In probability theory, the law of large numbers (LLN) is a theorem that describes the result of performing the same experiment a large number of times. According to the law, the average of the results obtained from a large number of trials should be close to the expected value, and will tend to become closer as more trials are performed.

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  • In probability theory, the law of large numbers (LLN) is a theorem that describes the result of performing the same experiment a large number of times. According to the law, the average of the results obtained from a large number of trials should be close to the expected value, and will tend to become closer as more trials are performed. The LLN is important because it "guarantees" stable long-term results for the averages of some random events. For example, while a casino may lose money in a single spin of the roulette wheel, its earnings will tend towards a predictable percentage over a large number of spins. Any winning streak by a player will eventually be overcome by the parameters of the game. It is important to remember that the LLN only applies (as the name indicates) when a large number of observations are considered. There is no principle that a small number of observations will coincide with the expected value or that a streak of one value will immediately be "balanced" by the others (see the gambler's fallacy). (en)
  • يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشواء يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشواء۔ (ar)
  • Als Gesetze der großen Zahlen, abgekürzt GGZ, werden bestimmte Grenzwertsätze der Stochastik bezeichnet. In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel um die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsergebnisses stabilisiert, wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder unter denselben Voraussetzungen durchgeführt wird. Die häufig verwendete Formulierung, dass sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit „immer mehr annähert“ ist dabei irreführend, da es auch bei einer großen Anzahl von Wiederholungen Ausreißer geben kann. Die Annäherung ist also nicht monoton. Formal handelt es sich um Aussagen über die Konvergenz des arithmetischen Mittels von Zufallsvariablen, zumeist unterteilt in „starke“ (fast sichere Konvergenz) und „schwache“ (Konvergenz in Wahrscheinlichkeit) Gesetze der großen Zahlen. (de)
  • En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos. Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas. Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa. Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar. La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería. (es)
  • En statistiques, la loi des grands nombres (en anglais Law of large Numbers, abrégé LLN) exprime le fait que les caractéristiques d'un échantillon aléatoire se rapprochent des caractéristiques statistiques de la population plus la taille de l'échantillon augmente. La taille de l'échantillon à considérer ne dépend que faiblement, de la taille de la population enquêtée : que le sondage soit fait au Luxembourg ou aux États-Unis, il suffit, pour obtenir des précisions environ égales, de prendre des échantillons de tailles égales. (fr)
  • La legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso oppure teorema di Bernoulli (in quanto la sua prima formulazione è dovuta a Jakob Bernoulli), descrive il comportamento della media di una sequenza di n prove di una variabile casuale, indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta, ecc.), al tendere ad infinito della numerosità della sequenza stessa (n). In altre parole, grazie alla legge dei grandi numeri, possiamo fidarci che la media che calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni sia sufficientemente vicina alla media vera. Che cosa significhi ragionevolmente sicuri dipende da quanto vogliamo essere precisi nel nostro test: con dieci prove, avremmo una stima grossolana, con cento, ne otterremmo una molto più precisa, con mille, ancora di più, e così via: il valore di n che siamo disposti ad accettare come sufficiente dipende dal grado di casualità che riteniamo necessario per il dado in questione. In termini generici, per la legge dei grandi numeri si può dire: * che la media della sequenza è un'approssimazione, che migliora al crescere di n, della media della distribuzione; * e che, viceversa, si può prevedere che sequenze siffatte mostreranno una media tanto più spesso e tanto più precisamente prossima alla media della distribuzione quanto più grande sarà n. Un caso particolare di applicazione della legge dei grandi numeri è la previsione probabilistica della proporzione di successi in una sequenza di n realizzazioni indipendenti di un evento E, ovvero, la frequenza di E nelle n misurazioni: per n che tende a infinito, la proporzione di successi converge alla probabilità di E. (it)
