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- Metamathematics is the study of mathematics itself using mathematical methods. This study produces metatheories, which are mathematical theories about other mathematical theories. Metamathematical metatheorems about mathematics itself were originally differentiated from ordinary mathematical theorems in the 19th century, to focus on what was then called the foundational crisis of mathematics. Richard's paradox (Richard 1905) concerning certain 'definitions' of real numbers in the English language is an example of the sort of contradictions which can easily occur if one fails to distinguish between mathematics and metamathematics. The term "metamathematics" is sometimes used as a synonym for certain elementary parts of formal logic, including propositional logic and predicate logic.
- Metamathematik ist die mathematische Betrachtung der Grundlagen der Mathematik. Im Jahre 1920 stellte der Mathematiker David Hilbert die Forderung auf, die Mathematik auf die Grundlage eines vollständigen und widerspruchsfreien Axiomensystems zu stellen. Dieses Bestreben wurde als Hilberts Programm bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte er den Begriff Metamathematik (in Anlehnung an Metaphysik). Das Hilbert-Programm schien zu scheitern, seit der Gödelsche Unvollständigkeitssatz zeigte, dass es kein Axiomensystem gibt, welches allen Forderungen Hilberts entspricht. Nach Widerspruchsfreiheitsbeweisen für Teile der Arithmetik durch Leopold Löwenheim, Albert Thoralf Skolem, Jacques Herbrand und Mojżesz Presburger gelang Gerhard Gentzen ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Peano-Arithmetik erster Stufe, wobei er allerdings die so genannte transfinite Induktion benutzte. All diesen Beweisen ist allerdings gemeinsam, dass sie - gemäß dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz - nicht innerhalb der Arithmetik selbst ausgeführt werden konnten. Über die Entscheidbarkeit gab es wichtige Ergebnisse von Alonzo Church, der die Unentscheidbarkeit der Quantorenlogik aller Stufen zeigen konnte. Der Begriff der Rekursivität ist dem der Berechenbarkeit äquivalent. Paul Lorenzen führte 1951 einen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die verzweigte Typentheorie durch. Dieser Beweis liefert die Widerspruchsfreiheit von Teilen der klassischen Analysis. In seinem 1962 veröffentlichten Buch Metamathematik fasst er die Metamathematik als „Mathematik der Metatheorien“ auf, wobei eine Metatheorie eine (konstruktive oder axiomatische) Theorie über axiomatische Theorien darstellt. Durch Verwendung der <math>\omega </math>-Regel (unendliche Induktion) erhält man einen vollständigen Halbformalismus (K. Schütte) der Arithmetik und so einen Widerspruchsfreiheitsbeweis der konstruktiven Mathematik durch Einbeziehung in den Gentzenschen Hauptsatz.
- A metamatematika a modern matematikai, matematikafilozófiai, illetve filozófiai publikációkban különféle, egymással rokonságban lévő, de nem mindenhol ugyanabban az értelemben használt kifejezés és fogalom.
- La metamatematica può definirsi come la parte della matematica che consente di studiare la matematica da punti di vista generali. Essa venne differenziata dal resto della matematica verso la fine del XIX secolo nell'ambito delle discussioni che riguardavano quello che allora veniva chiamato problema dei fondamenti della matematica. Tra le sue branche più importanti si pongono la teoria della dimostrazione e la teoria dei modelli. Il significato che le attribuiva originariamente David Hilbert si avvicina a quello della attuale teoria della dimostrazione. Le due suddette branche ora spesso sono considerate parti della logica matematica, termine che ora viene molto più ampiamente usato di quello di metamatematica; mentre taluni considerano metamatematica un termine obsoleto, esso viene ancora usato dalla Library of Congress per categorizzare libri come Metamathematics of Fuzzy Logic (2002) e Gödel, Escher, Bach: Un'Eterna Ghirlanda Brillante. Molti temi riguardanti i fondamenti della matematica (senza necessariamente riferirsi a qualche determinato "problema") e la filosofia della matematica toccano o utilizzano idee della metamatematica. La premessa programmatica della metamatematica è che il contenuto matematico possa essere vantaggiosamente espresso mediante un sistema formale. Con atteggiamento contrapposto il quasi empirismo in matematica, la scienza cognitiva della matematica e gli studi etnoculturali della matematica, che concentrano l'attenzione sul metodo scientifico, i metodi quasi empirici o altri metodi empirici utilizzati per studiare la matematica e la pratica della matematica dai quali queste idee diventano accettate, si propongono come modalità non matematiche per studiare la matematica. Per un esempio dei tipi di contraddizioni nelle quali si incorre facilmente se non si distingue fra matematica e metamatematica, si veda paradosso di Richard.
- Metawiskunde is de studie van wiskunde aan de hand van wiskundige modellen. Uit dergelijke disciplines komen metatheorieën voort, in dit geval wiskundige theorieën met betrekking tot andere wiskundige theorieën. Metawiskundige metastellingen werden in de 19e eeuw nog onderscheiden van gewone wiskundige stellingen in verband met de grondslagencrisis in de wiskunde. De paradox van Richard uit 1905 is een goed voorbeeld van de problemen, die zich als gevolg van tegenspraak kunnen voordoen, wanneer wiskunde niet van metawiskunde wordt onderscheiden. De term metawiskunde wordt ook gebruikt voor bepaalde elementaire onderdelen van de formele logica, in het bijzonder de propositielogica en de predicatenlogica.
