The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island) is a mathematical curve and one of the earliest fractal curves to have been described. It is based on the Koch curve, which appeared in a 1904 paper titled "On a continuous curve without tangents, constructible from elementary geometry" (original French title: Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire) by the Swedish mathematician Helge von Koch.

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  • The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island) is a mathematical curve and one of the earliest fractal curves to have been described. It is based on the Koch curve, which appeared in a 1904 paper titled "On a continuous curve without tangents, constructible from elementary geometry" (original French title: Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire) by the Swedish mathematician Helge von Koch. The progression for the area of the snowflake converges to 8/5 times the area of the original triangle, while the progression for the snowflake's perimeter diverges to infinity. Consequently, the snowflake has a finite area bounded by an infinitely long line. (en)
  • منحني ندفة ثلج كوخ أو كما يسمى أيضاً نجمة كوخ نسبة إلى عالم الرياضيات السويدي هيلغ فون كوخ هو منحن رياضي ويعد واحداً من أوائل المنحنيات المعروفة في الهندسة الكسيرية. (ar)
  • Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht. (de)
  • El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental". En lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal. Su construcción más simple se realiza mediante un proceso iterativo que se inicia partiendo en tres un segmento de recta e insertando dos más en el tercero medio a manera de un triángulo equilátero, el proceso se repite infinidad de veces. La curva de Koch es un caso particular de curva de De Rham. (es)
  • Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »). Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch. (fr)
  • La curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione.Apparve per la prima volta su un documento del 1904 intitolato Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire del matematico svedese Helge von Koch. (it)
  • コッホ曲線(コッホきょくせん、英: Koch curve)はフラクタル図形の一つ。スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホ (Helge von Koch) が考案した。線分を3等分し、分割した2点を頂点とする正三角形の作図を無限に繰り返すことによって得られる図形である。1回の操作で線分の長さが 4/3 倍になるので、操作を無限に繰り返して得られるコッホ曲線の長さは無限大である。高木曲線などと同様に、連続でありながら至るところで微分不可能な曲線である。 コッホ曲線は相似比が1/3の4個のセグメントから成っているので、フラクタル次元(相似次元)は、logを自然対数として、log4 / log3 = 1.26186...次元である。 (ja)
  • A curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes", de autoria do matemático sueco Helge von Koch. O mais conhecido Floco de neve de Koch (ou estrela de Koch) corresponde à mesma curva, tirando que se inicia a sua construção a partir de um triângulo equilátero (em vez de um segmento de recta). Eric Haines desenvolveu o mesmo conceito, a três dimensões, o que resultou num fractal com volume de um floco de neve. Podemos imaginar a sua construção a partir de um segmento de recta que será submetido a alterações recorrentes (iterações), como a seguir se descreve: 1. * Divide-se o segmento de recta em três segmentos de igual comprimento. 2. * Desenha-se um triângulo equilátero (fazendo um ângulo de π/3 radianos (60 graus)), em que o segmento central, referido no primeiro passo, servirá de base. 3. * Apaga-se o segmento que serviu de base ao triângulo do segundo passo. Depois de isto feito, o resultado será semelhante à secção longitudinal de um chapéu de bruxa. Procedendo da mesma forma para cada um dos quatro segmentos que ficam, formam-se dezesseis novos segmentos mais pequenos. A curva de Koch é o limite para o qual tende esta construção, repetindo as operações referidas, sucessivamente, para cada segmento. A seguinte figura representa as seis primeiras etapas de construção. A última curva é uma boa aproximação da curva final. Ficheiro:Koch snowflake0192.png Se considerarmos cada passo, notamos que para passar de uma linha para a seguinte, substituímos três segmentos por quatro de igual comprimento, ou seja, o comprimento total é multiplicado por 4/3. O limite da sucessão geométrica de razão 4/3 é o infinito, o que significa que a figura final (ou para que tende esta sucessão) terá um comprimento infinito (designado por Mandelbrot como "infinito interno"). Esta característica, típica dos fractais, acrescentada ao facto de a curva parecer ter uma certa espessura devido às constantes mudanças de direcção, sugere que esta figura não é unidimensional (não é apenas uma linha, dotada apenas de comprimento). A sua dimensão estará entre 1 (da recta) e 2 (do plano). Observando a figura: se ampliássemos (através de uma homotetia ou homotesia) três vezes a secção A'B' obteríamos exactamente a secção AB. Na curva final é fácil verificar que a secção A'C é quatro vezes superior à AB. Sabe-se que uma homotetia de razão três multiplica os comprimentos por 3, as superfícies por 3² = 9, e os volumes por 33 = 27 (o que, generalizando, permite calcular o "volume" de um objecto de dimensão d por 3d). Ora, como temos 3d = 4 para a curva de Koch (como se viu no parágrafo anterior), dá: d = log. 4 /log. 3 = 1,26186... (pt)