  • 大数の法則(たいすうのほうそく、law of large numbers)は、確率論・統計学における極限定理のひとつで、「経験的確率と理論的確率が一致する」 という、素朴な意味での確率を意味付け、定義付ける法則である。 厳密には、ヤコブ・ベルヌーイによる大数の弱法則 (WLLN: Weak Law of Large Numbers) と、エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数の強法則 (SLLN: Strong Law of Large Numbers) とがある。単に「大数の法則」と言った場合、どちらを指しているのかは文脈により判断する必要がある。 (ja)
  • Onder een wet van grote aantallen wordt in de kansrekening een regel verstaan die een uitspraak doet over het gedrag van het gemiddelde van een rij stochastische variabelen bij toenemende omvang van de rij. Er bestaan verschillende vormen van zo'n wet. Zo is er een experimentele, een zwakke en een sterke wet van de grote aantallen. De diverse formuleringen van de wet en de specifieke randvoorwaarden beschrijven aspecten van deze convergentie. In een statistische context zeggen wetten van grote aantallen dat het (steekproef)gemiddelde van een aselecte steekproef uit een populatie, met hoge waarschijnlijkheid weinig verschilt van het populatiegemiddelde. Indien de stochastische variabelen een eindige variantie hebben, scherpt de centrale limietstelling ons begrip van de convergentie van het gemiddelde verder aan door uitspraken te doen over de kansverdeling van het gemiddelde van de stochastische variabelen. Ongeacht de onderliggende verdeling van deze variabelen, convergeert de kansverdeling van dit gemiddelde naar een normale verdeling. (nl)
  • Prawa wielkich liczb – seria twierdzeń matematycznych (jedno z tzw. twierdzeń granicznych) opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą. Najprostsza i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb to prawo Bernoulliego sformułowane przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego w książce Ars Conjectandi (1713). Prawo Bernoulliego orzeka, że: „Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa.” Bernoulli nazwał je „Złotym twierdzeniem”, ale matematycy przyjęli dla niego nazwę „Twierdzenie Bernoulliego”. Dopiero w 1835 roku francuski naukowiec Siméon Denis Poisson opisał je pod nazwą „Prawo wielkich liczb”. Obecnie twierdzenie to znane jest pod nazwami „Twierdzenie Bernoulliego” i „Prawo wielkich liczb”, jednak ta druga nazwa jest częściej stosowana. (pl)
  • A lei dos grandes números (LGN) é um teorema fundamental da teoria da probabilidade, que descreve o resultado da realização da mesma experiência repetidas vezes. De acordo com a LGN, a média aritmética dos resultados da realização da mesma experiência repetidas vezes tende a se aproximar do valor esperado à medida que mais tentativas se sucederem. Em outras palavras, quanto mais tentativas são realizadas, mais a probabilidade da média aritmética dos resultados observados se aproxima da probabilidade real. A LGN tem aplicações práticas na ciência de modo geral, tal como na agricultura e na economia, dentre outras áreas importantes. É possível descobrir por meio de numerosas observações e de experiências suficientes a probabilidade de um evento natural acontecer (por exemplo, a probabilidade de chover) ou de uma fração de uma população satisfazer a uma condição (por exemplo, a probabilidade de ser produzida uma determinada quantidade de peças defeituosas em uma linha de montagem). A LGN é importante ainda porque garante resultados estáveis a longo prazo para médias de eventos aleatórios. Considere um caso particular de um jogo de roleta em um cassino. Embora o cassino possa perder dinheiro em uma única rodada de uma roleta, os seus ganhos tenderão a se aproximar de uma probabilidade da média aritmética dos resultados observados depois de um grande número de rodadas. De outra forma, qualquer série de vitórias de um apostador será superada pelos parâmetros do jogo depois de algumas rodadas. Entretanto, a LGN se aplica apenas para um grande número de observações. Não há princípio para que um pequeno número de observações coincida com o valor esperado ou para que a sequência de um valor seja superada por outro valor imediatamente (ver falácia do apostador). (pt)
  • Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду. Всегда найдётся такое конечное число испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью меньше 1 относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая. На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей. (ru)
  • 在數學與統計學中,大数定律又称大数法则、大数律,是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道,樣本數量越多,則其平均就越趨近期望值。 大数定律很重要,因为它“保证”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现,在重複試驗中,随着试验次数的增加,事件发生的频率趋于一个稳定值;人们同时也发现,在对物理量的测量实践中,测定值的算术平均也具有稳定性。比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们上抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万几百万次以后,我们就会发现,硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然之中包含着必然。 切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定律都概括了这一现象,都称为大数定律。 (zh)
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  • Law of large numbers
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  • يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشواء يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشواء۔ (ar)
