In mathematics, the Laurent series of a complex function f(z) is a representation of that function as a power series which includes terms of negative degree. It may be used to express complex functions in cases where a Taylor series expansion cannot be applied. The Laurent series was named after and first published by Pierre Alphonse Laurent in 1843. Karl Weierstrass may have discovered it first in 1841 but did not publish it at the time.

PropertyValue
dbpedia-owl:thumbnail
dbpprop:abstract
  • In mathematics, the Laurent series of a complex function f(z) is a representation of that function as a power series which includes terms of negative degree. It may be used to express complex functions in cases where a Taylor series expansion cannot be applied. The Laurent series was named after and first published by Pierre Alphonse Laurent in 1843. Karl Weierstrass may have discovered it first in 1841 but did not publish it at the time. The Laurent series for a complex function f(z) about a point c is given by: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math> where the an are constants, defined by a line integral which is a generalization of Cauchy's integral formula: <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> The path of integration γ is counterclockwise around a closed, rectifiable path containing no self-intersections, enclosing c and lying in an annulus A in which f(z) is holomorphic (analytic). The expansion for f(z) will be valid anywhere inside this annulus. The annulus is shown in red in the diagram on the right, along with an example of a suitable path of integration labelled γ. In practice, this formula is rarely used because the integrals are difficult to evaluate; instead, one typically pieces together the Laurent series by combining known Taylor expansions. The numbers an and c are most commonly taken to be complex numbers, although there are other possibilities, as described below.
  • Die Laurent-Reihe ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in x mit Entwicklungspunkt c diese Gestalt: <math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (x-c)^n</math> Dabei sind die an und das c meist komplexe Zahlen, es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt "Formale Laurent-Reihen" beschrieben sind. Für komplexe Laurent-Reihen benutzt man meist die Variable z statt x. Summanden, in denen ak = 0 ist, werden meist nicht mitgeschrieben, deshalb muss nicht jede Laurent-Reihe in beide Richtungen ins Unendliche gehen. (Wie es auch bei Potenzreihen gehandhabt wird, und ähnlich zur Darstellung abbrechender Dezimalbrüche, die eigentlich unendlich viele Nullen hinter den letzten Ziffern haben. ) Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den Hauptteil der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den Nebenteil. Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine Potenzreihe, hat sie außerdem nur endlich viele Terme mit nichtnegativen Exponenten, dann ist sie ein Polynom. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom.
  • En matemàtiques, la sèrie de Laurent d'una funció analítica <math>f(z)\,</math> és la representació d'aquesta funció en sèrie de potències. La sèrie de Laurent pot ser utilitzada per poder expressar una funció complexa en el cas en què no pot ser aplicada la sèrie de Taylor. Les sèries de Laurent van ser anomenades així, després de ser publicades per Pierre Alphonse Laurent al 1843, tot i que havien estat descobertes per Karl Weierstrass, que no les va publicar mai.
  • Laurentova řada (Laurentův rozvoj) komplexní funkce <math>f(z)</math> je v komplexní analýze mocninná řada obsahující na rozdíl od Taylorovy řady i záporné mocniny.
  • En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces. El matemático Pierre Alphonse Laurent fue quien la publicó en el año 1843.
  • Kompleksisen funktion f(z) Laurentin sarja pisteen c ympäristössä on <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n,</math> missä luvut an ovat vakioita. Vakiot määritellään viivaintegraalilla, joka on Cauchyn integraalikaavan yleistys: <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> Sarja suppenee, kun <math>||z-c||\le 1</math>. Laurentin sarjan julkaisi vuonna 1843 Pierre Alphonse Laurent, jonka mukaan se sai nimensä. Sen on mahdollisesti jo 1841 ensimmäisenä keksinyt Karl Weierstrass, mutta hän ei julkaissut sitä.
