode d'exhaustion (fr)
  • Metodo di esaustione (it)
  • 取り尽くし法 (ja)
  • Uitputtingsmethode (nl)
  • Metoda wyczerpywania (pl)
  • Método da exaustão (pt)
  • Метод исчерпывания (ru)
  • 穷举法 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:depiction
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is foaf:primaryTopic of