  • En statistiques, la loi des grands nombres (en anglais Law of large Numbers, abrégé LLN) exprime le fait que les caractéristiques d'un échantillon aléatoire se rapprochent des caractéristiques statistiques de la population plus la taille de l'échantillon augmente. La taille de l'échantillon à considérer ne dépend que faiblement, de la taille de la population enquêtée : que le sondage soit fait au Luxembourg ou aux États-Unis, il suffit, pour obtenir des précisions environ égales, de prendre des échantillons de tailles égales. (fr)
  • 大数の法則(たいすうのほうそく、law of large numbers)は、確率論・統計学における極限定理のひとつで、「経験的確率と理論的確率が一致する」 という、素朴な意味での確率を意味付け、定義付ける法則である。 厳密には、ヤコブ・ベルヌーイによる大数の弱法則 (WLLN: Weak Law of Large Numbers) と、エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数の強法則 (SLLN: Strong Law of Large Numbers) とがある。単に「大数の法則」と言った場合、どちらを指しているのかは文脈により判断する必要がある。 (ja)
  • 在數學與統計學中,大数定律又称大数法则、大数律,是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道,樣本數量越多,則其平均就越趨近期望值。 大数定律很重要,因为它“保证”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现,在重複試驗中,随着试验次数的增加,事件发生的频率趋于一个稳定值;人们同时也发现,在对物理量的测量实践中,测定值的算术平均也具有稳定性。比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们上抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万几百万次以后,我们就会发现,硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然之中包含着必然。 切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定律都概括了这一现象,都称为大数定律。 (zh)
  • In probability theory, the law of large numbers (LLN) is a theorem that describes the result of performing the same experiment a large number of times. According to the law, the average of the results obtained from a large number of trials should be close to the expected value, and will tend to become closer as more trials are performed. (en)
  • Als Gesetze der großen Zahlen, abgekürzt GGZ, werden bestimmte Grenzwertsätze der Stochastik bezeichnet. In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel um die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsergebnisses stabilisiert, wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder unter denselben Voraussetzungen durchgeführt wird. Die häufig verwendete Formulierung, dass sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit „immer mehr annähert“ ist dabei irreführend, da es auch bei einer großen Anzahl von Wiederholungen Ausreißer geben kann. Die Annäherung ist also nicht monoton. (de)
  • En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos. Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas. (es)
  • La legge dei grandi numeri, detta anche legge empirica del caso oppure teorema di Bernoulli (in quanto la sua prima formulazione è dovuta a Jakob Bernoulli), descrive il comportamento della media di una sequenza di n prove di una variabile casuale, indipendenti e caratterizzate dalla stessa distribuzione di probabilità (n misure della stessa grandezza, n lanci della stessa moneta, ecc.), al tendere ad infinito della numerosità della sequenza stessa (n). In altre parole, grazie alla legge dei grandi numeri, possiamo fidarci che la media che calcoliamo a partire da un numero sufficiente di campioni sia sufficientemente vicina alla media vera. Che cosa significhi ragionevolmente sicuri dipende da quanto vogliamo essere precisi nel nostro test: con dieci prove, avremmo una stima grossolana, co (it)
  • Onder een wet van grote aantallen wordt in de kansrekening een regel verstaan die een uitspraak doet over het gedrag van het gemiddelde van een rij stochastische variabelen bij toenemende omvang van de rij. Er bestaan verschillende vormen van zo'n wet. Zo is er een experimentele, een zwakke en een sterke wet van de grote aantallen. De diverse formuleringen van de wet en de specifieke randvoorwaarden beschrijven aspecten van deze convergentie. (nl)
  • Prawa wielkich liczb – seria twierdzeń matematycznych (jedno z tzw. twierdzeń granicznych) opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą. Najprostsza i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb to prawo Bernoulliego sformułowane przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego w książce Ars Conjectandi (1713). Prawo Bernoulliego orzeka, że: (pl)
  • A lei dos grandes números (LGN) é um teorema fundamental da teoria da probabilidade, que descreve o resultado da realização da mesma experiência repetidas vezes. De acordo com a LGN, a média aritmética dos resultados da realização da mesma experiência repetidas vezes tende a se aproximar do valor esperado à medida que mais tentativas se sucederem. Em outras palavras, quanto mais tentativas são realizadas, mais a probabilidade da média aritmética dos resultados observados se aproxima da probabilidade real. (pt)
  • Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду. (ru)
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  • Law of large numbers (en)
  • قانون الأعداد الكبيرة (ar)
  • Gesetz der großen Zahlen (de)
  • Ley de los grandes números (es)
  • Loi des grands nombres (fr)
  • Legge dei grandi numeri (it)
  • 大数の法則 (ja)
  • Wetten van de grote aantallen (nl)
  • Prawo wielkich liczb (pl)
  • Lei dos grandes números (pt)
  • Закон больших чисел (ru)
  • 大数定律 (zh)
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