The Krein–Milman theorem is a mathematical statement about convex sets in functional analysis. A particular case of this theorem, which can be easily visualized, states that given a convex polygon, one only needs the corners of the polygon to recover the polygon shape. The statement of the theorem is false if the polygon is not convex, as then there can be many ways of drawing a polygon having given points as corners.

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  • The Krein–Milman theorem is a mathematical statement about convex sets in functional analysis. A particular case of this theorem, which can be easily visualized, states that given a convex polygon, one only needs the corners of the polygon to recover the polygon shape. The statement of the theorem is false if the polygon is not convex, as then there can be many ways of drawing a polygon having given points as corners. Formally, let <math>X</math> be a locally convex topological vector space (assumed to be Hausdorff), and let <math>K</math> be a compact convex subset of <math>X</math>. Then, the theorem states that <math>K</math> is the closed convex hull of its extreme points. The closed convex hull above is defined as the intersection of all closed convex subsets of <math>X</math> that contain <math>K. </math> This turns out to be the same as the closure of the convex hull in the topological vector space. One direction in the theorem is easy; the main burden is to show that there are 'enough' extreme points. The original statement proved by Mark Krein and David Milman was somewhat less general than this.
  • Der Satz von Krein-Milman ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er besagt: Ist <math>E</math> ein lokal konvexer Raum und <math>\mathcal{C}\subseteq E</math> eine kompakte und konvexe Teilmenge von ihm, so ist <math>\mathcal{C}</math> gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge ihrer Extremalpunkte. Der Satz kann beispielsweise dazu benutzt werden, die Einheitskugeln solcher Räume zu untersuchen.
  • Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940, qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « Théorème de Krein-Milman »). Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets. Cela est vrai aussi d'un polytope convexe.
  • Twierdzenie Kreina-Milmana, w analizie funkcjonalnej, twierdzenie dotyczące zbiorów wypukłych, sfomuołwane w 1940 przez ukraińskich matematyków: Marka Kreina i Davida Milmana.
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  • Krein–Milman theorem
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  • The Krein–Milman theorem is a mathematical statement about convex sets in functional analysis. A particular case of this theorem, which can be easily visualized, states that given a convex polygon, one only needs the corners of the polygon to recover the polygon shape. The statement of the theorem is false if the polygon is not convex, as then there can be many ways of drawing a polygon having given points as corners.
  • Der Satz von Krein-Milman ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er besagt: Ist <math>E</math> ein lokal konvexer Raum und <math>\mathcal{C}\subseteq E</math> eine kompakte und konvexe Teilmenge von ihm, so ist <math>\mathcal{C}</math> gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge ihrer Extremalpunkte. Der Satz kann beispielsweise dazu benutzt werden, die Einheitskugeln solcher Räume zu untersuchen.
  • Le théorème de Krein-Milman est un théorème, démontré par Mark Krein et David Milman en 1940, qui généralise à certains espaces vectoriels topologiques un résultat géométrique portant sur les ensembles convexes énoncé par Hermann Minkowski en dimension finie (et souvent improprement dénommé lui-même « Théorème de Krein-Milman »). Une forme particulièrement simplifiée du théorème s'énonce : tout polygone convexe est l'enveloppe convexe de l'ensemble de ses sommets.
  • Twierdzenie Kreina-Milmana, w analizie funkcjonalnej, twierdzenie dotyczące zbiorów wypukłych, sfomuołwane w 1940 przez ukraińskich matematyków: Marka Kreina i Davida Milmana.
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