| dbpedia-owl:abstract
|
- Die Mathematische Logik ist ein Teilgebiet der Mathematik. Oft wird sie in die Teilgebiete Modelltheorie, Beweistheorie, Mengenlehre und Rekursionstheorie aufgeteilt. Forschung im Bereich der mathematischen Logik hat zum Studium der Grundlagen der Mathematik beigetragen und wurde auch durch dieses motiviert. Es gibt aber auch Teile der mathematischen Logik, welche nicht mit Grundlagenfragen verbunden sind. Ein Aspekt der Untersuchungen der mathematischen Logik ist das Studium der Ausdrucksstärke von formalen Logiken und formalen Beweissystemen. Eine Möglichkeit die Stärke solcher Systeme zu messen besteht darin, festzustellen was damit bewiesen oder definiert werden kann. Früher wurde die mathematische Logik auch symbolische Logik (als Gegensatz zur philosophischen Logik) oder Metamathematik genannt. Der erste Ausdruck wird immer noch verwendet, der letztere wird mittlerweile nur noch für gewisse Aspekte der Beweistheorie verwendet.
- Mathematical logic (also known as symbolic logic) is a subfield of mathematics with close connections to foundations of mathematics, theoretical computer science and philosophical logic. The field includes both the mathematical study of logic and the applications of formal logic to other areas of mathematics. The unifying themes in mathematical logic include the study of the expressive power of formal systems and the deductive power of formal proof systems. Mathematical logic is often divided into the fields of set theory, model theory, recursion theory, and proof theory. These areas share basic results on logic, particularly first-order logic, and definability. In computer science (particularly in the ACM Classification) mathematical logic encompasses additional topics not detailed in this article; see logic in computer science for those. Since its inception, mathematical logic has contributed to, and has been motivated by, the study of foundations of mathematics. This study began in the late 19th century with the development of axiomatic frameworks for geometry, arithmetic, and analysis. In the early 20th century it was shaped by David Hilbert's program to prove the consistency of foundational theories. Results of Kurt Gödel, Gerhard Gentzen, and others provided partial resolution to the program, and clarified the issues involved in proving consistency. Work in set theory showed that almost all ordinary mathematics can be formalized in terms of sets, although there are some theorems that cannot be proven in common axiom systems for set theory. Contemporary work in the foundations of mathematics often focuses on establishing which parts of mathematics can be formalized in particular formal systems, rather than trying to find theories in which all of mathematics can be developed.
- La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
- La logica matematica è il settore della matematica che studia i sistemi formali dal punto di vista del modo di codificare i concetti intuitivi della dimostrazione e di computazione come parte dei fondamenti della matematica. Sebbene molti siano indotti a pensare che la logica matematica sia la matematica della logica, è più giustificato affermare che essa è la logica applicata alla matematica. Essa si occupa delle parti della logica che possono essere modellate matematicamente. Altri termini utilizzati spesso nel passato sono logica simbolica (termine contrapposto a logica filosofica) e metamatematica, termine che ora si applica più specificamente a taluni aspetti della teoria della dimostrazione.
- 数理論理学（すうりろんりがく）とは、論理を数学によって研究する学問である。記号論理学（きごうろんりがく）とも言う。
- De wiskundige logica is een deelgebied van de wiskunde. De wiskundige logica wordt vaak onderverdeeld in de deelgebieden groepentheorie, modeltheorie, bewijstheorie, verzamelingenleer, constructivisme, recursietheorie en berekenbaarheid. Onderzoek op het gebied van de wiskundige logica heeft bijgedragen aan de grondslagen van de wiskunde, die weer de logica in het algemeen ondersteunden. Maar er zijn ook onderdelen van de wiskundige logica die niet met grondslagvragen verbonden zijn. Formele logica en het formele wiskundig bewijs horen bij de wiskundige logica. Vroeger werd de wiskundige logica ook wel symbolische logica genoemd, en op één lijn getrokken met disciplines waar qua onderzoeksgebied enige overlap mee is, met name de filosofische logica en de metawiskunde. De eerste discipline betreft vooral de algemene logica, de filosofie van de logica en de metalogica, maar wordt soms ook nog gebruikt voor de wiskundige logica, zoals in de Association for Symbolic Logic. Metawiskunde heeft vooral betrekking op bepaalde aspecten van de bewijstheorie. In de vorige eeuw was het programma van David Hilbert en het onderzoek van consistentie van onder meer Kurt Gödel van belang.
- Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki. W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej). Nazwa logika matematyczna została użyta po raz pierwszy przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano.