  • Cet article traite du développement en série de Laurent en analyse complexe. Pour la définition et les propriétés des séries de Laurent formelles en algèbre, veuillez consulter l'article Série de Laurent formelle. En analyse complexe, la série de Laurent (aussi appelée développement de Laurent) d'une fonction holomorphe f est une manière de représenter f au voisinage d'une singularité, ou plus généralement, autour d'un "trou" de son domaine de définition. On représente f comme somme d'une série de puissances (positives et négatives) de la variable complexe. Une fonction f d'une variable complexe est holomorphe si elle présente une régularité supérieure à la continuité. On peut directement supposer f développable en séries entières au voisinage de chaque point de son domaine de définition. Autrement dit, au voisinage d'un point a où f est définie, on peut écrire f(z) sous la forme : <math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n</math>. On a fait apparaitre une série entière en a, qui est la série de Taylor de f en a. Les séries de Laurent peuvent être vues comme une extension pour décrire f autour d'un point où elle n'est pas (a priori) définie. On inclut les puissances négatives; une série de Laurent se présentera donc sous la forme: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n</math>. Les séries de Laurent furent nommées ainsi après leur publication par Pierre Alphonse Laurent en 1843. Karl Weierstrass les découvrit le premier mais il ne publia pas sa découverte. Le plus souvent, les auteurs d'analyse complexe présentent les séries de Laurent pour les fonctions holomorphes définies sur des couronnes, c'est-à-dire des ouverts du plan complexe délimitées par deux cercles concentriques. Mais elles permettent de mieux comprendre le comportement d'une fonction holomorphe autour d'une singularité.
  • In matematica, la serie di Laurent di una funzione complessa f(z) è una rappresentazione di tale funzione in serie di potenze che include termini di grado negativo. Questa rappresentazione può essere utilizzata per esprimere una funzione complessa qualora lo sviluppo in serie di Taylor non possa essere applicato. La serie di Laurent venne resa nota per la prima volta da Pierre Alphonse Laurent (da cui prende il suo nome) nel 1843. In realtà fu Karl Weierstrass a scoprirla per primo nel 1841 ma non pubblicò i suoi risultati. La serie di Laurent per una funzione complessa f(z) in un punto <math>c</math> è data da: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math> Dove an sono termini costanti, definiti da un integrale di linea che è una generalizzazione della formula integrale di Cauchy: <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> Il percorso di integrazione γ è preso in verso antiorario intorno ad una curva chiusa semplice (non si interseca con sé stessa), che circonda <math>c</math> e che giace all'interno di una corona circolare A in cui f(z) è olomorfa. Lo sviluppo di f(z) è valido ovunque all'interno della corona. La corona è evidenziata in rosso nella figura a destra, insieme ad un esempio di possibile percorso di integrazione, qui chiamato γ. In pratica, questa formula è utilizzata molto raramente perché gli integrali presenti sono, in generale, difficili da valutare; tipicamente si costruisce la serie di Laurent a partire da combinazioni di sviluppi di Taylor già noti. I numeri an e c vengono in genere considerati complessi, sebbene esistano altre possibilità, come riportato di seguito. La parte negativa della serie di Laurent viene detta parte principale della serie, mentre quella positiva, parte regolare.
  • ローラン級数（ローラン-きゅうすう、Laurent series）とは負冪の項も含む形での冪級数としての関数の表示のことである。テイラー級数展開できない複素関数を表示する場合に利用される。ローラン級数の名は、最初の発表が1843年にピエール・アルフォンス・ローランによってなされたことに由来する。ローラン級数の概念自体はそれより先の1841年にカール・ワイエルシュトラスによって発見されていたが公表されなかった。
  • De Laurentreeks van een complexe functie f is in de wiskunde een voorstelling f als een machtreeks met eventueel ook termen met een negatieve macht. Een Laurentreeks kan soms toegepast worden als een taylorreeks niet bestaat. De reeks is genoemd naar Pierre Alphonse Laurent, die hem in 1843 introduceerde.
  • Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku. Jeżeli funkcję f(z) możemy zapisać jako sumę funkcji φ(z) oraz ψ(z) takich, że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D: <math>\phi(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-c)^n</math> (część regularna) <math>\psi(z)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-c)^{-n}</math> (część osobliwa) to funkcję f(z) przedstawiamy w postaci <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n. </math> Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji f(z)=φ(z)+ψ(z). Część regularna jest zbieżna w kole <math>|z-c|<R\,</math>, a część osobliwa na zewnątrz koła <math>|z-c|\leqslant r\,</math> gdzie <math>{1 \over R} = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_n|^{1 \over n},</math> <math>r = \limsup_{n\rightarrow\infty} |a_{-n}|^{1 \over n}. </math> Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu <math>r<|z-c|<R\,</math>. Jeżeli funkcja f(z) jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki <math>a_n\,</math> wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> gdzie γ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt c jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
  • Em matemática, uma série de Laurent é uma expressão da forma <math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n,</math> onde cada an é, geralmente, um número complexo.
  • Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням <math>(z-a)</math>, то есть ряд вида <math>\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n</math> Этот ряд понимается как сумма двух рядов: <math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n</math> — положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и <math>\sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n}</math> — отрицательная часть ряда Лорана (иногда называется главной). При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.