  • Krzywa Kocha – krzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904. Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok). (pl)
  • De koch-kromme is in de wiskunde een kromme die in 1904 bedacht is door de Zweedse wiskundige Helge von Koch als voorbeeld van een kromme die overal continu is, maar nergens differentieerbaar. De kromme is wat we nu, 100 jaar later, een fractal noemen en wordt voorgesteld door de grenslijn van het groene gebied in de onderstaande figuur. Bestand:Kochkurve.png (nl)
  • Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. (ru)
  • 科赫曲線是一種分形。其形態似雪花,又稱科赫雪花、雪花曲線。其豪斯多夫維是 。 它最早出現在海里格·冯·科赫的論文《關於一條連續而無切線,可由初等幾何構作的曲線》(1904年,法語原題:Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire)。 科赫曲線是de Rham曲線的特例。 給定線段AB,科赫曲線可以由以下步驟生成: 1. * 將線段分成三等份(AC,CD,DB) 2. * 以CD為底,向外(內外隨意)畫一個等邊三角形DMC 3. * 將線段CD移去 4. * 分別對AC,CM,MD,DB重複1~3。 科赫雪花是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的。科赫雪花的面積是 ,其中 是原來三角形的邊長。每條科赫曲線的長度是無限大,它是連續而無處可微的曲線。 (zh)
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  • منحني ندفة ثلج كوخ أو كما يسمى أيضاً نجمة كوخ نسبة إلى عالم الرياضيات السويدي هيلغ فون كوخ هو منحن رياضي ويعد واحداً من أوائل المنحنيات المعروفة في الهندسة الكسيرية. (ar)
  • Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht. (de)
  • Le flocon de Koch est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrite (bien avant l'invention du terme « fractal(e) »). Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch. (fr)
  • La curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione.Apparve per la prima volta su un documento del 1904 intitolato Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire del matematico svedese Helge von Koch. (it)
  • コッホ曲線(コッホきょくせん、英: Koch curve)はフラクタル図形の一つ。スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホ (Helge von Koch) が考案した。線分を3等分し、分割した2点を頂点とする正三角形の作図を無限に繰り返すことによって得られる図形である。1回の操作で線分の長さが 4/3 倍になるので、操作を無限に繰り返して得られるコッホ曲線の長さは無限大である。高木曲線などと同様に、連続でありながら至るところで微分不可能な曲線である。 コッホ曲線は相似比が1/3の4個のセグメントから成っているので、フラクタル次元(相似次元)は、logを自然対数として、log4 / log3 = 1.26186...次元である。 (ja)
  • Krzywa Kocha – krzywa fraktalna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa ta jest nieskończenie długa, mieści się jednak na skończonej powierzchni – można więc narysować pewne jej przybliżenie Została ona opisana po raz pierwszy w pracy Sur une courbe continue sans tangente obtenue par une construction géométrique élémentaire przez Helgego von Kocha w roku 1904. Połączenie trzech krzywych przypomina płatek śniegu i nazywane jest płatkiem Kocha (na rysunku obok). (pl)
  • De koch-kromme is in de wiskunde een kromme die in 1904 bedacht is door de Zweedse wiskundige Helge von Koch als voorbeeld van een kromme die overal continu is, maar nergens differentieerbaar. De kromme is wat we nu, 100 jaar later, een fractal noemen en wordt voorgesteld door de grenslijn van het groene gebied in de onderstaande figuur. Bestand:Kochkurve.png (nl)
  • Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. (ru)
  • 科赫曲線是一種分形。其形態似雪花,又稱科赫雪花、雪花曲線。其豪斯多夫維是 。 它最早出現在海里格·冯·科赫的論文《關於一條連續而無切線,可由初等幾何構作的曲線》(1904年,法語原題:Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire)。 科赫曲線是de Rham曲線的特例。 給定線段AB,科赫曲線可以由以下步驟生成: 1. * 將線段分成三等份(AC,CD,DB) 2. * 以CD為底,向外(內外隨意)畫一個等邊三角形DMC 3. * 將線段CD移去 4. * 分別對AC,CM,MD,DB重複1~3。 科赫雪花是以等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的。科赫雪花的面積是 ,其中 是原來三角形的邊長。每條科赫曲線的長度是無限大,它是連續而無處可微的曲線。 (zh)
  • The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island) is a mathematical curve and one of the earliest fractal curves to have been described. It is based on the Koch curve, which appeared in a 1904 paper titled "On a continuous curve without tangents, constructible from elementary geometry" (original French title: Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire) by the Swedish mathematician Helge von Koch. (en)
  • El copo de nieve de Koch, también llamado estrella de Koch, es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto descrita por el matemático sueco Helge von Koch en 1904 en un artículo titulado "Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental". (es)
  • A curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes", de autoria do matemático sueco Helge von Koch. O mais conhecido Floco de neve de Koch (ou estrela de Koch) corresponde à mesma curva, tirando que se inicia a sua construção a partir de um triângulo equilátero (em vez de um segmento de recta). Eric Haines desenvolveu o mesmo conceito, a três dimensões, o que resultou num fractal com volume de um floco de neve. (pt)
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  • Koch snowflake (en)
  • ندفة الثلج لكوخ (ar)
  • Koch-Kurve (de)
  • Copo de nieve de Koch (es)
  • Flocon de Koch (fr)
  • Curva di Koch (it)
  • コッホ曲線 (ja)
  • Koch-kromme (nl)
  • Krzywa Kocha (pl)
  • Curva de Koch (pt)
  • Кривая Коха (ru)
  • 科赫曲線 (zh)
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