In mathematics, a Mersenne prime is a prime number that is one less than a power of two. That is, it is a prime number that can be written in the form Mn = 2n − 1 for some integer n. They are named after Marin Mersenne, a French Minim friar, who studied them in the early 17th century. The first four Mersenne primes (sequence A000668 in the OEIS) are 3, 7, 31, and 127. If n is a composite number then so is 2n − 1. (2ab − 1 is divisible by both 2a − 1 and 2b − 1.) The definition is therefore unchanged when written Mp = 2p − 1 where p is assumed prime.

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  • In mathematics, a Mersenne prime is a prime number that is one less than a power of two. That is, it is a prime number that can be written in the form Mn = 2n − 1 for some integer n. They are named after Marin Mersenne, a French Minim friar, who studied them in the early 17th century. The first four Mersenne primes (sequence A000668 in the OEIS) are 3, 7, 31, and 127. If n is a composite number then so is 2n − 1. (2ab − 1 is divisible by both 2a − 1 and 2b − 1.) The definition is therefore unchanged when written Mp = 2p − 1 where p is assumed prime. More generally, numbers of the form Mn = 2n − 1 without the primality requirement are called Mersenne numbers. Mersenne numbers are sometimes defined to have the additional requirement that n be prime, equivalently that they be pernicious Mersenne numbers, namely those numbers whose binary representation contains a prime number of ones and no zeros. The smallest composite pernicious Mersenne number is 211 − 1 = 2047 = 23 × 89. Mersenne primes Mp are also noteworthy due to their . As of January 2016, 49 Mersenne primes are known. The largest known prime number 274,207,281 − 1 is a Mersenne prime. Since 1997, all newly found Mersenne primes have been discovered by the “Great Internet Mersenne Prime Search” (GIMPS), a distributed computing project on the Internet. (en)
  • في الرياضيات، عدد ميرسين (بالإنجليزية: Mersenne number) هو عدد صحيح موجب أصغر من قوة العدد اثنين بواحد: سميت هاته الأعداد هكذا نسبة لمارين ميرسين وهو راهب فرنسي بدأ دراستها في بداية القرن السابع عشر. بعض التعريفات لأعداد ميرسين تشترط في الأس p أن يكون أوليا، بما أنه إذا كان p عددا مؤلفا فإن العدد يكون مؤلفا أيضا. من المعلوم أنه إذا كان عددا أوليا فإن p هو عدد أولي أيضا. بحلول السابع من يناير 2016، اكتشف تسعة وأربعون عددا أوليا لميرسين فقط. أكبر عدد أولي معروف (ويساوي ) هو عدد أولي لميرسين. كل أعداد ميرسين الأولية المكتشفة بعد 1997، اكتشفت بفضل مشروع البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. (ar)
  • Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form . Im Speziellen bezeichnet man mit die -te Mersenne-Zahl. Die ersten acht Mersenne-Zahlen sind 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 (Folge A000225 in OEIS). Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen sind 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647 (Folge A000668 in OEIS) für die Exponenten p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 (Folge A000043 in OEIS). Die zur Basis 2 definierten Mersennezahlen zeigen sich im Dualsystem als Einserkolonnen, d. h. Zahlen, die ausschließlich aus Einsen bestehen. Die n-te Mersennezahl ist im Dualsystem eine Zahl mit n Einsen (Beispiel: M3 = 7 = 1112). Mersenne-Zahlen zählen im Binären zu den Zahlenpalindromen, Mersenne-Primzahlen dementsprechend zu den Primzahlpalindromen. Ihren Namen haben diese Primzahlen von dem französischen Mönch und Priester Marin Mersenne (1588–1648), der im Vorwort seiner Cogitata Physico-Mathematica behauptete, dass für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 eine Primzahl sei. Er irrte sich jedoch bei den Zahlen und und übersah die Mersenne-Primzahlen , und .Dass keine Primzahl ist, hat Édouard Lucas 1876 gezeigt, aber erst im Jahre 1903 konnte der Mathematiker Frank Nelson Cole die Primfaktoren dieser Zahl benennen. Um den Nachweis zu führen, dass keine Primzahl ist, wurde 1932 eine frühe Rechenmaschine verwendet. Bei der Zahl handelt es sich möglicherweise um einen Lesefehler seitens Mersenne aus seiner Korrespondenz mit Bernard Frénicle de Bessy und Pierre de Fermat, wobei er mit verwechselte. Mersenne-Zahlen kommen auch beim Mersenne-Twister vor, einem Pseudozufallszahlengenerator. (de)
  • Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo, es decir, , con n primo (no es una condición suficiente que n sea primo para que lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista sólo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó M67 y M257, que son compuestos, y omitió M61, M89, y M107, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa sólo se completó más de dos siglos después. Actualmente (enero de 2016), sólo se conocen 49 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M74 207 281 = 2 74 207 281−1, un número de más de veintidós millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992. (es)
  • En mathématiques et plus précisément en arithmétique, les nombres de Mersenne sont les nombres de la forme : une puissance de 2 moins 1. Ils constituent la suite d'entiers Ces nombres doivent leur nom à un religieux érudit et mathématicien français du XVIIe siècle, Marin Mersenne. Un nombre premier de Mersenne, ou nombre de Mersenne premier, est un nombre qui est à la fois de Mersenne et premier. Pour que le n-ième nombre de Mersenne Mn soit premier, il est nécessaire — mais non suffisant — que son indice n le soit. Par exemple, M4 n'est pas premier puisque 4 ne l'est pas (d'ailleurs, 24 – 1 = 15 = 3 × 5), et M11 n'est pas premier non plus bien que 11 le soit : M11 = 211 – 1 = 2 047 = 23×89. La sous-suite des nombres de Mersenne premiers est généralement notée . Les plus petits nombres de Mersenne premiers sont donc : * ; * ; * ; * ; * (fr)
  • In matematica un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come: con intero positivo primo. Tale numero è talvolta indicato come esponente di Mersenne (successione A000043 in OEIS). Si noti che non è primo e che quindi non tutti i numeri primi corrispondono a un esponente di Mersenne, ma solo quelli per cui risulta anch'esso primo. A volte nella definizione di numero primo di Mersenne non viene richiesto a priori che l'indice sia primo. L'equivalenza delle due definizioni segue dal fatto che se è primo, allora anche deve essere primo, come si vede facilmente dall'identità In generale un numero del tipo viene detto "numero di Mersenne" (anche quando non è un numero primo di Mersenne). Si conoscono diverse proprietà dei fattori primi degli composti con primo. Ad esempio (e Fermat fu il primo ad evidenziare e usare questa proprietà) si può dimostrare che ogni fattore primo di dev'essere del tipo con intero positivo. I numeri primi di Mersenne prendono il nome dal matematico francese Marin Mersenne (1588-1648). Mersenne compilò una lista di numeri primi di questo tipo considerando tutti i valori di fino a . Tale lista conteneva però alcuni errori: includeva e (che non sono primi), mentre non comparivano , e (che sono primi). I primi dodici numeri primi di Mersenne sono: I numeri primi di Mersenne sono collegati con i numeri perfetti. Nel IV secolo a.C. Euclide dimostrò che se è un numero primo, allora è un numero perfetto. Nel XVIII secolo Eulero provò che tutti i numeri perfetti pari hanno questa forma. Nessun numero perfetto dispari è conosciuto, ed è anche possibile che non ne esistano. L'avvento dei calcolatori elettronici ha notevolmente accelerato la scoperta dei primi di Mersenne. I primi dodici numeri primi di Mersenne sono stati scoperti prima del XX secolo. Alla fine del millennio i primi di Mersenne conosciuti erano 38; oggi invece se ne conoscono 49 e i quindici più recenti sono stati scoperti nell'ambito della GIMPS, la Great Internet Mersenne Prime Search, iniziativa che sfrutta le risorse disponibili di migliaia di computer in rete per cercare i primi di Mersenne. Il test di primalità usato dal GIMPS è il Test di Lucas-Lehmer che è molto più veloce dei test generici a parità di ordine di grandezza nel numero; ecco perché in assoluto i record dei più grandi numeri primi conosciuti sono ormai da tempo dei numeri primi di Mersenne. Il più grande numero primo conosciuto (a gennaio 2016) è . Ha più di 22 milioni di cifre ed è stato anch'esso trovato nell'ambito GIMPS: Se scritti in base 2, tutti i numeri primi di Mersenne sono primi repunit, ovvero sono rappresentati da stringhe di p cifre unitarie, dove p è l'esponente primo di Mersenne. Negli esempi qui di seguito l'indice denota la base in cui il numero viene espresso: 310 = 112710 = 11123110 = 11111212710 = 11111112819110 = 11111111111112. I primi di Mersenne, scritti in base 2, sono anche primi palindromi, primi permutabili e primi di Gauss. (it)