  • En Laurentserie är en serie på formen <math>\sum _{-\infty} ^\infty c_k(z - z_0)^k</math>, där <math>c_k\in\mathbb{C}</math>. En Laurentserie konvergerar i områden av formen <math>r < |z| < R</math>. Detta kan inses genom att betrakta de två serierna <math>\sum_{-\infty} ^{-1} c_k(z-z_0)^k</math>, som konvergerar på ett område av formen <math>r < |z|</math> och <math>\sum_0 ^\infty c_k(z-z_0)^k</math>, som konvergerar på ett område av formen <math>|z| < R</math>. Koefficienterna <math>c_k</math> för Laurentserieutvecklingen av en funktion <math>f</math>, analytisk i ett område av typen <math>r < |z| < R</math>, kan bestämmas ur Cauchys integralformel: <math>c_k = \frac{1}{2\pi i} \oint _\Gamma \frac{f(z)dz}{(z - z_0)^{k + 1}}</math>, där <math>\Gamma</math> är en positivt orienterad kurva med <math>z_0 \in Int \Gamma</math>, på vilken <math>f</math> är analytisk. Om <math>f</math> i själva verket är analytisk i området <math>|z| < R</math>, visar Cauchys integralsats, som säger att kurvintegralen av en funktion som är analytisk innanför integrationskonturen är noll, att Laurentserieutvecklingen är en Taylorserie.
  • Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi ("Loran serisi" diye okunur) bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır. Karl Weierstrass 1841'de bu seriyi bulmuş olabilir ancak o zamanda ilk yayınlayan olamamıştır. Karmaşık bir f(z) fonksiyonunun bir c noktası civarındaki Laurent serisi şu şekilde verilir: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math> Burada an 'ler sabitlerdir ve Cauchy integral formülü'nün genelleştirmesi olan çizgi integrali ile tanımlanmışlardır: <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> İntegral yolu olan γ, kendini kesemeyen, c noktasını çevreleyen, f(z)'nin holomorfik olduğu bir A halkasında yer alan kapalı, doğrultulabilir ve saat yönünün tersi yönlü bir yoldur. f(z)'nin bu halkadaki herhangi bir yerdeki açılımı geçerlidir. Sağdaki diyagramda kırmızı ile gösterilen halka ile birlikte γ etiketli örnek bir integral yolu da gösterilmiştir. Uygulamada, bu formül nadiren kullanılır çünkü integralleri bulunması zordur; yerine Laurent serisi, bilinen Taylor serisi ile birleştirilir. Aşağıda anlatıldığı gibi başka ihtimaller olmasına rağmen, an ve c karmaşık sayıları genelde karmaşık sayı olarak alınır.
  • Ряд Лорана — розклад комплексної функції f(z) у двосторонній степеневий ряд, що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в ряд Тейлора не може бути використаним. Ряди Лорана названі на честь П'єра Альфонса Лорана, що вперше опублікував свої дослідження цих рядів у 1843 році. Карл Вейєрштрасс, можливо, використовував ці ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів. Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром в точці c, в довільній точці кільця виконується: <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math> де члени ряду an визначаються за формулою: <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить в кільці і містить точку с.
  • 复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。 函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出： <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math> 其中an是常数，由以下的路径积分定义，它是柯西积分公式的推广： <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> 积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，位于圆环A内，在这个圆环内f(z)是全纯函数。f(z)的洛朗级数展开式在这个圆环内的任何地方都是正确的。
dbpprop:hasPhotoCollection
dbpprop:reference
dbpprop:title
  • Laurent Series
dbpprop:urlname
  • LaurentSeries
dbpprop:wikiPageUsesTemplate
rdfs:comment
  • In mathematics, the Laurent series of a complex function f(z) is a representation of that function as a power series which includes terms of negative degree. It may be used to express complex functions in cases where a Taylor series expansion cannot be applied. The Laurent series was named after and first published by Pierre Alphonse Laurent in 1843. Karl Weierstrass may have discovered it first in 1841 but did not publish it at the time.
  • Die Laurent-Reihe ist eine unendliche Reihe ähnlich einer Potenzreihe, aber zusätzlich mit negativen Exponenten. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in x mit Entwicklungspunkt c diese Gestalt: <math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (x-c)^n</math> Dabei sind die an und das c meist komplexe Zahlen, es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt "Formale Laurent-Reihen" beschrieben sind. Für komplexe Laurent-Reihen benutzt man meist die Variable z statt x.