- Metamatematikk er den matematiske betraktningen av matematikkens grunnlag. Fokus i metamatematikken er blant annet på å finne ut hva man kan bevise med matematiske systemer. Metamatematikk er sterkt knyttet til matematisk logikk, og historien til disse to feltene overlapper hverandre i stor grad. En regner ofte med at det var den tyske matematikeren Gottlob Frege som startet med de første metamatematiske refleksjoner. I 1920 presenterte så matematikeren David Hilbert følgende utfordring: Er det mulig å sette opp et fullstendig og motsetningsfritt aksiomsystem som grunnlag for matematikken? Dette arbeidet ble kjent som Hilberts program, og dette arbeidet med å analysere matematikkens grunnlag satte sitt preg på metamatematikken. Arbeidet med Hilberts program fikk en alvorlig knekk da logikeren Kurt Gødel presenterte sitt ufullstendighetsteorem. Her beviste han at det ikke er mulig å lage noe aksiomsystem som oppfyller alle kravene til Hilbert. Senere har det blitt gjort mer eller mindre vellykkede forsøk på å sette opp motsetningsfrie aksiomsystem for avgrensede deler av matematikken. Etter viktige bidrag fra blant andre den norske matematikeren Thoralf Skolem, klarte den tyske matematikeren Gerhard Gentzen å formulere et bevis for at den såkalte Peano-aritmetikken var motsetningsfri.
- Metamatematyka lub meta-matematyka – matematyka zastosowana do badania matematyki. Bardziej ogólnie to refleksja o matematyce widzianej jako pewien abstrakcyjny obiekt i produkt ludzkiego umysłu.
- Метаматематика — метатеория математики, предметом исследования которой является математика. Понятие метаматематики восходит к Давиду Гильберту, который поставил задачу перестройки оснований математики и логики с целью решения проблем полноты и непротиворечивости математики. В математической логике под метаматематикой понимается теория доказательств. Метаматематика является первым примером метанауки.
- 一般来说，元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。更进一步来说，元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。“数学的数学”是于19世纪初由通常的数学分离出来的，它最初研究的对象是在所谓的数学危机。将二者混为一谈会导致一些矛盾，典型例子有理查德悖论。 比如说，元数学的主题之一就是：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。 许多关于数学基础与数学哲学的论说都涉及元数学的概念，它们往往不能被当作我们通常所说的“问题”来处理。元数学的基本假设是：数学的内容可以由一个形式系统获得，比如一个序理论或一个公理化集合论。 元数学与数理逻辑休戚相关，因而这两者的发展也大同小异。元数学的发端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。大卫·希尔伯特首先引进了带有正则性的“元数学”（metamathematics with regularity）这一说法（见希尔伯特计划）。这也就是现在所说的证明论。另一个重要的现代分支是模型论。这一领域的其他重要人物有：伯特兰·罗素，斯科尔姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克莱尼，蒯因，贝纳瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德尔。特别地，哥德尔证明了：给定任意有限多条皮亚诺算术的公理，都存在一些正确的命题，无法用所给公理来证明，即所谓的哥德尔不完备定理。某种意义上来说，这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就。
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- Metamathematics is the study of mathematics itself using mathematical methods. This study produces metatheories, which are mathematical theories about other mathematical theories. Metamathematical metatheorems about mathematics itself were originally differentiated from ordinary mathematical theorems in the 19th century, to focus on what was then called the foundational crisis of mathematics.
- Metamathematik ist die mathematische Betrachtung der Grundlagen der Mathematik. Im Jahre 1920 stellte der Mathematiker David Hilbert die Forderung auf, die Mathematik auf die Grundlage eines vollständigen und widerspruchsfreien Axiomensystems zu stellen. Dieses Bestreben wurde als Hilberts Programm bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte er den Begriff Metamathematik (in Anlehnung an Metaphysik).
- A metamatematika a modern matematikai, matematikafilozófiai, illetve filozófiai publikációkban különféle, egymással rokonságban lévő, de nem mindenhol ugyanabban az értelemben használt kifejezés és fogalom.
- La metamatematica può definirsi come la parte della matematica che consente di studiare la matematica da punti di vista generali. Essa venne differenziata dal resto della matematica verso la fine del XIX secolo nell'ambito delle discussioni che riguardavano quello che allora veniva chiamato problema dei fondamenti della matematica. Tra le sue branche più importanti si pongono la teoria della dimostrazione e la teoria dei modelli.
- Metawiskunde is de studie van wiskunde aan de hand van wiskundige modellen. Uit dergelijke disciplines komen metatheorieën voort, in dit geval wiskundige theorieën met betrekking tot andere wiskundige theorieën. Metawiskundige metastellingen werden in de 19e eeuw nog onderscheiden van gewone wiskundige stellingen in verband met de grondslagencrisis in de wiskunde.
- Metamatematikk er den matematiske betraktningen av matematikkens grunnlag. Fokus i metamatematikken er blant annet på å finne ut hva man kan bevise med matematiske systemer. Metamatematikk er sterkt knyttet til matematisk logikk, og historien til disse to feltene overlapper hverandre i stor grad. En regner ofte med at det var den tyske matematikeren Gottlob Frege som startet med de første metamatematiske refleksjoner.
- Metamatematyka lub meta-matematyka – matematyka zastosowana do badania matematyki. Bardziej ogólnie to refleksja o matematyce widzianej jako pewien abstrakcyjny obiekt i produkt ludzkiego umysłu.
- Метаматематика — метатеория математики, предметом исследования которой является математика.
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