  • メルセンヌ数(メルセンヌすう、英: Mersenne number)とは、2の冪よりも 1 小さい自然数、すなわち 2n − 1(n は自然数)の形の自然数のことである。これを Mn で表すことが多い。2進数表記では、n 桁の 11…11 となる。 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, …(オンライン整数列大辞典の数列 A000225) 上記の数列において、素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数(メルセンヌそすう、英: Mersenne prime)という。Mn が素数ならば n は素数であるが、逆に n が素数であっても Mn は素数とは限らない (M11 = 23 × 89)。後述するように、効率的なによって、巨大な素数の実例としてメルセンヌ素数を発見することが特に興味の対象となっている。このため近年では、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) によるメルセンヌ素数の発見が進められている。具体的なメルセンヌ素数は 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, …(オンライン整数列大辞典の数列 A000668) である。詳しくはを参照のこと。 なお、「メルセンヌ数」という語で、n が素数であるもののみを指したり、さらに狭くメルセンヌ素数を指す場合もある。 (ja)
  • In de wiskunde is een mersennegetal een positief geheel getal dat precies één kleiner is dan een macht van twee: Sommige definities van mersennegetallen vereisen dat de exponent n een priemgetal is. Een mersennepriemgetal is een mersennegetal dat een priemgetal is. Mersennepriemgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht. Sinds januari 2016 zijn er 49 mersennepriemgetallen bekend. Het grootst bekende priemgetal is 274207281-1 en is een mersennepriemgetal; in de moderne tijd is het grootst bekende priemgetal bijna steeds een mersennepriemgetal geweest. Net als een aantal eerder ontdekte mersennepriemgetallen, werd het ontdekt door het GIMPS distributed computing-project op het internet (zie externe link). (nl)
  • Liczby Mersenne’a – liczby pierwsze postaci , gdzie jest liczbą naturalną. Niektóre definicje wymagają ponadto, by liczba była liczbą pierwszą. Liczby Mersenne’a zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Marina Mersenne’a, który opublikował tablicę liczb pierwszych tego typu – jak się później okazało, błędną. Liczbę Mersenne’a M(p) można określić jako sumę p pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: , , , , ,... (pl)
  • Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma Mn = 2 n – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M1 = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos. * Assim: M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8.191, M17 = 131.071, M19 = 524.287... etc. formam a série de mersennes primos. * Mas: M0 = 0 (composto, par); M1 = 1 (singular, ímpar); M4 = 15, M6 = 63, M8 = 255, M9 = 511, M10 = 1.023, M11 = 2.047, M12 = 4.095... etc (todos números compostos e ímpares), formam a série de mersennes não-primos (o zero; o um; e os demais, compostos ímpares). (pt)
  • Чи́сла Мерсе́нна (англ. Mersenne numbers) — числа вида , где — натуральное число. Эти числа примечательны тем, что некоторые из них являются простыми. Названы в честь французского математика Маре́на Мерсенна, исследовавшего их свойства в XVII веке. (ru)
  • 梅森数是指形如 的数,记为 ;如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。 梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森(Marin Mersenne)的名字命名的,他列出了n ≤ 257的梅森素数,不过他错误地包括了不是素数的M67和M257,而遗漏了M61、M89和M107。 当n为合数时, 一定为合数。但当n为素数时, 不一定皆為素数,比如 和 是素数,但 卻不是素数。 截至2016年1月,已知的梅森素数共有49个。已知最大的梅森素数是 。从1997年至今,所有新的梅森素数都是由互联网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现的。 (zh)
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  • Liczby Mersenne’a – liczby pierwsze postaci , gdzie jest liczbą naturalną. Niektóre definicje wymagają ponadto, by liczba była liczbą pierwszą. Liczby Mersenne’a zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Marina Mersenne’a, który opublikował tablicę liczb pierwszych tego typu – jak się później okazało, błędną. Liczbę Mersenne’a M(p) można określić jako sumę p pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego: , , , , ,... (pl)
  • Чи́сла Мерсе́нна (англ. Mersenne numbers) — числа вида , где — натуральное число. Эти числа примечательны тем, что некоторые из них являются простыми. Названы в честь французского математика Маре́на Мерсенна, исследовавшего их свойства в XVII веке. (ru)
  • 梅森数是指形如 的数,记为 ;如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。 梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森(Marin Mersenne)的名字命名的,他列出了n ≤ 257的梅森素数,不过他错误地包括了不是素数的M67和M257,而遗漏了M61、M89和M107。 当n为合数时, 一定为合数。但当n为素数时, 不一定皆為素数,比如 和 是素数,但 卻不是素数。 截至2016年1月,已知的梅森素数共有49个。已知最大的梅森素数是 。从1997年至今,所有新的梅森素数都是由互联网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现的。 (zh)