- A lógica matemática é uma disciplina relacionada a lógica e a matemática, consiste no estudo matemático da lógica e na aplicação deste estudo a outras áreas da matemática. A lógica matemática guarda estritas conexões com a ciência da computação. Foi também chamada de lógica simbólica. Inclui a lógica clássica, mas com uma notação diferente, mais abstrata, tomada da álgebra. Tradicionalmente dividida em Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Modelos, Teoria da Prova e Teoria da Recursão, inclui as partes da lógica que podem ser modeladas e estudadas matematicamente.
- Matematisk logik har generellt två betydelser. Det kan betyda logik studerad med matematiska metoder eller matematikens logik. Ofta avser man båda dessa tolkningar: man studerar matematikens logik med matematiska metoder. Begreppet ska förstås som kontrast till Filosofisk logik.
- Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен. » Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков). » Это определение соответствует определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов». Также А. А. Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы». Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет. Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы, синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы и, то выводима и формула . Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И. Математическая логика изучает логические связи и отношения лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода с использованием языка математики. Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики. Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.
- 数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
- La logique mathématique, ou logique formelle, est une discipline des mathématiques qui définit et étudie les représentations formelles du langage mathématique. Les objets fondamentaux de la logique mathématiques sont les formules modélisant les énoncés mathématiques, les dérivations modélisant les raisonnements mathématiques et les sémantiques établissant les liens entre ces modèles et les objets qu'ils sont censés représenter.
|
| rdfs:comment
|
- 数理論理学（すうりろんりがく）とは、論理を数学によって研究する学問である。記号論理学（きごうろんりがく）とも言う。
- Matematisk logik har generellt två betydelser. Det kan betyda logik studerad med matematiska metoder eller matematikens logik. Ofta avser man båda dessa tolkningar: man studerar matematikens logik med matematiska metoder. Begreppet ska förstås som kontrast till Filosofisk logik.
- 数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
- Die Mathematische Logik ist ein Teilgebiet der Mathematik. Oft wird sie in die Teilgebiete Modelltheorie, Beweistheorie, Mengenlehre und Rekursionstheorie aufgeteilt. Forschung im Bereich der mathematischen Logik hat zum Studium der Grundlagen der Mathematik beigetragen und wurde auch durch dieses motiviert. Es gibt aber auch Teile der mathematischen Logik, welche nicht mit Grundlagenfragen verbunden sind.
- Mathematical logic (also known as symbolic logic) is a subfield of mathematics with close connections to foundations of mathematics, theoretical computer science and philosophical logic. The field includes both the mathematical study of logic and the applications of formal logic to other areas of mathematics. The unifying themes in mathematical logic include the study of the expressive power of formal systems and the deductive power of formal proof systems.
- La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
- La logica matematica è il settore della matematica che studia i sistemi formali dal punto di vista del modo di codificare i concetti intuitivi della dimostrazione e di computazione come parte dei fondamenti della matematica. Sebbene molti siano indotti a pensare che la logica matematica sia la matematica della logica, è più giustificato affermare che essa è la logica applicata alla matematica. Essa si occupa delle parti della logica che possono essere modellate matematicamente.
- De wiskundige logica is een deelgebied van de wiskunde. De wiskundige logica wordt vaak onderverdeeld in de deelgebieden groepentheorie, modeltheorie, bewijstheorie, verzamelingenleer, constructivisme, recursietheorie en berekenbaarheid. Onderzoek op het gebied van de wiskundige logica heeft bijgedragen aan de grondslagen van de wiskunde, die weer de logica in het algemeen ondersteunden. Maar er zijn ook onderdelen van de wiskundige logica die niet met grondslagvragen verbonden zijn.
- Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się ona na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki. W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej).
- A lógica matemática é uma disciplina relacionada a lógica e a matemática, consiste no estudo matemático da lógica e na aplicação deste estudo a outras áreas da matemática. A lógica matemática guarda estritas conexões com a ciência da computação. Foi também chamada de lógica simbólica. Inclui a lógica clássica, mas com uma notação diferente, mais abstrata, tomada da álgebra.
- Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен. » Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н. И.
- La logique mathématique, ou logique formelle, est une discipline des mathématiques qui définit et étudie les représentations formelles du langage mathématique. Les objets fondamentaux de la logique mathématiques sont les formules modélisant les énoncés mathématiques, les dérivations modélisant les raisonnements mathématiques et les sémantiques établissant les liens entre ces modèles et les objets qu'ils sont censés représenter.
|