  • En matemàtiques, la sèrie de Laurent d'una funció analítica <math>f(z)\,</math> és la representació d'aquesta funció en sèrie de potències. La sèrie de Laurent pot ser utilitzada per poder expressar una funció complexa en el cas en què no pot ser aplicada la sèrie de Taylor. Les sèries de Laurent van ser anomenades així, després de ser publicades per Pierre Alphonse Laurent al 1843, tot i que havien estat descobertes per Karl Weierstrass, que no les va publicar mai.
  • Laurentova řada (Laurentův rozvoj) komplexní funkce <math>f(z)</math> je v komplexní analýze mocninná řada obsahující na rozdíl od Taylorovy řady i záporné mocniny.
  • En matemáticas, la serie de Laurent de una función compleja f(z) es la representación de la misma función en la forma de una serie de potencias, la cual también incluye términos de grado negativo. Esta serie se puede usar para expresar funciones complejas en casos donde una expansión de la serie de Taylor no es aplicable o no se puede acoplar. La serie de Laurent fue descubierta por Karl Weierstrass en el año de 1841; pero no se divulgó en ese entonces.
  • Kompleksisen funktion f(z) Laurentin sarja pisteen c ympäristössä on <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n,</math> missä luvut an ovat vakioita. Vakiot määritellään viivaintegraalilla, joka on Cauchyn integraalikaavan yleistys: <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}. \,</math> Sarja suppenee, kun <math>||z-c||\le 1</math>. Laurentin sarjan julkaisi vuonna 1843 Pierre Alphonse Laurent, jonka mukaan se sai nimensä.
  • Cet article traite du développement en série de Laurent en analyse complexe. Pour la définition et les propriétés des séries de Laurent formelles en algèbre, veuillez consulter l'article Série de Laurent formelle. En analyse complexe, la série de Laurent (aussi appelée développement de Laurent) d'une fonction holomorphe f est une manière de représenter f au voisinage d'une singularité, ou plus généralement, autour d'un "trou" de son domaine de définition.
  • In matematica, la serie di Laurent di una funzione complessa f(z) è una rappresentazione di tale funzione in serie di potenze che include termini di grado negativo. Questa rappresentazione può essere utilizzata per esprimere una funzione complessa qualora lo sviluppo in serie di Taylor non possa essere applicato. La serie di Laurent venne resa nota per la prima volta da Pierre Alphonse Laurent (da cui prende il suo nome) nel 1843.
  • De Laurentreeks van een complexe functie f is in de wiskunde een voorstelling f als een machtreeks met eventueel ook termen met een negatieve macht. Een Laurentreeks kan soms toegepast worden als een taylorreeks niet bestaat. De reeks is genoemd naar Pierre Alphonse Laurent, die hem in 1843 introduceerde.
  • Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.
  • Em matemática, uma série de Laurent é uma expressão da forma <math>\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n,</math> onde cada an é, geralmente, um número complexo.
  • En Laurentserie är en serie på formen <math>\sum _{-\infty} ^\infty c_k(z - z_0)^k</math>, där <math>c_k\in\mathbb{C}</math>. En Laurentserie konvergerar i områden av formen <math>r < |z| < R</math>.
  • Matematikte karmaşık bir fonksiyonun Laurent serisi ("Loran serisi" diye okunur) bu fonksiyonun negatif dereceli terimler de içeren kuvvet serisi temsilidir. Karmaşık fonksiyonların Taylor serileri açılımının mümkün olmadığı durumlarda bu fonksiyonları açıklamak için de kullanılabilir. Laurent serisi ilk defa 1843'te Pierre Alphonse Laurent tarafından yayınlanmış ve bu matematikçinin adını almıştır.
  • Ряд Лорана — розклад комплексної функції f(z) у двосторонній степеневий ряд, що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в ряд Тейлора не може бути використаним.
  • 复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。 函数f(z)关于点c的洛朗级数由下式给出： <math>f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n</math> 其中an是常数，由以下的路径积分定义，它是柯西积分公式的推广： <math>a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.
rdfs:label
  • Laurent series
  • Laurent-Reihe
  • Sèrie de Laurent
  • Laurentova řada
  • Ismael Hernández Deras
  • Serie de Laurent
  • Laurentin sarja
  • Série de Laurent
  • Serie di Laurent
  • ローラン級数
  • Laurentreeks
  • Szereg Laurenta
  • Série de Laurent
  • Ряд Лорана
  • Laurentserie
  • Laurent serisi
  • Ряд Лорана
  • 洛朗级数
owl:sameAs
skos:subject
foaf:depiction
foaf:page
is dbpprop:disambiguates of
is dbpprop:redirect of