| dbpprop:abstract
|
- In mathematics, more precisely in measure theory, Lebesgue's decomposition theorem is a theorem which states that given <math>\mu</math> and <math>\nu</math> two σ-finite signed measures on a measurable space <math>(\Omega,\Sigma),</math> there exist two σ-finite signed measures <math>\nu_0</math> and <math>\nu_1</math> such that: <math>\nu=\nu_0+\nu_1\, </math> <math>\nu_0\ll\mu</math> (that is, <math>\nu_0</math> is absolutely continuous with respect to <math>\mu</math>) <math>\nu_1\perp\mu</math> (that is, <math>\nu_1</math> and <math>\mu</math> are singular). These two measures are uniquely determined.
- Вводные определения Пусть <math>F</math> — монотонно неубывающая функция, непрерывная слева на отрезке <math>[a,\;b]</math>. На <math>[a,\;b]</math> вводится борелевская алгебра: <math>m[a,\;b=F(b)-F(a)</math>, <math>m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)</math>, <math>m(a,\;b]=F-F</math>, <math>m=F-F</math>, <math>\mu_F</math> — мера Стилтьеса на отрезке <math></math>, для производящей функции которой: <math>F-F</math>. Поэтому можно продолжить меру на всю числовую прямую. Частные случаи производящей функции: <math>F</math> — функция скачков. Скачок всегда положительный, множество <math>A</math> — из конечного или счётного числа точек . <math>\mu_F=\sum\limits_{x_i\in A}h_i</math> — дискретная мера. Функция F непрерывна, монотонно не убывает на <math></math>, на <math></math> <math>F'=f</math>. <math>\mu_F=\int\limits_A f\,dx</math> — абсолютно непрерывная мера. <math>F</math> — сингулярная функция . Мера сосредоточена в точках роста функции. Теорема разложения меры Любую меру Лебега — Стилтьеса можно представить в виде суммы трех мер — дискретной, абсолютно непрерывной, и сингулярной.
|
![[RDF Data]](/statics/sw-cube.png)