  • In mathematics, a Mersenne prime is a prime number that is one less than a power of two. That is, it is a prime number that can be written in the form Mn = 2n − 1 for some integer n. They are named after Marin Mersenne, a French Minim friar, who studied them in the early 17th century. The first four Mersenne primes (sequence A000668 in the OEIS) are 3, 7, 31, and 127. If n is a composite number then so is 2n − 1. (2ab − 1 is divisible by both 2a − 1 and 2b − 1.) The definition is therefore unchanged when written Mp = 2p − 1 where p is assumed prime. (en)
  • في الرياضيات، عدد ميرسين (بالإنجليزية: Mersenne number) هو عدد صحيح موجب أصغر من قوة العدد اثنين بواحد: سميت هاته الأعداد هكذا نسبة لمارين ميرسين وهو راهب فرنسي بدأ دراستها في بداية القرن السابع عشر. بعض التعريفات لأعداد ميرسين تشترط في الأس p أن يكون أوليا، بما أنه إذا كان p عددا مؤلفا فإن العدد يكون مؤلفا أيضا. من المعلوم أنه إذا كان عددا أوليا فإن p هو عدد أولي أيضا. بحلول السابع من يناير 2016، اكتشف تسعة وأربعون عددا أوليا لميرسين فقط. أكبر عدد أولي معروف (ويساوي (ar)
  • Eine Mersenne-Zahl ist eine Zahl der Form . Im Speziellen bezeichnet man mit die -te Mersenne-Zahl. Die ersten acht Mersenne-Zahlen sind 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 (Folge A000225 in OEIS). Die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen werden Mersenne-Primzahlen genannt. Die ersten acht Mersenne-Primzahlen sind 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647 (Folge A000668 in OEIS) für die Exponenten p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 (Folge A000043 in OEIS). eine Primzahl sei. Er irrte sich jedoch bei den Zahlen und und übersah die Mersenne-Primzahlen , und .Dass mit verwechselte. (de)
  • Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo, es decir, , con n primo (no es una condición suficiente que n sea primo para que (es)
  • En mathématiques et plus précisément en arithmétique, les nombres de Mersenne sont les nombres de la forme : une puissance de 2 moins 1. Ils constituent la suite d'entiers Ces nombres doivent leur nom à un religieux érudit et mathématicien français du XVIIe siècle, Marin Mersenne. La sous-suite des nombres de Mersenne premiers est généralement notée . Les plus petits nombres de Mersenne premiers sont donc : * ; * ; * ; * ; * (fr)
  • メルセンヌ数(メルセンヌすう、英: Mersenne number)とは、2の冪よりも 1 小さい自然数、すなわち 2n − 1(n は自然数)の形の自然数のことである。これを Mn で表すことが多い。2進数表記では、n 桁の 11…11 となる。 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, …(オンライン整数列大辞典の数列 A000225) 上記の数列において、素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数(メルセンヌそすう、英: Mersenne prime)という。Mn が素数ならば n は素数であるが、逆に n が素数であっても Mn は素数とは限らない (M11 = 23 × 89)。後述するように、効率的なによって、巨大な素数の実例としてメルセンヌ素数を発見することが特に興味の対象となっている。このため近年では、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) によるメルセンヌ素数の発見が進められている。具体的なメルセンヌ素数は 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, …(オンライン整数列大辞典の数列 A000668) (ja)
  • In matematica un numero primo di Mersenne è un numero primo esprimibile come: con intero positivo primo. Tale numero è talvolta indicato come esponente di Mersenne (successione A000043 in OEIS). Si noti che non è primo e che quindi non tutti i numeri primi corrispondono a un esponente di Mersenne, ma solo quelli per cui risulta anch'esso primo. A volte nella definizione di numero primo di Mersenne non viene richiesto a priori che l'indice sia primo. L'equivalenza delle due definizioni segue dal fatto che se è primo, allora anche deve essere primo, come si vede facilmente dall'identità composti con con e , e (it)
  • In de wiskunde is een mersennegetal een positief geheel getal dat precies één kleiner is dan een macht van twee: Sommige definities van mersennegetallen vereisen dat de exponent n een priemgetal is. Een mersennepriemgetal is een mersennegetal dat een priemgetal is. Mersennepriemgetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht. (nl)
  • Primo de Mersenne é um número de Mersenne (número da forma Mn = 2 n – 1, com "n" número natural) que também é um número primo. Nem todo número de Mersenne é primo: entre os números de Mersenne, com efeito, há aqueles que são primos; porém, além do número um, que é número de Mersenne (M1 = 1), porém não-primo, pois singular, há também números de Mersenne compostos. (pt)
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  • عدد ميرسين الأولي (ar)
  • Mersenne-Primzahl (de)
  • Número primo de Mersenne (es)
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  • メルセンヌ数 (ja)
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  • Liczby Mersenne’a (pl)
  • Primo de Mersenne (pt)
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